空间直线平面的垂直【新教材】人教A版高中数学必修同步讲义（机构专用）

空间直线、平面的垂直知识梳理知识梳理1、直线与平面垂直（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α垂直，记作l⊥α；直线l叫做平面α的垂线；平面α叫做直线l的垂面；直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．（2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．（3）判定定理：文字描述，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.2、面面垂直（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2）画法：记作：α⊥β.（3）面面垂直的判定定理．文字语言：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．符号表示：3、性质定理直线与平面垂直平面与平面垂直文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言图形语言作用①线面垂直⇒线线平行；②作平行线①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线4、异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．（2）异面直线所成的角θ的取值范围：(0°，90°].（3）当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b．5、直线与平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不垂直，这条直线称为平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角.如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．（2）特别的，当直线AP与平面α垂直时，它们所成的角是90°；当直线与平面平行，或在平面内时，它们所成的角是0°．（3）直线和平面所成角θ的范围[0°，90°]．6、二面角（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱．这两个半平面叫做二面角的面．如图，记作：二面角α-l-β或P-AB-Q或P-l-Q．（2）二面角的平面角．如图，二面角α-l-β，若有：①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l.则∠AOB就叫做二面角α-l-β的平面角．知识典例知识典例题型一线面垂直例1如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.求证：平面【分析】先证明AC⊥BE,再取的中点，连接，经计算，利用勾股定理逆定理得到AC⊥BC,然后利用线面垂直的判定定理证得结论；【详解】解：证明：∵四边形为矩形∴∵平面∴平面∵平面∴.如图，取的中点，连接，∴∵，，∴四边形是正方形.∴∴，∵∴∴是直角三角形∴.∵，、平面∴平面巩固练习巩固练习已知如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、A1C的中点.（1）求证：EF∥平面ADD1A1；（2）求证：EF⊥平面A1DC．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）连接AD1，通过证明四边形AEFO是平行四边形，得到EF∥AO，然后利用线面平行的判定定理，可得结果.（2）利用线面垂直的判定定理可得AD1⊥平面A1DC，然后根据EF∥AD1，最后可得结果.【详解】证明：（1）如图，连接AD1，设AD1∩A1D＝O，连接OF，则由正方体ABCD-A1B1C1D1可得：点O是A1D的中点，因为点F是A1C的中点，所以又E是AB的中点，所以（2）由正方体ABCD-A1B1C1D1可得：DC⊥平面ADD1A1，而AD1平面ADD1A1，所以DC⊥AD1，又AD1⊥A1D，且A1D∩DC＝D，DC平面A1DC，A1D平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC.再由（1）可知：EF∥AD1，所以EF⊥平面A1DC.题型二面面垂直例2如图，四面体ABCD中，点E，F分别为线段AC，AD的中点，平面平面，，，垂足为H.（1）求证：；（2）求证：平面平面ABC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】本题考查线面平行与线面垂直的判定，难度不大.（1）利用线面平行的判定定理证得平面BCD，进而利用线面平行的性质定理证得；（2）利用线面垂直的判定定理证得平面ADB，进而证得平面CDH，然后由面面垂直判定定理证得结论.【详解】证明：（1）因为点E、F分别为线段AC、AD的中点，为的中位线，则，平面BCD，平面BCD，平面BCD，又平面EFNM，平面平面，；（2），，，，平面ADB，平面ADB，平面ADB，又，，平面DCH，平面DCH，平面CDH，平面ABC，平面平面ABC.巩固练习巩固练习如图所示，在五面体中，四边形是平行四边形.（1）求证：平面；（2）若，，求证：平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）推导出，从而得出面，由线面平行的性质定理，得，由此能证明平面；（2）推导出，，从而得出平面，由此能证明平面平面．【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）因为四边形是平行四边形，所以，又因为，所以，又因为，，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.题型三性质应用及异面直线夹角例3如图，等腰直角三角形ABC的直角边，沿其中位线DE将平面ADE折起，使平面平面BCDE，得到四棱锥，设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q．（1）求证：M，N，P，Q四点共面．（2）求证：平面平面ACD．（3）求异面直线BE与MQ所成的角．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）证明，说明四点共面；（2）要证明面面垂直，需证明线面垂直，即证明平面；（3）延长ED至R，使，延长ED至R，使，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即为异面直线BE与QM所成的角（或补角）．【详解】（1）由题意易知：，，所以，所以M，N，P，Q四点共面．（2）因为平面平面BCDE，平面平面，而，所以平面BCDE，即，又，所以平面ACD，而平面ABC，所以平面平面ACD．（3）由条件知，，，延长ED至R，使，延长ED至R，使，则，，故ERCB为平行四边形，所以，又．所以为异面直线BE与QM所成的角（或补角）．因为，且三线两两互相垂直，由勾股定理得．因为三角形ACR为正三角形，所以．所以异面直线BE与MQ所成的角为．巩固练习巩固练习如图，正方体的棱长为，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中正确的是______________.①与所成角为；②平面；③存在点，使得平面平面；④三棱锥的体积为定值.【答案】②④【分析】利用线线平行，找出异面直线的夹角的平面角，求出即可，可判断①的正误；根据线面垂直的判定定理即可判断②的正误；利用面面平行的性质定理可判断③的正误；利用等体积法即可求出棱锥的体积，可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】对于①，、分别为、的中点，，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，，异面直线与所成的角为，在中，，所以，为等边三角形，则，即①错误；对于②，，，，，，，又因为平面，且平面，所以，因为，所以平面，即②正确；对于③，若平面平面，因为平面平面，所以平面平面，但平面与平面有公共点，所以③错误；对于④，（定值），即④正确.故答案为：②④.题型四直线与平面的夹角例4如图所示，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF是矩形，AB＝2，AF＝，△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF＝3.（1）证明：AC⊥BF；（2）求直线BC与平面PAC所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，利用题中的垂直关系，易证明平面；（2）由题中所给的长度，证明平面，即∠BCP为直线BC与平面PAC所成的角，在Rt△BCP中，求线面角的正切值.【详解】(1)证明：因为△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，所以AC⊥AB，又平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC＝AB，所以AC⊥平面ABEF.因为BF⊂平面ABEF，所以AC⊥BF.(2)在矩形ABEF中，AB＝2，AF＝2，则BF＝4，又PF＝3，所以FA2＝PF·BF，所以BF⊥AP，由(1)知AC⊥BF，又AC∩AP＝A，所以BF⊥平面PAC，则∠BCP为直线BC与平面PAC所成的角.如图，过点P作PM∥AB交BE于点M，过点P作PN⊥AB于点N，连接NC，因为BF＝4，PF＝3，所以PB＝1，则，所以PM＝BN＝，BM＝PN＝，AN＝AB－BN＝2－＝，所以CN＝＝，PC＝＝.在Rt△BCP中，tan∠BCP＝.故直线BC与平面PAC所成角的正切值为.巩固练习巩固练习如图，已知四棱锥中，平面，，，，，是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）要证明线面平行，需转化为证明线线平行，取中点，连，可证明四边形为平行四边形，从而证明；（Ⅱ）法一，连结，证明平面，即为所求；法二：是中点，连转化为求与平面的线面角.【详解】（Ⅰ）取中点，连.易知，且，，且,所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又因为，，所以（Ⅱ）(一)连.由，，所以，.在直角梯形上，..又，所以又.，所以为直线与平面所成角…(二)设是中点，连因为，则，作，所以为，也即直线与平面所成角题型五二面角例5如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.（1）求证:AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小.【答案】（1）证明见解析（2）30°【分析】（1）连接交于点，连接，易得，，所以平面，从而得到；（2）根据得到，从而得到，，为二面角的平面角，再求出，，得到，从而得到二面角.【详解】（1）连接交于点，连接，由题意，底面为正方形，侧棱，所以，在正方形中，，又因为，且平面，平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）连接，因为平面，所以，，又因为在和中，，，，所以.所以又因为的中点，所以，.所以为二面角的平面角，又因为，在中由等面积法，得，，在中，，，所以.故二面角的大小为.巩固练习巩固练习如图，把等腰直角三角形沿斜边所在直线旋转至的位置，使.(1)求证:平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接，可得得，根据三角形中的几何关系，得到，从而得到，所以得到平面，再得到平面平面；（2）取的中点，连接，，再在直角三角形中，得到，从而得到二面角的余弦值.【详解】（1）如图，取的中点，连接，是等腰直角三角形，，且.连接，同理得，且，，.，，为等腰直角三角形，，又，平面，平面.又平面，∴平面平面.（2）取的中点，连接.易知为等边三角形，.又为等腰直角三角形，.为二面角的平面角.由（1）知，，且平面，，所以平面，平面，.为直角三角形.设，则，所以，则，，即二面角的余弦值为.巩固提升巩固提升1、如图所示，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任一点，则下列关系中不正确的是（）A． B．平面 C． D．【答案】C【分析】由平面，得，再由，得到平面，进而得到，即可判断出结果.【详解】因为垂直于以为直径的圆所在的平面，即平面，得，A正确；又为圆上异于的任一点，所以，平面，，B，D均正确.故选C.2、如图所示，在四面体中，若，，E是的中点，则下列结论中正确的是（）A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面【答案】C【分析】根据条件易知，，从而得到平面，所以平面平面，平面平面【详解】因为，且是的中点，所以因为，且是的中点，所以又，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.因为平面，所以平面平面.故选：C.3、在四面体中，，，二面角为直二面角，是的中点，则的大小为（）A．45° B．90° C．60° D．30°【答案】B【分析】设，取的中点，连接，可得，，结合条件得到，利用勾股定理得到，从而得到为正三角形，根据是的中点，得到【详解】如图，设，取的中点，连接，所以得到，，所以为二面角的平面角，因为二面角为直二面角，所以，在等腰直角三角形和中，，在中，易得，所以为正三角形.又因为是的中点，所以，即.故选：B.4、如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是（）A．B．平面C．平面平面D．与所成的角等于与所成的角【答案】D【分析】结合直线与平面垂直的判定和性质，结合直线与平面平行的判定，即可．【详解】A选项，可知可知，故，正确；B选项，AB平行CD，故正确；C选项，，故平面平面，正确；D选项，AB与SC所成的角为，而DC与SA所成的角为，故错误，故选D．5、如图，在四棱锥中，底面四边形满足，，，且为的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，且，求证：平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）取的中点，连结，，推导出四边形是平行四边形，得到，由线面平行的判定定理，即可证明平面．（2）由面面垂直的性质定理可证平面，，，得到平面，由面面垂直的判定定理，可证明平面平面．【详解】证明：（1）取的中点，连接，.因为是的中点，所以为的中位线，所以.又因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因为平面平面，且平面平面，，平面，所以平面.∵平面，∴.又因为，为的中点，所以，∵平面，平面，且，所以平面.又平面，所以平面平面.6、如图，在三棱锥中，，，，为线段的中点.求证：平面.【答案】见解析【分析】推导出平面，可得出，再利用等腰三角形三线合一的思想得出，利用线面垂直的判定定理可得出平面.【详解】，，，平面，平面，.，为的中点，.，因此，平面.7、如图在四棱锥中，底面是矩形，点、分别是棱和的中点.（1）求证：平面；（2）若，且平面平面，证明平面.【答案】(1)见证明；(2)见证明【分析】（1）可证，从而得到要求证的线面平行.（2）可证，再由及是棱的中点可得，从而得到平面.【详解】（1）证明：因为点、分别是棱和的中点，所以，又在矩形中，，所以，又面，面，所以平面（2）证明：在矩形中，，又平面平面，平面平面，面，所以平面，又面，所以①因为且是的中点，所以，②由①②及面，面，，所以平面.8、如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面