指数函数的图象和性质同步练习（含答案）

指数函数的图象和性质1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)函数y＝21－x是减函数．(√)(2)若ax－1>a0，则x>1.(×)(3)若>，则a>b.(×)(4)函数y＝4x是非奇非偶函数．(√)2．已知函数f(x)＝ax(0<a<1)，对于下列命题：①若x>0，则0<f(x)<1；②若x<1，则f(x)>a；③若f(x1)>f(x2)，则x1<x2.其中正确命题的个数为(D)A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：因为0<a<1，所以函数f(x)＝ax为减函数可得③正确；x>0时，0<f(x)<a0＝1，可得①正确；x<1时，f(x)>a1＝a，可得②正确．即①②③都正确，故选D.题型1指数函数的图象及应用3．若a>1，－1<b<0，则函数y＝ax＋b的图象一定在(A)A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限解析：因为a>1，且－1<b<0，故其图象如图所示．由图得函数的图象一定在第一、二、三象限．4．函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象一定经过点(A)A．(1,3) B．(0,3)C．(1,2) D．(0,1)解析：对于任意a>0且a≠1，由x－1＝0可得x＝1，当x＝1时，f(1)＝a0＋2＝3，所以函数f(x)＝ax－1＋2的图象一定经过点(1,3)．5．函数f(x)＝－3|x|＋1的图象大致是(A)解析：因为函数f(x)＝－3|x|＋1，所以f(－x)＝－3|－x|＋1＝－3|x|＋1＝f(x)，即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，D.当x＝0时，f(0)＝－30＋1＝0，即函数图象过原点，故排除C.题型2指数型函数的定义域与值域6．函数y＝eq\f(1,2x－1)的值域是(D)A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)解析：由y＝eq\f(1,2x－1)可得2x＝1＋eq\f(1,y)>0，即y(y＋1)>0，解之得y<－1或y>0.7．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值域为(1，＋∞)，则实数a的取值范围是(D)A．(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))B．(－1,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)解析：当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则底数a2－1>1，a2>2，所以|a|>eq\r(2)，所以实数a的取值范围是(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)．8．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,x＋1)－1，x≥0，,4×2x－\f(1,2)，x<0))的值域为A，则A为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(7,2))).解析：x≥0时，x＋1≥1,0<eq\f(1,x＋1)≤1，所以－1<eq\f(3,x＋1)－1≤2；x<0时，0<2x<1，－eq\f(1,2)<4×2x－eq\f(1,2)<eq\f(7,2).综上，函数的值域为eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(y))－1<y<eq\f(7,2)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(7,2))).题型3指数函数的性质及应用9．若0<x<1，则2x，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x,之间的大小关系为(D)A．2x<<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x B．2x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<<2x D．<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<2x解析：可用特殊值法．当x＝eq\f(1,2)时，2x＝eq\r(2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,2)＝eq\r(\f(1,2))，＝\f(1,2)＝eq\r(\f(1,5))，所以<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<2x.10．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(C)A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a解析：因为0<<1，所以指数函数y＝是减函数，又<，所以0<又，所以b<a<c.11．不等式3x－1≤92x的解集是eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x≥－eq\f(1,3).解析：由3x－1≤92x得3x－1≤34x，由于y＝3x在R上单调递增，所以x－1≤4x，解得x≥－eq\f(1,3)，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))x≥－eq\f(1,3).易错点1用错函数的类型致错12．若a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\f(2,3)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\f(1,3)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\f(2,3)，则(C)A．c<a<b B．c<b<aC．a<c<b D．b<a<c解析：因为指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x为减函数，eq\f(1,3)<eq\f(2,3)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\f(1,3)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\f(2,3)，即b>c.因为幂函数y＝xeq\f(2,3)在区间(0，＋∞)上为增函数，eq\f(1,3)<eq\f(2,3)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\f(2,3)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\f(2,3)，即a<c.故a<c<b.[误区警示]底数不同，指数相同，可考虑构造幂函数；底数相同，指数不同，可考虑构造指数函数．易错点2忽略了对参数的讨论致错13．解关于x的不等式a2x2－3x＋2>a2x2＋2x－3(a>0，且a≠1)．解：当0<a<1时，原不等式可化为2x2－3x＋2<2x2＋2x－3，解得x>1，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>1))；当a>1时，原不等式可化为2x2－3x＋2>2x2＋2x－3，解得x<1，所以原不等式的解集为{x|x<1}．综上，当0<a<1时，不等式的解集为{x|x>1}；当a>1时，不等式的解集为{x|x<1}．[误区警示]代数式中的分母影响到问题的结论时，要注意对字母的讨论．(限时30分钟)一、选择题1．(多选题)已知集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|3x<1}，则(AB)A．A∩B＝{x|x<－1} B．A∪B＝{x|x<0}C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅解析：由已知B＝{x|x<0}，又A＝{x|x<－1}，则A∩B＝{x|x<－1}，故A正确，D错误；A∪B＝{x|x<0}，故B正确，C错误．2．已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－，b＝π0，c＝，则a，b，c的大小关系为(D)A．c<b<a B．c<a<bC．b<a<c D．b<c<a解析：由指数函数的性质可得，a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－＝>＝c>1＝π0＝b，即b<c<a.3．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x，则实数x的取值范围是(B)A．(－∞，1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x为减函数，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x，所以x<1－x，解得x<eq\f(1,2).4．已知三个数a＝，b＝，c＝，则三个数的大小关系是(D)A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．a>c>b解析：因为指数函数y＝6x在R上为单调增函数，所以a＝＞60＝1.因为指数函数y＝在R上为单调减函数，所以b＝因为幂函数y＝在(0，＋∞)上为单调增函数，所以所以a＞c＞b.5．函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是(D)解析：函数y＝x＋a单调递增，故C不正确．由题意知a>0且a≠1.当0<a<1时，y＝ax单调递减，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于0且小于1，故B不正确．当a>1时，y＝ax单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1，故A不正确，D正确．6．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为eq\f(5,4)，则函数y＝3a2x－1在[0,1]上的最大值为(C)A．16 B．15C．12 D．eq\f(3,4)解析：因为函数y＝ax在定义域上是单调函数，且y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值和为eq\f(5,4)，所以1＋a＝eq\f(5,4)，解得a＝eq\f(1,4)，所以函数y＝3a2x－1＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2x－1＝12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))x.因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))x在定义域上为减函数，所以y＝3a2x－1在[0,1]上的最大值为当x＝0时，函数值是12.二、填空题7．函数f(x)＝a2x－2＋3(a>0且a≠1)的图象恒过定点__(1,4)__．解析：根据题意，在函数f(x)＝a2x－2＋3中，令2x－2＝0，解得x＝1，此时f(1)＝a2－2＋3＝4，即函数的图象恒过定点(1,4)．8．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3x＋1>91－x，则x的取值范围是__(－∞，－3)__．解析：由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3x＋1>91－x，得3－(3x＋1)>32(1－x)，所以－(3x＋1)>2(1－x)，解得x<－3.9．若指数函数y＝ax在[－1,1]上的最大值和最小值的差为1，则实数a＝eq\f(1＋\r(5),2)或eq\f(\r(5)－1,2).解析：当a>1时，y＝ax在[－1,1]上单调递增，所以当x＝－1时，y取到最小值a－1，当x＝1时，y取到最大值a，所以a－a－1＝1，解得a＝eq\f(1＋\r(5),2)；当0<a<1时，y＝ax在[－1,1]上单调递减，所以当x＝－1时，y取到最大值a－1，当x＝1时，y取到最小值a，所以a－1－a＝1，解得a＝eq\f(\r(5)－1,2).三、解答题10．比较下列各组数值的大小：(1)和；(2)和；(3)－和－3.解：(1)因为函数f(x)＝在R上是增函数，又>，所以因为函数g(x)＝在R上是减函数，又4>3，所以<.(3)因为－<＝1＝<－3，所以－<－3.11．已知函数f(x)＝eq\f(2x＋a,2x－1).(1)若f(x)为奇函数，求a的值；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)的值域．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)恒成立，所以eq\f(2－x＋a,2－x－1)＝－eq\f(2x＋a,2x－1)，整理得(a－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－x＋2x－2))＝0，所以a＝1.(2)令y＝eq\f(2x＋1,2x－1)，