直线与平面垂直的判定教案柳应方

课题：必修二<§2.3.1直线与平面垂直的判定>福州金山中学数学组柳应方地点：高一（2）班时间：周三上午第1节一．教材及学情分析：“直线与平面垂直的判定”是高中数学人教A版必修二第二章第三节的内容，是直线和平面相交中的一种特殊情况；是实际生活中常见的一种位置关系；是从现实世界中抽象并概括出来的数学概念。直线与平面垂直它既是线线垂直的拓展，也是面面垂直的基础，同时它为研究线面角、二面角等内容进行了必要的知识准备，在教材中起到了承上启下的作用学情上：学生在知识上，学习过空间中直线与直线、直线与平面的位置关系、直线与平面平行的判定和平面与平面平行的判定；在方法上，研究过直线和平面、平面和平面平行的判定方法；在思维上，从经验型抽象思维开始上升到理论型抽象思维；在能力上，基础知识薄弱，知识迁移、主动重组、整合的能力较弱.本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，在探索的过程让学生从中体会将空间问题转化为平面问题，将无限转化为有限，将线面垂直转化为线线垂直的化归思想。根据本节内容的特点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，借助实例、图片的观察，为学生的数学探究与数学思维提供支持。二、教学目标（1）知识与技能目标：理解直线与平面垂直的定义；感知并归纳和确认直线与平面垂直的判定定理，并能用线面垂直的定义和判定定理进行初步的应用。（2）过程与方法目标：借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义。通过直观感知，合作探究，归纳直线与平面垂直的判定定理，进一步发展空间想象能力、合理推断能力和运用图形语言进行交流的能力；（3）情感、态度与价值观：在线面垂直定义和判定定理的探究过程中，体验探索的乐趣，增强合作学习的能力，感受数学美，使学生认识到数学源于生活，从而使学生更加热爱数学，热爱生活。三、教学重点、难点及关键教学重点：线面垂直的定义和线面垂直的判定定理的探究概括过程及理解。教学难点：直线与平面垂直判定定理的探究及初步运用。教学关键：类比转化数学思想的应用。四、教学方法与手段教学方法：本节课采用“直观感知，探究学习，应用巩固，反思提高”的课堂教学模式，以学生为主体，问题为主线，并以学案引导和多媒体手段辅助教学，启发、引导学生积极的思考，帮助学生优化思维过程，切实改进学生的学习方式。教学手段：教具教学及交互式电子白板及hiteach互动教学系统和ppt等现代教育技术辅助教学教具教学使数学图形与几何模型和生活实际结合起来。能培养学生的空间想象能力；多媒体技术的应用为师生提供更为丰富和直观的教学材料。同时还可适当分解空间想象的难度，提高课堂教学效率，激发学生的学习兴趣。学法指导：观察、概括、总结、归纳、类比联想是学法指导的重点。让学生观察、思考后，总结、概括、归纳的知识更有利于学生掌握；为了加深知识理解、掌握和更灵活地运用，运用类比联想去主动的发现问题、解决问题，从而更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习。这样，可以增进热爱数学的情感，应用数学的自信心和形成新的学习动力。新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．五．交互式多媒体教学环境：交互式电子白板及hiteach互动教学系统和ppt等现代教育技术，主要利用抢答器随机选择学生回答问题，并利用IRS反馈器（选择）-----数据统计分析，并针对学生错误率较高的题目和选项予以讲评和提问，从而发现错因，及时纠正；手机端拍照上传----即问即答，及时反馈学生完成情况；白板批注功能------分析并及时解决学生存在问题。六、教学过程1、复习回顾直观感知从实际背景中感知直线与平面垂直的形象问题：空间中直线和平面有哪几种位置关系？在日常生活中，你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？直线在平面内；直线与平面平行；直线与平面相交；垂直是其中非常重要且生活中常见的一种特殊关系。并由引出课题内容日常生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面、书脊与桌面等的位置关系”，你能举出一些身边类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。设计目的：复习直线与平面的位置关系，并通过学生熟悉的图片、生活中看到的实例，引导观察它们间的位置关系，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义，帮助学生构建清晰的知识脉络，从实际生活提出问题体现数学源于生活，激发学生学习兴趣。并说明：上述旗杆与地面、大桥的桥柱和水面、书脊与桌面等的位置关系，称为直线与平面垂直.如何给“直线和平面垂直”下定义？2、联想类比建构概念观察思考：如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，影子BC的位置在移动，在各时刻旗杆AB所在直线与影子BC所在直线的位置关系如何？旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线a的位置关系又是什么？探究：怎样给“直线与平面垂直”下定义？教师提示：回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题：即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？组织学生交流讨论，概括其定义。为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。直线和平面垂直概念：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线l垂直于平面α，记作:l⊥α；直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，垂线和平面的交点称为垂足。（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化，介绍相关概念：垂面、垂线、垂足。）设计目的：通过与线线垂直概念的类比，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，教会学生学习方法，同时渗透类比转化思想，培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论，体会定义的合理性。直线和平面垂直概念的辨析练习：判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）⑴.如果一条直线与平面内一条直线垂直，那么它与平面垂直.（)⑵.如果一条直线与平面内有限条直线都垂直，那么它与平面垂直.()⑶.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直.()⑷.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直.()对每小题均设置两个选项，利用IRS反馈器（选择）-----数据统计分析，并由错解学生回答，从而发现错因，及时纠正；（对问（1）（2）（3），在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示，并说明：如果一条直线l与平面α内的一条直线或有限条直线或无数条直线都垂直，都不能判定这条直线与这个平面垂直；对问（4）可引导学生给出：一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内的任意一条直线，即线面垂直，线线垂直符号语言表述：若，则；并思考：如何说明一条直线与一个平面不垂直？（只需找到这条直线与这个平面内一条直线不垂直即可，即“一票否决”。设计目的：通过定义辨析，问题链的设置，可以更好的揭示定义的内涵，加深对定义中“任意一条直线”的正确认识和对定义的理解，同时为判定定理的引入作铺垫。通过对问题（3）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法．3、拾级而上归纳定理思考探究：对于一条直线和一个平面，如何判定它们垂直？如果根据定义来判断它们是否垂直，需要解决什么问题？如何操作？通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，这种方法实际上难以实施，因为我们无法去一一检验．我们就需要寻求一个比定义法简单可行的办法来判定直线与平面垂直．探究：除定义外，有没有比较方便可行的方法来判断一条直线与一个平面垂直呢？师生活动（折纸试验）：请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）问题2：（1）折痕AD与桌面一定垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？（组织学生动手操作、探究、确认）设计意图：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图2），其它位置都不能使AD与桌面垂直．问题3：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内．问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线）利用选择（抢答）器随机选择学生回答问题，师生共义给出点评。设计意图：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词：平面内两条相交直线．问题4：如果将图3中的两条相交直线m、n的位置改变一下，仍保证⊥m,⊥n，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？设计意图：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．利用选择（抢答）器随机选择学生回答问题，师生共义给出定理。根据试验，请你给出直线与平面垂直的判定方法．归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化）老师特别强调：（1）定理中“两条相交直线”二字不可忽视，否则线面垂直的结论不成立（2）证明线面垂直归结为证明线线垂直，证明无数多线线垂直减弱为只需证明两个线线垂直即可，体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。简述为：线线垂直线面垂直问题5：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?设计意图：通过和直线与平面垂直定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思想，通过寻找定义与判定定理的共同点，感悟和体会“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想.4.技能演练应用巩固例1、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1AA1BB1CC1DD1如正方体ABCD-A1B1C1D1改成长方体ABCD-A1B1C1D求证:AC⊥平面BB1D1D例2如图，已知a∥b，a⊥，求证：b⊥.证明：在平面内作两条相交直线m、n.因为直线a⊥，根据直线与平面垂直的定义知a⊥m，a⊥n.又因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n.又因为，m、n是两条相交直线，所以b⊥设计意图：这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题，这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系．练习：如图７，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点．

求证：AC⊥平面VKB手机端拍照上传学生完成情况图片，白板批注功能进行分析比对思考：(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；(3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC，VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，对吗？利用选择（抢答）器随机选择学生回答问题，师生共义给出点评。设计意图：例2重在对直线与平面垂直判定定理的应用．变式（1）在例2的基础上，应用了直线与平面垂直的意义；变式（2）是对例1判定方法的应用；变式（3）的判断在于进一步巩固直线与平面垂直的判定定理．3个小题环环相扣，汇集了本节课的学习内容，突出了知识间内在联系和融会贯通．5.归纳小结，提高认识（1）．直线与平面垂直的定义：由此可得，（2）．直线与平面垂直的判定：a⊥m，a⊥n，m∩n=A,m∩n=A,mα,nαa⊥α并有a∥b，a⊥α.b⊥α.（3）．数学思想方法：转化的思想：空间问题转化为平面问题；无限转化为有限；线面垂直转化为线线垂直。巩固作业：JS2017-2018高一数学§2.3.1直线与平面垂直的判定校本作业班级姓名座号建议完成时间45分钟1．直线与平面内的两条直线都垂直，则直线与平面的位置关系是（）A、平行B、垂直C、在平面内D、无法确定2．若两直