正态分布【新教材】2022年人教A版高中数学选择性练习（Word版含答案）

正态分布练习一、单选题某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为(

)人．(参考数据P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9544)A.261 B.341 C.477 D.683某校一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N89,σ2，且P(84<X≤89)=0.3.该校有600人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于94A.60 B.80 C.100 D.120中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目．在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布N(80,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有32名，则参赛的学生总数约为(    )

(参考数据：P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.954，P(μ−3σ<X<μ+3σ)≈0.997)A.208 B.206 C.204 D.202设随机变量X～N(5,σ2)，若P(X>10−a)=0.4A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久．奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉．据统计，奉节脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(80,52)，则果实横径在[75,90)的概率为(    )

附：若X～N(μ,σ2)，则A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.9544已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，若P(ξ<2)=P(ξ>8)=0.15，则P(2≤ξ<5)=(A.0.3 B.0.35 C.0.5 D.0.7设随机变量X∼N(3,σ2)，若P(X>m)=0.3A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7某地区一次联考的数学成绩X近似地服从正态分布N(85,σ2)，已知P(X≤122)=0.96，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为(A.6 B.4 C.94 D.96山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外．据统计，烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布N(80,52)，则直径在(75,90]内的概率为附：若X～N(μ,σ2)，则A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.9544若随机变量ξ服从正态分布N2,σ2,ξ在区间(4,+∞)上的取值概率是0.2，则ξ在区间(0,2)A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.8“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项．已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ(单位：cm)服从正态分布N(200,σ2)，且P(ξ≥220)=0.1，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记ξ不在(180,220)的人数为X，则(

A.P(180<ξ<220)=0.9 B.E(X)=2.4

C.D(X)=0.16 D.P(X≥1)=0.488某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差(单位：微米)服从正态分布N1,32，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间4,7内的概率为((附：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则A.31.74％ B.27.18％ C.13.59％ D.4.56％二、单空题已知随机变量X∽N(1,σ2)，若PX>2=0.2，则已知某农场某植物高度ξ～N(μ,0.04)，且P(ξ<6)=P(ξ≥6)，如果这个农场有这种植物10000棵，试估计该农场这种植物高度在区间(6.2,6.4]上的棵数为________．参考数据：若ξ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)=0.6826P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9974．已知随机变量X～B(2,p)，Y～N(2,σ2)已知随机变量X~N（2，σ2），P（X>0）=，则P（2<X≤4）=________．已知随机变量X∼N2,σ2，PX>0=0.9，则三、解答题已知随机变量X～N(μ,σ2)，且正态分布密度函数在(−∞,80)上是增函数，在(80,+∞)上为减函数，(1)求参数μ，σ的值；(2)求P(64<X≤72)．

一建筑工地需要的钢筋的长度服从正态分布，其中μ=8，σ=0.2.质检员在检查一大批钢筋的质量时发现有的钢筋长度不到7 m，这时，他应该让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋，还是让钢筋工停止加工，检查钢筋切割机？

在新冠肺炎防控期间，某校“停课不停学”，采取了网络教学的授课模式对学生进行了教学．该校为了解网络教学的学习效率，随机抽查了高一年级(本年级共有2000名学生)100名学生的某次物理测试成绩(满分100分)，统计他们的成绩在40分到100分之间，并得到如下统计表：分数段[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数5203030105(1)由统计表可以认为，这次物理测试成绩近似地服从正态分布N(μ,14.42)，其中μ近似为样本平均数(每组数据以区间的中点值为代表)，试估计这次物理测试成绩在区间(54.1,97.3)内的人数((2)年级组决定选取一部分成绩不理想的学生分析成绩偏低的原因，选取办法如下：先利用分层抽样的方法从成绩在前3段的学生中随机选取11人组成1个样本小组，再从这11人中随机选取1人，如果选到成绩在前2段的学生，则该学生留在样本小组；如果选到第3段的学生，则将该学生与前2段中未选到的一个学生(即该生不是已选取到样本中的人)交换，重复上述过程n次后，记这11人中成绩在前2段中的学生人数为Xn①求X1的概率分布及数学期望E(②求Xn的数学期望E(Xn附：若Z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z≤μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<Z≤μ+2σ)=0.9545．

答案和解析1.【答案】B

【解答】

解：由此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，得正态曲线的对称轴为x=75，σ=11，

所以数学成绩在75分到86分之间的概率P=12P(μ−σ<X<μ+σ)=0.3413，

所以数学成绩在75分到86分之间的人数约为1000×0.3413≈341．

故选B．

2.【答案】D

【解答】

解：∵考试的成绩X服从正态分布N(89,σ2)，

∴考试的成绩X关于X=89对称，

∵P(84<X≤89)=0.3，

∴P(89<X<94)=0.3，

∴P(X≥94)=1−0.3−0.32=0.2，

∴该校数学成绩在90分以上的人数为0.2×600=120，

故选D．

3.【答案】D

【解答】

解：设参赛学生的成绩为ξ，由题意知ξ∼N80,102，

因此P70<ξ⩽90=0.683，所以Pξ⩾90=1−0.6832≈0.159．

又因为成绩在90分以上(含90分)的学生有32名，

所以参赛的学生总数约为320.159≈202．

4.【答案】A

【解答】【解析】解：由题意，μ=80，δ=5．

则P(75<X≤85)=0.6826，P(70<X≤90)=0.9544．

∴P(85<X≤90)=12(0.9544−0.6826)=0.1359．

∴P(75<X≤90)=0.6826+0.1359=0.8185．

则果实横径在[75,90)的概率为0.8185．

6.【答案】B

【解答】

解：∵随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，

若P(ξ<2)=P(ξ>8)=0.15，

∴μ=8+22=5，

∴P2≤ξ<5=0.5−P(ξ<2)=0.5−0.15=0.35，

7.【答案】D

【解答】

解：由于X∼N(3,σ2)，则正态密度曲线关于直线x=3对称，

所以P(X>m)=PX<6−m=0.3，则P(X⩾6−m)=1−PX<6−m=1−0.3=0.7．

故选D．

8.【答案】B

【解答】

解：由题意可得，P(X>122)=0.04，对称轴为x=85，

故P(X<48)=0.04，

∴成绩小于48分的样本个数为100×0.04=4个．

故选B．

9.【答案】C

【解答】

解：由题意，μ=80，σ=5，则P(75<X≤85)=0.6826，P(70<X≤90)=0.9544，

所以P(85<X≤90)=12×(0.9544−0.6826)=0.1359，P(75<X≤90)=0.6826+0.1359=0.8185．

故果实直径在(75,90]内的概率为0.8185．

故选C．

10.【答案】A

【解答】

解：据题设分析知，因为ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ2>0)，

所以正态曲线关于直线x=2对称，

∵ξ在区间4,+∞上的取值概率是0.2，

∴由对称性ξ在−∞,0上的取值概率也是0.2，

所求概率P(0<ξ<2)=1−2P(ξ>4)2=0.3，

11.【答案】D

【解答】

解：因为ξ～N(200,σ2)，所以P(ξ≤180)=P(ξ≥220)=0.1，

则P(180<ξ<220)=1−2P(ξ≥220)=0.8，故A错误．

因为x～B(3,0.2)，故E(X)=3×0.2=0.6，故B错误；

D(X)=3×0.8×0.2=0.48，故C错误；

P(X≥1)=1−P(X=0)=1−0.83=0.488，故D正确．

12.【答案】C

【解答】

解：设口径的长度误差为ξ，

P(−2<ξ<4)=68.27%，P(−5<ξ<7)=95.45%，

∴P(4<ξ<7)=12(95.45%−68.27%)=13.59%．

故选C．

13.【答案】0.8

【解答】

解：∵随机变量X服从正态分布X∽N(1,σ2)，

∴对称轴是x=1，

∴P(X>2)=P(X<0)=0.2，

∴P(X>0)=1−0.2=0.8

故答案为0.8

14.【答案】1359【解析】解：∵随机变量X～B(2,p)，Y～N(2,σ2)，P(X≥1)=0.64，

∴P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)

=C21p(1−p)+C22p2=0.64，

解得p=0.4，或p=1.6(舍)，

∴P(0<Y<2)=p=0.4，

∴P(Y>4)=12(1−0.4×2)=0.1．

16.【答案】

【解答】

解：因为随机变量X服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），且P（X＞0）=，

所以该正态分布曲线的对称轴为x=2，故P（X＜2）=P（X＞2）=，

所以P（2＜X＜4）=P（0＜X＜2）=P（X＞0）-P（X＞2）=

故答案为：．

17.【答案】0.4

【解答】

解：因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0)，且P(X>0)=0.9，

所以该正态分布曲线的对称轴为x=2，故P(X<2)=P(X>2)=0.5，

所以P(2<X<4)=P(0<X<2)=P(X>0)−P(X>2)=0.9−0.5=0.4．

故答案为0.4．

18.【答案】解：(1)由于正态分布密度函数在(−∞,80)上是增函数，在(80,+∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x=80对称，即参数μ=80．

又P(72<X≤88)≈0.682 7，P(μ−σ<X≤μ+σ)≈0.682 7，

所以σ=8．

(2)因为P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=P(64<X≤96)≈0.954 5，

P(72<X≤88)≈0.682 7，

所以P(64<X≤72)

=12[P(64<X≤96)−P(72<X≤88)]

=12×(0.954 5−0.682 7)分数455565758595频率0.050.20.30.30.10.05

则μ=45×0.05+55×0.2+65×0.3+75×0.3+85×0.1+95×0.05=68.5，

所以P(54.1<Z<97.3)=P68.5−14.4<Z<68.5+28.8)

=120.6827+0.9545=