中考模拟数学试题汇编：四边形选择与填空

中考模拟数学试题汇编：四边形选择与填空一．选择题1．（2018•枣庄）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A． B． C． D．2．（2020•宜昌）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（）A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B．每段直路要短 C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D．每段直路要长3．（2021•裕华区校级模拟）平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（）A．OD＝OC B．∠DAB＝90° C．∠ODA＝∠OAD D．AC⊥BD4．（2021•石家庄一模）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：甲：若四边形ABCD为正方形，则四边形PQMN必是正方形；乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是正方形．下列判断正确的是（）A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确5．（2021•衡水模拟）如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3时，则AD的值为（）A．2 B．3 C．4 D．66．（2021•邯郸模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF．求证：DE＝BF．以下是排乱的证明过程：①∵AE＝CF，∴BE＝FD；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD；③∴DE＝BF，④∴四边形EBFD是平行四边形．证明步骤正确的顺序是（）A．①→②→③→④ B．①→④→②→③ C．②→①→④→③ D．②→④→①→③7．（2021•长安区二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD交于点O．添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（）A．添加“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形 B．添加“∠BAD＝90°，则四边形ABCD是矩形 C．添加“OA＝OC”，则四边形ABCD是菱形 D．添加“∠ABC＝∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形8．（2021•裕华区模拟）如图，锐角∠BOC＝α，∠AOC是它的邻补角，AD∥OC，OD平分∠AOC，P为射线OC上一点（不含端点O），连接PD，作∠DPE＝α，PE交直线AB于点E．甲、乙、丙、丁四位同学都对这个问题进行了研究，并得出自己的结论．甲：若点E与点O重合，四边形PEAD是菱形；乙：若α＝60°，一定PD＝PE；丙：若α≠60°，一定PD≠PE；丁：若α＝80°，可能PD＝PE．下列判断正确的是（）A．甲、乙、丙正确，丁不正确 B．甲、乙、丁正确，丙不正确 C．甲、乙正确，丙、丁不正确 D．甲、乙、丁不正确，丙正确9．（2021•桥西区模拟）如图1，菱形纸片ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，如图2，翻折∠ABC，∠ADC，使两个角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕．设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：①当x＝1时，DP的长为；②EF+GH的值随x的变化而变化；③六边形AEFCHG面积的最大值是；④六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④10．（2021•裕华区模拟）如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝（）A．60° B．28° C．54° D．72°11．（2021•桥西区模拟）如图，正五边形ABCDE，DG平分正五边形的外角∠EDF，连接BD，则∠BDG＝（）A．144° B．120° C．114° D．108°12．（2021•新华区校级模拟）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加条件后不能使AE＝CF的是（）A．BE＝DF B．AE∥CF C．AF＝AE D．四边形AECF为平行四边形13．（2021•邢台模拟）证明：平行四边形的对角线互相平分．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O．求证：OA＝OC，OB＝OD．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴…∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO．∴△AOB≌△COD．∴OA＝OC，OB＝OD．其中，在“四边形ABCD是平行四边形”与“∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO”之间应补充的步骤是）A．AB＝CD，AD＝BC B．AD∥BC，AD＝BC C．AB∥CD，AD∥BC D．AB∥CD，AB＝CD二．填空题14．（2021•古冶区一模）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠CAB＝°．15．（2021•新华区模拟）如图，正方形ABCD的边长为3，连接BD，P、Q两点分别在AD、CD的延长线上，且满足∠PBQ＝45°．（1）BD的长为；（2）当BD平分∠PBQ时，DP、DQ的数量关系为；（3）当BD不平分∠PBQ时，DP•DQ＝．16．（2021•新华区校级模拟）如图，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中∠1的度数是．17．（2021•邯郸三模）在数学活动课中我们学习过平面镶嵌，若给出下面一些边长均为1的正三角形、正六边形卡片，要求必须同时使用这两种卡片，不重叠、无缝隙，围绕某一个顶点拼在一起，成一个平面图案，则共拼出种不同的图案；其中所拼的图案中最大的周长为．18．（2021•竞秀区一模）如图，扇形AOB中，半径OA在直线l上，∠AOB＝120°，OA＝1，矩形EFGH的边EF也在l上，且EH＝2，OE＝，将扇形AOB在直线l上向右滚动．（1）滚动一周时得到扇形A'O'B'，这时OO'＝．（2）当扇形与矩形EFGH有公共点时停止滚动，设公共点为D，则DE＝．19．（2021•河北模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为．

参考答案一．选择题（共13小题）1．【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF＝AF，EF＝AE，由矩形的对称性得：AE＝DE，得出EF＝DE，设EF＝x，则DE＝3x，由勾股定理求出DF＝＝2x，再由三角函数的定义即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴BE＝BC＝AD，∴△BEF∽△DAF，∴＝，∴EF＝AF，∴EF＝AE，∵点E是边BC的中点，由矩形的对称性得：AE＝DE，∴EF＝DE，设EF＝x，则DE＝3x，∴DF＝＝2x，∴tan∠BDE＝＝＝；故选：A．2．【分析】根据题意可得行走路线是正五边形，再根据正五边形的每个外角等于72度即可判断．【解答】解：∵从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，∴＝72°，∴每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走．故选：A．3．【分析】根据矩形的判定、菱形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，A、OD＝OC时，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠ODA＝∠OAD，∴OA＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．4．【分析】先设AB＝BC＝CD＝AD＝x，接着求出AQ和AP的值，根据勾股定理求出PQ的值，即可判断甲是否正确，若四边形PQMN为正方形根据边的关系可以求出AB＝BC＝CD＝AD，且四个角都是直角即可证明乙是否正确．【解答】解：若ABCD是正方形，可设AB＝BC＝CD＝AD＝x，∴AQ＝4﹣x，AP＝3+x，∴PQ2＝AQ2+AP2，即PQ＝＝＝，x取值不同则PQ的长度不同，∴甲不正确，若四边形PQMN为正方形，则PQ＝PN＝MN＝MQ＝5，且∠QMD+∠MQD＝∠QAP＝∠AQP+∠QPA＝90°，在△QMD和△PQA中，，∴△QMD≌△PQA（ASA），∴QD＝AP，同理QD＝AP＝MC＝BN，又∵BP＝MD＝AQ，∴QD﹣AD＝PA﹣AB，∴AB＝AD，同理AB＝CD＝AD＝BC，即四边形ABCD为菱形，∵∠DAB＝180°﹣∠QAP＝90°，则四边形ABCD为正方形，∴乙正确，故选：B．5．【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图，当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．．且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，.∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，设AB＝2t，则AD＝t，∵E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝t，∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝t，∴BP1＝t＝3，∴t＝3．故选：B．6．【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，再证BE＝FD，得四边形EBFD是平行四边形，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AE＝CF，∴BE＝FD，∴四边形EBFD是平行四边形，∴DE＝BF，则证明步骤正确的顺序是②→①→④→③，故选：C．7．【分析】根据AB＝AD，BC＝DC，可以得到AC垂直平分BD，然后再根据各个选项中的条件，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵AB＝AD，BC＝DC，∴AC垂直平分BD，当添加：“AB∥CD”，则∠ABD＝∠BDC，∵∠BDC＝∠DBC，∴∠ABO＝∠CBO，又∵BO＝BO，∠BOA＝∠BOC，∴△ABO≌△BOC（ASA），∴BA＝BC，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；当添加“∠BAD＝90°，无法证明四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；当添加条件“OA＝OC”时，∵OB＝OD，∴四边新ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；当添加条件“∠ABC＝∠BCD＝90°”时，则∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，由证选项A可知四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，故选项D不符合题意；故选：B．8．【分析】判定甲正确的方法是直接由菱形的判定定理进行证明；判定乙正确需要作辅助线，由相似三角形的对应角相等得出结论；判定丙错误只要举出反例即可；判定丁正确需作出图形，再由甲的结论就可以说明．【解答】解法一：如图1，点E与点O重合.∵AD∥OC，∴∠A＝∠BOC＝α，∵∠DPE＝α，∴∠DPE＝∠A，即∠DPO＝∠A，∵∠AOD＝∠POD，OD＝OD，∴△ADO≌△PDO，∴PO＝AO，PD＝AD，∵∠ADO＝∠POD，∠AOD＝∠POD，∴∠ADO＝∠AOD，∴AO＝AD，∴PO＝AO＝AD＝PD，∴四边形POAD是菱形，即四边形PEAD是菱形，解法二：可以证明，AO＝AD，四边形PEAD是平行四边形，可得菱形．故甲正确；当α＝60°时，则∠AOD＝∠DOP＝∠POB＝60°．如图2，点E在线段AO上，连接DE交OD于点F．∵∠AOB＝∠DPE＝60°，∠OFE＝∠PFD，∴△EOF∽△DPF，∴，∴，∵∠OFP＝∠EFD，∴△OFP∽△EFD，∴∠PED＝∠POD＝60°，∴∠PDE＝60°＝∠PED，∴PD＝PE；如图3，点E在线段AO的延长线上，延长DO、PE交于点F，连接DE．∵∠FOE＝∠DPE＝60°，∠EFO＝∠DFP（公共角），∴△EOF∽△DPF，∴，∴，∵∠OFP＝∠EFD（公共角），∴△OFP∽△EFD，∴∠POF＝∠DEF＝120°，∴∠PED＝60°，∵∠DPE＝60°，∴∠PDE＝60°＝∠PED，∴PD＝PE．故乙正确；由甲的结论可知，当点E与点O重合时，四边形PEAD是菱形，此时PD＝PE，这与α是否等于60°无关，故丙错误；由甲的结论可知，当点E与点O重合时，PD＝PE，这与锐角α的大小无关，如图4，即使α＝80°，也可能存在PD＝PE的情况．故丁正确．故选：B．9．【分析】先确定出△ABC是等边三角形，进而判断出△BEF是等边三角形，当x＝1时，求出BP＝BD，即可判断出①正确，再用x表示出EF，BP，DP，GH，然后取x赋予的值，即可求出EF，GH，判断出②错误，利用菱形的面积减去两个三角形的面积判断出③错误，利用周长的计算方法即可判定出④正确．【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，∴AB＝BC＝2，∵∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，BD＝2，由折叠知，△BEF是等边三角形，当x＝1时，则AE＝1，∴BE＝AB﹣AE＝1，由折叠知，BP＝2×＝＝BD，故①正确；如图，设EF与BD交于M，GH于BD交于N，∵AE＝x，∴BE＝AB﹣AE＝2﹣x，∵△BEF是等边三角形，∴EF＝BE＝2﹣x，∴BM＝EM＝×EF＝（2﹣x），∴BP＝2BM＝（2﹣x），∴DP＝BD﹣BP＝2﹣（2﹣x）＝x，∴DN＝DP＝x，∴GH＝2GN＝2×x＝x，∴EF+GH＝2，所以②错误；当0＜x＜2时，∵AE＝x，∴BE＝2﹣x，∴EF＝2﹣x，∴BP＝（2﹣x），∴DP＝x，∴GH＝2×＝x＝DG＝DH，∴六边形AEFCHG面积＝S菱形ABCD﹣S△BEF﹣S△DGH＝×2×2﹣（2﹣x）2﹣x2＝2﹣（x﹣1）2﹣＝﹣（x﹣1）2+，∴当x＝1时，六边形AEFCHG面积最大为，所以③正确，六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+HG+AG＝x+2﹣x+x+2﹣x+x+2﹣x＝6是定值，所以④正确，即：正确的有①③④，故选：D．10．【分析】先求出正五边形每一个内角的度数等于108°，根据平行线的性质求出∠BED＝90°，从而得到∠AEB＝108°﹣90°＝18°．根据三角形内角和等于180°求出∠ABE的度数，最后“根据两直线平行，同位角相等“即可求出答案．【解答】解：如图，∵正五边形内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠A＝∠AED＝540°÷5＝108°，∵BE∥CD，∴∠BED＝180°﹣90°＝90°，∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝108°﹣90°＝18°．在△ABE中∠ABE＝180°﹣∠A﹣∠AEB＝180°﹣108°﹣18°＝54°，∵BE∥CD，∴∠α＝∠ABE＝54°．故选：C．11．【分析】根据正五边形的外角公式可得∠EDF，易得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EDF＝360°÷5＝72°，∠CDE＝∠C＝180°﹣72°＝108°，BC＝DC，∴∠BDC＝＝36°，∴∠BDE＝108°﹣∠BDC＝108°﹣36°＝72°，∵DG平分正五边形的外角∠EDF，∴∠EDG＝＝36°，∴∠BDG＝∠BDE+∠EDG＝72°+36°＝108°，故选：D．12．【分析】利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，即可得出不能使AE＝CF的条件．【解答】解：A、在▱ABCD中，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝DF，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，故A可以使AE＝CF，不符合题意；B、∵AE∥CF，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，故B可以使AE＝CF，不符合题意；C、添加AE＝AF后不能使AE＝CF，故C符合题意；D、∵四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，故D可以使AE＝CF，不符合题意；故选：C．13．【分析】根据平行四边形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO．∴△AOB≌△COD（ASA）．∴OA＝OC，OB＝OD．故选：D．二．填空题（共6小题）14．【分析】根据正八边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义可得结论．【解答】解：由题意得：正八边形的每个内角都为：＝135°，正五边形的每个内角都为：＝108°，故∠CAB＝360°﹣135°﹣108°＝117°，故答案为：117．15．【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理即可得到结论；（2）当BD平分∠PBQ时，证明△ABP≌△CBQ和△QBD≌△PBD，可得结论；（3）当BD不平分∠PBQ时，证明△BQD∽△PBD，列比例式可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3，∠A＝90°，∴BD＝＝＝3，故答案为：3；（2）解：当BD平分∠PBQ时，∵∠PBQ＝45°，∴∠QBD＝∠PBD＝22.5°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∴∠ABP＝∠CBQ＝22.5°+45°＝67.5°，在△ABP和△CBQ中，，∴△ABP≌△CBQ（ASA），∴BP＝BQ，在△QBD和△PBD中，，∴△QBD≌△PBD（SAS），∴PD＝QD，故答案为：PD＝QD；（3）当BD不平分∠PBQ时，∵AB∥CQ，∴∠ABQ＝∠CQB，∵∠QBD+∠DBP＝∠QBD+∠ABQ＝45°，∴∠DBP＝∠ABQ＝∠CQB，∵∠BDQ＝∠ADQ+∠ADB＝90°+45°＝135°，∠BDP＝∠CDP+∠BDC＝90°+45°＝135°，∴∠BDQ＝∠BDP，∴△BQD∽△PBD，∴，∴PD•QD＝BD2＝32+32＝18，故答案为：18．16．【分析】利用正多边形的外角公式可得∠3，∠4，再根据三角形内角和为180°，求出∠2，即可求出∠1解决问题．【解答】解：如图，由题意得：∠3＝360°÷6＝60°，∠4＝360°÷5＝72°，则∠2＝180°﹣60°﹣72°＝48°，所以∠1＝