中考数学 专题复习 正方形解答题专题突破练习

【全国通用】初中几何正方形解答题专题突破练习（1）1．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是，位置关系是；（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．2．如图，正方形的边，在坐标轴上，点的坐标为．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点也停止运动．连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点，与轴交于点，连接．设点运动的时间为（）．（1）写出的度数和点的坐标（点的坐标用表示）．（2）探索周长是否随时间的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．（3）当何值时，为等腰三角形？3．如图1，正方形ABCD，E为平面内一点，且，把绕点B逆时针旋转得，直线AG和直线CE交于点F．（1）证明：四边形BEFG是正方形；（2）若，猜测CE和CF的数量关系，并说明理由；（3）如图2，连接DF，若，，求DF的长．4．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°（1）求证：BE+DF=EF（2）当BE=1时，求EF的长5．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB=PE；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由；6．如图，已知正方形．（1）如图1，是上一点，过上一点作的垂线交于点，交于点，求证：．（2）如图2，过正方形内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交，于点，，交，于点，，与相等吗？请写出你的结论．（3）当点在正方形的边上或外部时，过点作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形外一点作互相垂直的两条直线，，与，的延长线分别交于点，，与，的延长线分别交于点，，试就该图形对你的结论加以证明．7．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，接EF．（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；（2）若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．8．如图，点是正方形中延长线上一点，对角线相交于点，连接，分别交于点，过点作的垂线，垂足为点，交线段于．（1）若，求的大小．（2）求证：．（3）若正方形的边长为1，，求的长．9．已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时．(1)求证：△ABD≌△ACF；(2)若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度．10．四边形是正方形，是等腰直角三角形，，连接，为的中点，连接．（1）如图1，若点在边的延长线上，直接写出与的位置关系及的值．（2）将图1中的绕点顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）将图1中的绕点顺时针旋转，若，当三点共线时，请直接写出的长．11．已知：正方形，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点处，使三角板绕点旋转．（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想与的数量关系，并加以证明；（2）在（1）的条件下，若，求的度数；（3）若，点是边的中点，连结，与交于点，当三角板的边与边重合时（如图2），若，求的长．12．（1）如图1，正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，连接AC，过点A作AM⊥AC交CB的延长线于M，观察并猜想CE与MF的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：王师傅有一块如图所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图．13．已知正方形ABCD，点E在AB上，点G在AD，点F在射线BC上，点H在CD上．（1）如图1，DE⊥FG，求证：BF＝AE+AG；（2）如图2，DE⊥DF，P为EF中点，求证：BE＝PC；（3）如图3，EH交FG于O，∠GOH＝45°，若CD＝4，BF＝DG＝1，则线段EH的长为．14．已知正方形ABCD中AC与BD交于点O，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于点E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于点N．（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：OM＝ON；（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE和MN，当ENBD时，求证：四边形DENM是菱形；（3）在（2）的条件下，若正方形边长为4，求EC的长．15．如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．（1）求证AE＝MN；（2）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（3）如图3，若该正方形ABCD边长为10，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝6，请直接写出AC′的长________．16．（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；（3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．17．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．（1）求证：EA是∠QED的平分线；（2）已知BE＝1，DF＝3，求EF的长．18．如图1，已知正方形和正方形，点在同一直线上，连接，，与相交于点．

（1）求证：．（2）如图2，是边上的一点，连接交于点，且．①求证：；②若，直接写出的值．19．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为，当点A第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点M，边交x轴于点N．（1）若时，求点A的坐标；（2）设的周长为P，在旋转正方形的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论；20．如图，在正方形中，点、分别在边、上，与相交于点，且．（1）如图1，求证：．图1（2）如图2，与相交于点，交于点，交于点，连接，试探究直线与的位置关系，并说明理由．图2（3）在（1）（2）的基础上，若平分，且的面积为，求正方形的面积．21．在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：；②BC，CD，CF之间的数量关系为：．（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明，（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若AB＝2，CD＝1，请求出GE的长．22．如图1，E是正方形ABCD中CD边上的一点，以点A为中心，把顺时针旋转α后，得到．（1）求α的值；（2）当点F在BC上，且∠EAF=45°，连接EF（如图2），求证：BF+DE=EF；（3）在（2）的前提下，连接BD，分别交AE，AF于M，N两点（如图3），试判断线段BN，MN，DM三者的关系式，请给出证明．23．探究证明：（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM；（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：；（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值．24．已知：四边形为正方形，是等腰，．（1）如图：当绕点旋转时，若边、分别与、相交于点、，连接，试证明：．（2）如图，当绕点旋转时，若边、分别与、的延长线相交于点、，连接．①试写出此时三线段、、的数量关系并加以证明．②若，，求：正方