离散型随机变量的方差练习题高二数学人教A版选择性必修随机变量及其分布Word含答案解析

离散型随机变量的方差1.(多选题)已知随机变量X的分布列为X-101Pa则下列式子正确的是()(X=0)= =(X)=- (X)=2.设随机变量X的分布列为X-101P若Y=2X+2,则D(Y)等于() B. C. D.3.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分X的均值与方差分别为()(X)=0,D(X)=1 (X)=,D(X)=(X)=0,D(X)= (X)=,D(X)=14.(多选题)编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是ξ,则()A.ξ的所有取值是1,2,3 (ξ=1)=(ξ)=1 (ξ)=15.若某事件在一次试验中发生次数的方差等于,则该事件在一次试验中发生的概率为________.

6.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,若从中随机抽出3张,设这3张卡片上的数字和为X,则D(X)=________.

7.根据以往经验,一辆从北京开往天津的长途汽车在无雨天盈利230元,小雨天盈利163元,中雨天盈利90元.根据天气预报,明天无雨的概率是,有小雨的概率是,有中雨的概率是.问:明天发一辆长途汽车盈利的期望是多少元?方差和标准差各是多少?8.设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次抽取一个,并且取出不再放回,若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数.(1)求X的分布列、均值及方差;(2)求Y的分布列、均值及方差.扩展练习1.某同学上学路上要经过3个路口,在每个路口遇到红灯的概率都是,且在各路口是否遇到红灯是相互独立的,记X为遇到红灯的次数,若Y=3X+5,则Y的标准差为()A. C. 2.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,又已知E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为()A. B. D.3.已知离散型随机变量X的可能取值为x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=,D(X)=,则对应x1,x2,x3的概率p1,p2,p3分别为________,_______,_______.4.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球.若采取放回抽样方式,从中摸出两个球,则两球恰好颜色不同的概率为________,若采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,则摸出白球的个数的方差为________.

5.已知随机变量X的分布列为:X01xPp若E(X)=.(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X-2,求的值.6.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为,3a,a,,乙射中10,9,8环的概率分别为,,.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析,X1和X2的分布列分别为X15%10%PX22%8%12%P(1)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最小值.参考答案1.(多选题)已知随机变量X的分布列为X-101Pa则下列式子正确的是()(X=0)= =(X)=- (X)=分析：选ABC.由分布列可知,P(X=0)=,a=1--=,E(X)=(-1)×+0×+1×=-;D(X)=×+×+×=.2.设随机变量X的分布列为X-101P若Y=2X+2,则D(Y)等于() B. C. D.分析：选D.由题意知,E(X)=-1×+0×+1×=-,故D(X)=×+×+×=,D(Y)=D(2X+2)=4D(X)=4×=.3.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分X的均值与方差分别为()(X)=0,D(X)=1 (X)=,D(X)=(X)=0,D(X)= (X)=,D(X)=1分析：选A.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分X的分布列为X1-1P所以E(X)=1×+(-1)×=0,D(X)=(1-0)2×+(-1-0)2×=1.4.(多选题)编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是ξ,则()A.ξ的所有取值是1,2,3 (ξ=1)=(ξ)=1 (ξ)=1分析：选BCD.ξ的所有可能取值为0,1,3,ξ=0表示三位同学全坐错了,有2种情况,即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生,则P(ξ=0)==;ξ=1表示三位同学只有1位同学坐对了,则P(ξ=1)==;ξ=3表示三位同学全坐对了,即对号入座,则P(ξ=3)==.所以ξ的分布列为ξ013PE(ξ)=0×+1×+3×=1.D(ξ)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(3-1)2=1.5.若某事件在一次试验中发生次数的方差等于,则该事件在一次试验中发生的概率为________.

分析：事件在一次试验中发生次数记为X,则X服从两点分布,则D(X)=p(1-p),所以p(1-p)=,解得p=.答案:6.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,若从中随机抽出3张,设这3张卡片上的数字和为X,则D(X)=________.

分析：由题意得,随机变量X的可能取值为6,9,12.P(X=6)==,P(X=9)==,P(X=12)==,则E(X)=6×+9×+12×=,D(X)=×2+×2+×2=.答案:7.根据以往经验,一辆从北京开往天津的长途汽车在无雨天盈利230元,小雨天盈利163元,中雨天盈利90元.根据天气预报,明天无雨的概率是,有小雨的概率是,有中雨的概率是.问:明天发一辆长途汽车盈利的期望是多少元?方差和标准差各是多少?分析：用X表示明天发一辆车的盈利,由题意知P(X=230)=,P(X=163)=,P(X=90)=,所以E(X)=230×+163×+90×=(元).所以明天发一辆长途汽车盈利的期望是元.方差D(X)=2×+2×+2×=3,标准差=≈55.所以方差和标准差各是3,55.8.设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次抽取一个,并且取出不再放回,若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数.(1)求X的分布列、均值及方差;(2)求Y的分布列、均值及方差.分析：(1)X的可能值为0,1,2.若X=0,表示没有取出次品,其概率为P(X=0)==,同理,有P(X=1)==,P(X=2)==.所以X的分布列为X012P所以E(X)=0×+1×+2×=.D(X)=×+×+×=.(2)Y的可能值为1,2,3,显然X+Y=3.P(Y=1)=P(X=2)=,P(Y=2)=P(X=1)=,P(Y=3)=P(X=0)=.所以Y的分布列为Y123P所以Y=-X+3,所以E(Y)=E(3-X)=3-E(X)=3-=,D(Y)=(-1)2D(X)=.扩展练习1.某同学上学路上要经过3个路口,在每个路口遇到红灯的概率都是,且在各路口是否遇到红灯是相互独立的,记X为遇到红灯的次数,若Y=3X+5,则Y的标准差为()A. C. 分析：选A.因为该同学经过每个路口时,是否遇到红灯互不影响,所以可看成3次独立重复试验,即X～B,则X的方差D(X)=3××=,所以Y的方差D(Y)=32·D(X)=9×=6,所以Y的标准差为=.2.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,又已知E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为()A. B. D.分析：选C.x1,x2满足解得或因为x1<x2,所以x1=1,x2=2,所以x1+x2=3.3.已知离散型随机变量X的可能取值为x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=,D(X)=,则对应x1,x2,x3的概率p1,p2,p3分别为________,_______,_______.分析：由题意知,-p1+p3=,++=.又p1+p2+p3=1,解得p1=,p2=,p3=.答案:4.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球.若采取放回抽样方式,从中摸出两个球,则两球恰好颜色不同的概率为________,若采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,则摸出白球的个数的方差为________.

分析：“有放回摸取”可看作独立重复试验,每次摸出一球是白球的概率为p==.所以“有放回摸两次,颜色不同”的概率为××=.“不放回抽取”时,设摸出白球的个数为X,依题意得P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.所以E(X)=0×+1×+2×=,D(X)=×+×+×=.答案:5.已知随机变量X的分布列为:X01xPp若E(X)=.(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X-2,求的值.分析：由分布列的性质,得++p=1,解得p=,因为E(X)=0×+1×+x=,所以x=2.(1)D(X)=×+×+×==.(2)因为Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5,所以=.6.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为,3a,a,,乙射中10,9,8环的概率分别为,,.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.分析：(1)由题意得:+3a+a+=1,解得a=.因为乙射中10,9,8环的概率分别为,,.所以乙射中7环的概率为1-++=.所以ξ,η的分布列分别为ξ10987Pη10987P(2)由(1)得E(ξ)=10×+9×+8×+7×=;E(η)=10×+9×+8×+7×=;D(ξ)=2×+2×+2×+2×=;D(η)=2×+2×+2×+2×=.由于E(ξ)>E(η),D(ξ)<D(η),说明甲射击的环数的均值比乙高,且成绩比较稳定,所以甲比乙的射击技术好.,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析,X1和X2的分布列分别为X15%10%PX22%8%12%P(1)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差