新教材高中数学空间向量与立体几何章末综合测评课时分层作业含解析新人教A版选择性必修

章末综合测评(一)空间向量与立体几何(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(2，－1,6)的距离是()A．2eq\r(43)B．2eq\r(21)C．9D．eq\r(86)2．在空间四边形ABCD中，若向量eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－3,5,2)，eq\o(CD,\s\up8(→))＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则eq\o(EF,\s\up8(→))的坐标为()A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)3．A，B，C不共线，对空间内任意一点O，若eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up8(→))，则P，A，B，C四点()A．不共面B．共面C．不一定共面D．无法判断是否共面4．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)5.长方体ABCD­A1B1C1D1中AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A．eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(30),10)C．eq\f(2\r(15),10) D．eq\f(3\r(10),10)6．空间直角坐标系中A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定7.如图是一平行六面体ABCD­A1B1C1D1，E为BC延长线一点，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2eq\o(CE,\s\up8(→))，则eq\o(D1E,\s\up8(→))＝()A．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))B．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))C．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))D．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))8.如图所示，ABCD­A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成夹角的余弦值为()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,5) D．eq\f(2\r(6),5)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有()A．eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))与eq\o(OB1,\s\up8(→))＋eq\o(OC1,\s\up8(→))是一对相反向量B．eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))与eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OD1,\s\up8(→))是一对相反向量C．eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))与eq\o(OA1,\s\up8(→))＋eq\o(OB1,\s\up8(→))＋eq\o(OC1,\s\up8(→))＋eq\o(OD1,\s\up8(→))是一对相反向量D．eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))与eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OC1,\s\up8(→))是一对相反向量10．在以下命题中，不正确的命题有()A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λbC．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up8(→))＝2eq\o(OA,\s\up8(→))－2eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))，则P，A，B，C四点共面D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底11．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则与直线CE不垂直的有()A．AC B．BDC．A1D D．A1A12.如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到面AED1的距离为d，直线DE与面AED1所成的角为θ，面AED1与面AED的夹角为α，则()A．DF⊥面AED1B．d＝eq\f(4,3)C．sinθ＝eq\f(4\r(5),15)D．cosα＝eq\f(2,3)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知向量e1，e2，e3是三个不共面的非零向量，且a＝2e1－e2＋e3，b＝－e1＋4e2－2e3，c＝11e1＋5e2＋λe3，若向量a，b，c共面，则λ＝________.14.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq\r(2)，E，F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为________．15．已知正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为________．16．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．则|2a＋b|＝________；在直线AB上，存在一点E，使得eq\o(OE,\s\up8(→))⊥b，则点E的坐标为________．(第一空2分，第二空3分)四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：(1)a，b，c；(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值．18．(本小题满分12分)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD­A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1＝3，CD＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°.(1)设eq\o(CD,\s\up8(→))＝a，eq\o(CB,\s\up8(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up8(→))＝c，试用a，b，c表示eq\o(A1C,\s\up8(→))；(2)已知O为四棱柱ABCD­A1B1C1D1的中心，求CO的长．19．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F＝1.(1)求证：BE⊥平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离．20.(本小题满分12分)如图所示，已知点P在正方体ABCD­A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．21．(本小题满分12分)如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2eq\r(2)，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求平面PAM与平面DAM的夹角的大小；(3)求点D到平面AMP的距离．22．(本小题满分12分)如图，四棱锥S­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的eq\r(2)倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．章末综合测评(一)空间向量与立体几何（答案版）(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(2，－1,6)的距离是()A．2eq\r(43)B．2eq\r(21)C．9D．eq\r(86)D[由条件知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(5，－5,6)，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(25＋25＋36)＝eq\r(86).故选D.]2．在空间四边形ABCD中，若向量eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－3,5,2)，eq\o(CD,\s\up8(→))＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则eq\o(EF,\s\up8(→))的坐标为()A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)B[取AC中点M，连接ME，MF(图略)，则eq\o(ME,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)，1))，eq\o(MF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，－\f(1,2)，－2))，所以eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(MF,\s\up8(→))－eq\o(ME,\s\up8(→))＝(－2，－3，－3)，故选B.]3．A，B，C不共线，对空间内任意一点O，若eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up8(→))，则P，A，B，C四点()A．不共面B．共面C．不一定共面D．无法判断是否共面B[由于eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，∴P、A、B、C四点共面．故选B.]4．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)B[y轴的一个方向向量s＝(0,1,0)，cos〈n，s〉＝eq\f(n·s,|n|·|s|)＝－eq\f(\r(2),2)，即y轴与平面α所成角的正弦值是eq\f(\r(2),2)，故其所成的角的大小是eq\f(π,4).故选B.]5.长方体ABCD­A1B1C1D1中AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A．eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(30),10)C．eq\f(2\r(15),10) D．eq\f(3\r(10),10)B[建立坐标系如图所示．则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，eq\o(BC1,\s\up8(→))＝(－1,0,2)，eq\o(AE,\s\up8(→))＝(－1,2,1)．cos〈eq\o(BC1,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(AE,\s\up8(→))·\o(BC1,\s\up8(→)),|\o(AE,\s\up8(→))|·|\o(BC1,\s\up8(→))|)＝eq\f(\r(30),10).所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为eq\f(\r(30),10).故选B.]6．空间直角坐标系中A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定A[∵空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－2，－2,2)，eq\o(CD,\s\up8(→))＝(1,1，－1)，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝－2eq\o(CD,\s\up8(→))，∴直线AB与CD平行．故选A.]7.如图是一平行六面体ABCD­A1B1C1D1，E为BC延长线一点，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2eq\o(CE,\s\up8(→))，则eq\o(D1E,\s\up8(→))＝()A．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))B．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))C．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))D．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))B[取BC的中点F，连接A1F(图略)，则A1D1FE，所以四边形A1D1EF是平行四边形，所以A1FD1E，所以eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\o(D1E,\s\up8(→)).又eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BF,\s\up8(→))＝－eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))，所以eq\o(D1E,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))，故选B.]8.如图所示，ABCD­A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成夹角的余弦值为()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,5) D．eq\f(2\r(6),5)B[以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6,3,0)、F(3,6,0)时，A1、E、F、C1共面，设平面A1DE的法向量为n1＝(a，b，c)，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(DE,\s\up8(→))·n1＝6a＋3b＝0,\o(DA1,\s\up8(→))·n1＝6a＋6c＝0))可取n1＝(－1,2,1)，同理可得平面C1DF的一个法向量为n2＝(2，－1,1)，故平面A1DE与平面C1DF的夹角的余弦值为eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq\f(1,2).故选B.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有()A．eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))与eq\o(OB1,\s\up8(→))＋eq\o(OC1,\s\up8(→))是一对相反向量B．eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))与eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OD1,\s\up8(→))是一对相反向量C．eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))与eq\o(OA1,\s\up8(→))＋eq\o(OB1,\s\up8(→))＋eq\o(OC1,\s\up8(→))＋eq\o(OD1,\s\up8(→))是一对相反向量D．eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))与eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OC1,\s\up8(→))是一对相反向量ACD[∵O为正方体的中心，∴eq\o(OA,\s\up8(→))＝－eq\o(OC1,\s\up8(→))，eq\o(OD,\s\up8(→))＝－eq\o(OB1,\s\up8(→))，故eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))＝－(eq\o(OB1,\s\up8(→))＋eq\o(OC1,\s\up8(→)))，同理可得eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝－(eq\o(OA1,\s\up8(→))＋eq\o(OD1,\s\up8(→)))，故eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))＝－(eq\o(OA1,\s\up8(→))＋eq\o(OB1,\s\up8(→))＋eq\o(OC1,\s\up8(→))＋eq\o(OD1,\s\up8(→)))，∴AC正确；∵eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OD1,\s\up8(→))＝eq\o(D1A1,\s\up8(→))，∴eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))与eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OD1,\s\up8(→))是两个相等的向量，∴B不正确；∵eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OC1,\s\up8(→))＝eq\o(C1C,\s\up8(→))＝－eq\o(AA1,\s\up8(→))，∴eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝－(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OC1,\s\up8(→)))，∴D正确．]10．在以下命题中，不正确的命题有()A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λbC．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up8(→))＝2eq\o(OA,\s\up8(→))－2eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))，则P，A，B，C四点共面D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底ABC[A.|a|－|b|＝|a＋b|⇒a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；需为非零向量，故不正确；C.因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；D.由基底的定义知正确．]11．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则与直线CE不垂直的有()A．AC B．BDC．A1D D．A1AACD[建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，∴eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－1,1,0)，eq\o(BD,\s\up8(→))＝(－1，－1,0)，eq\o(A1D,\s\up8(→))＝(－1,0，－1)，eq\o(A1A,\s\up8(→))＝(0,0，－1)．∵eq\o(CE,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋0＝－1≠0，eq\o(CE,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋0＝0，eq\o(CE,\s\up8(→))·eq\o(A1D,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)＋0－1＝－eq\f(3,2)≠0.eq\o(CE,\s\up8(→))·eq\o(A1A,\s\up8(→))＝0＋0－1＝－1≠0.∴与CE不垂直的有AC、A1D、A1A，故选ACD.]12.如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到面AED1的距离为d，直线DE与面AED1所成的角为θ，面AED1与面AED的夹角为α，则()A．DF⊥面AED1B．d＝eq\f(4,3)C．sinθ＝eq\f(4\r(5),15)D．cosα＝eq\f(2,3)BCD[以A为坐标原点，eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，则A(0,0,0)，E(2,1,0)，D(0,2,0)，D1(0,2,2)，A1(0,0,2)，F(2,0,1)，所以eq\o(AE,\s\up8(→))＝(2,1,0)，eq\o(AD1,\s\up8(→))＝(0,2,2)，eq\o(DE,\s\up8(→))＝(2，－1,0)，eq\o(DF,\s\up8(→))＝(2，－2,1)．设平面AED1的法向量为m＝(x，y，z)，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AE,\s\up8(→))＝0,m·\o(AD1,\s\up8(→))＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0,2y＋2z＝0，))令x＝1，则y＝－2，z＝2，故m＝(1，－2,2)．∵eq\o(DF,\s\up8(→))＝(2，－2,1)，不存在λ使m＝λeq\o(DF,\s\up8(→))，即eq\o(DF,\s\up8(→))与m不共线，∴DF与面AED1不垂直故A不正确；又∵eq\o(DD1,\s\up8(→))＝(0,0,2)，∴d＝eq\f(\o(DD1,\s\up8(→))·m,|m|)＝eq\f(4,\r(1＋4＋4))＝eq\f(4,3)，故B正确；又eq\o(DE,\s\up8(→))＝(2，－1,0)．∴sinθ＝|cos〈eq\o(DE,\s\up8(→))，m〉|＝eq\f(|2＋2＋0|,\r(1＋4＋4)\r(4＋1))＝eq\f(4\r(5),15).∴C正确；又eq\o(AA1,\s\up8(→))＝(0,0,2)为平面AED的一个法向量，∴cosα＝eq\f(|\o(AA1,\s\up8(→))·m|,|\o(AA1,\s\up8(→))||m|)＝eq\f(4,2×3)＝eq\f(2,3)，故D正确，故应选B、C、D.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知向量e1，e2，e3是三个不共面的非零向量，且a＝2e1－e2＋e3，b＝－e1＋4e2－2e3，c＝11e1＋5e2＋λe3，若向量a，b，c共面，则λ＝________.1[因为a，b，c共面，所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，则11e1＋5e2＋λe3＝(2m－n)e1＋(－m＋4n)e2＋(m－2n)e3，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－n＝11,－m＋4n＝5,m－2n＝λ))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝7,n＝3,λ＝1)).]14.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq\r(2)，E，F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为________．eq\f(\r(6),2)[以D为坐标原点，分别以eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(DD1,\s\up8(→))所在方向为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系(图略)，由条件知E(1,1，eq\r(2))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(\r(2),2)))∴eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，－\f(\r(2),2)))，∴E、F两点间的距离为|eq\o(EF,\s\up8(→))|＝eq\r(0＋1＋\f(1,2))＝eq\f(\r(6),2).]15．已知正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为________．eq\f(1,4)[设上、下底面中心分别为O1、O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，直线BD、AC、OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∵AB＝2，A1B1＝1，∴AC＝BD＝2eq\r(2)，A1C1＝B1D1＝eq\r(2)，∵平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴∠B1BO为侧棱与底面所成的角，∴∠B1BO＝60°，设棱台高为h，则tan60°＝eq\f(h,\r(2)－\f(\r(2),2))，∴h＝eq\f(\r(6),2)，∴A(0，－eq\r(2)，0)，D1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0，\f(\r(6),2)))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0，\f(\r(6),2)))，C(0，eq\r(2)，0)，∴eq\o(AD1,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\r(2)，\f(\r(6),2)))，eq\o(B1C,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\r(2)，－\f(\r(6),2)))，∴cos〈eq\o(AD1,\s\up8(→))·eq\o(B1C,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(AD1,\s\up8(→))·\o(B1C,\s\up8(→)),|AD1|·|B1C|)＝eq\f(1,4)，故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为eq\f(1,4).]16．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．则|2a＋b|＝________；在直线AB上，存在一点E，使得eq\o(OE,\s\up8(→))⊥b，则点E的坐标为________．(第一空2分，第二空3分)5eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5)))[2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝eq\r(02＋－52＋52)＝5eq\r(2).又eq\o(OE,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(AB,\s\up8(→))＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，由eq\o(OE,\s\up8(→))⊥b，则eq\o(OE,\s\up8(→))·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝eq\f(9,5)，因此，此时点E的坐标为Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5))).]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：(1)a，b，c；(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值．[解](1)因为a∥b，所以eq\f(x,－2)＝eq\f(4,y)＝eq\f(1,－1)，解得x＝2，y＝－4，则a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．又b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，设a＋c与b＋c夹角为θ，因此cosθ＝eq\f(5－12＋3,\r(38)·\r(38))＝－eq\f(2,19).18．(本小题满分12分)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD­A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1＝3，CD＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°.(1)设eq\o(CD,\s\up8(→))＝a，eq\o(CB,\s\up8(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up8(→))＝c，试用a，b，c表示eq\o(A1C,\s\up8(→))；(2)已知O为四棱柱ABCD­A1B1C1D1的中心，求CO的长．[解](1)由eq\o(CD,\s\up8(→))＝a，eq\o(CB,\s\up8(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up8(→))＝c，得eq\o(CA1,\s\up8(→))＝a＋b＋c，所以eq\o(A1C,\s\up8(→))＝－a－b－c.(2)O为四棱柱ABCD­A1B1C1D1的中心，即O为线段A1C的中点．由已知条件得|a|＝|b|＝2，|c|＝3，a·b＝0，〈a，c〉＝60°，〈b，c〉＝60°.由(1)得eq\o(CA1,\s\up8(→))＝a＋b＋c，则|eq\o(CA1,\s\up8(→))|2＝eq\o(CA1,\s\up8(→))2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝22＋22＋32＋0＋2×2×3×cos60°＋2×2×3×cos60°＝29.所以A1C的长为eq\r(29)，所以CO的长为eq\f(\r(29),2).19．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F＝1.(1)求证：BE⊥平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离．[解](1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)．∴eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－2,2,0)、eq\o(AF,\s\up8(→))＝(0,2,4)、eq\o(BE,\s\up8(→))＝(－2，－2,1)、eq\o(AE,\s\up8(→))＝(－2,0,1)．∵eq\o(BE,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0，eq\o(BE,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))＝0，∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A.∴BE⊥平面ACF.(2)由(1)知，eq\o(BE,\s\up8(→))为平面ACF的一个法向量，∴点E到平面ACF的距离d＝eq\f(|\o(AE,\s\up8(→))·\o(BE,\s\up8(→))|,|\o(BE,\s\up8(→))|)＝eq\f(5,3).故点E到平面ACF的距离为eq\f(5,3).20.(本小题满分12分)如图所示，已知点P在正方体ABCD­A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．[解](1)如图所示，以D为原点，DA，DC，DD′分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设DA＝1.则eq\o(DA,\s\up8(→))＝(1,0,0)，eq\o(CC′,\s\up8(→))＝(0,0,1)．连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设eq\o(DH,\s\up8(→))＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈eq\o(DH,\s\up8(→))，eq\o(DA,\s\up8(→))〉＝60°，由eq\o(DA,\s\up8(→))·eq\o(DH,\s\up8(→))＝|eq\o(DA,\s\up8(→))||eq\o(DH,\s\up8(→))|cos〈eq\o(DH,\s\up8(→))，eq\o(DA,\s\up8(→))〉，可得2m＝eq\r(2m2＋1).解得m＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\o(DH,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).因为cos〈eq\o(DH,\s\up8(→))，eq\o(CC′,\s\up8(→))〉＝eq\f(\f(\r(2),2)×0＋\f(\r(2),2)×0＋1×1,\r(2)×1)＝eq\f(\r(2),2)，所以〈eq\o(DH,\s\up8(→))，eq\o(CC′,\s\up8(→))〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是eq\o(DC,\s\up8(→))＝(0,1,0)，因为cos〈eq\o(DH,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))〉＝eq\f(\f(\r(2),2)×0＋\f(\r(2),2)×1＋1×0,1×\r(2))＝eq\f(1,2)，所以〈eq\o(DH,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))〉＝60°，可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.21．(本小题满分12分)如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2eq\r(2)，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求平面PAM与平面DAM的夹角的大小；(3)求点D到平面AMP的距离．[解](1)证明：以D为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，eq\r(3))，C(0,2,0)，A(2eq\r(2)，0,0)，M(eq\r(2)，2,0)．eq\o(PM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))，eq\o(AM,\s\up8(→))＝(－eq\r(2)，2,0)，∴eq\o(PM,\s\up8(→))·eq\o(AM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))·(－eq\r(2)，2,0)＝0，即eq\o(PM,\s\up8(→))⊥eq\o(AM,\s\up8(→))，∴AM⊥PM.(2)设n＝(x，y，z)为平面PAM的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PM,\s\up8(→))＝0，,n·\o(AM,\s\up8(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)x＋y－\r(3)z＝0，,－\r(2)x＋2y＝0，))取y＝1，得n＝(eq\r(2)，1，eq\r(3))．取p＝(0,0,1)，显然p为平面ABCD的一个法向量，∴cos〈n，p〉＝eq\f(n·p,|n||p|)＝eq\f(\r(3),\r(6))＝eq\f(\r(2),2).结合图形可知，平面PAM与平面DAM的夹角为45°.(3)设点D到平面AMP的距离为d，由(2)可知n＝(e