直线与直线垂直教案2022年高中数学人教A版必修

第八章立体几何初步空间直线、平面的垂直直线与直线垂直教学设计一、教学目标1.理解两异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角；2.掌握证明两条异面直线垂直的方法.二、教学重难点1.教学重点异面直线所成的角，两条异面直线垂直的定义.2.教学难点求异面直线所成的角.三、教学过程（一）新课导入思考：如图，在正方体中，直线与直线AB，直线与直线AB都是异面直线，直线与相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？（二）探索新知如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线，，我们把直线QUOTEa'与QUOTEb'所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.如果两条异面直线所成的角是直角，那么这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作.当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为0QUOTE°°.所以空间两条直线所成角的取值范围是.例1如图，已知正方体.（1）哪些棱所在的直线与直线垂直？（2）求直线与所成的角的大小.（3）求直线与AC所成的角的大小.解：（1）棱AB，BC，CD，DA，，，，所在直线分别与直线垂直.（2）因为是正方体，所以，因此为直线与所成的角.又因为，所以直线与所成的角等于.（3）如图，连接.因为是正方体，所以.从而四边形是平行四边形，所以.于是为异面直线与AC所成的角.连接，易知是等边三角形，所以.从而异面直线与AC所成的角等于.例2如图（1），在正方体中，为底面的中心.求证.证明：如图（2），连接.是正方体，.四边形是平行四边形..直线与所成的角即为直线与BD所成的角.连接，，易证.又为底面的中心，为的中点，..（三）课堂练习1.在正方体中，与垂直的直线是()A. B. C. D.答案：C解析：A中，与所成角为，由已知条件可得，在中为，所以与不垂直.B中，，所以与不垂直.C中，设分别为和的中点，则.又因为也是的中点，，所以，所以与垂直.D中，，所以与所成角为，由已知条件可得在中，为，所以与不垂直.2.在长方体中，，，则异面直线与所成的角为()° ° ° °答案：C解析：如图，连接，因为，所以为异面直线与所成的角.因为，所以，故选C.

3.如图所示，正方体中，①与平行；②与垂直；③与垂直.以上三个结论中，正确的序号是()A.①② B.②③ C.③ D.①②③答案：C解析：①在正方体中，由图可知与异面，故①不正确；②因为，与不垂直，所以与不垂直，故②不正确；③因为，所以与所成角即为与所成角，由已知条件可知，所以与垂直，即与垂直，故③正确.4.已知四面体的棱都相等，为的重心，则异面直线与所成角的余弦值为__________.答案：解析：设四面体的棱长为，延长交于，取的中点，连接.由题意知为的中点，所以，所以为异面直线与所成的角.由题意知，则在中，.5.如图，已知正方体.

（1）求与所成角的大小；（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.答案：（1）如图，连接AC，.

由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以，

从而AC与所成的角为与所成的角.

由，可知.

故与所成的角为60°.

（2）如图，连接BD.

易知四边形为平行四边形，所以，

因为EF为的中位线，所以.

又，所以，所以.小结作业小结：求异面直线所成的角；证明两条异面直线垂直.作业：四、板书设计直线与直线垂直1.异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线，，我们把直线QUOTEa'与QUOTEb'