平面向量的应用基础练习【新教材】2022年人教A版高中数学必修（Word含解析）

平面向量的应用基础练习一、单选题1.在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果sinAsinB−A.

12

B.

22

C.

232.如图，在△ABC中，∠BAC=2π3，点D在线段BC上，AD⊥AC，BDA.

714

B.

2114

C.

773.一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是（

）A.

52海里/时

B.

5海里/时

C.

102海里/时

D.

10海里/时4.在平面直角坐标系中，已知A(−1,4)，B(3,−8)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为（

）A.

8

B.

42

C.

8

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2−A.

π6

B.

π3

C.

π6或5π66.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=2c，cosC=407A.

27

B.

47

C.

577.设△ABC为等腰三角形，AB=AC=2，∠A=2π3，AD为BC边上的高，将△ADC沿AD翻折成△ADC'，若四面体ABA.

22

B.

6

C.

5

D.

8.在△ABC中，AB=(cos24°,cos66°)A.

22

B.

2

C.

22

9.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosBb+A.

(32,3]

B.

(32,10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且cos2A2A.

等边三角形

B.

直角三角形

C.

等腰三角形

D.

等腰直角三角形11.某中学为推进智能校园建设，拟在新校区每个教室安装“超短距”投影仪，如图：投影仪安装在距离墙面20cm处，其发射的光线可以近似的看作由一个点S发出，光线投影在墙面上的屏幕AB上，已知AB高度为120cm，光线上界SA的俯角为45°A.

210

B.

7210

C.

312.在△ABC中，A>B是sinA>A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件13.在ΔABC中，sinB+sinC=sin(A−B)，AB=AC=2，PQA.

[0,    2]

B.

[−2,    2]

C.

14.已知在△ABC中，b=23，c=2，C=30°A.

一解

B.

两解

C.

无解

D.

解的个数不确定15.如图所示，为了测量河对岸的塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD=200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD=30°，求塔高AB（

）A.

200

B.

1003

C.

100216.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.向量m=(a,b+c)，n=(3sinC+A.

π6

B.

π3

C.

2π317.在△ABC中，AC=5，BC=3，cosA=10A.

π6

B.

π4

C.

π18.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD=60∘，∠ADC=150∘，BE=3EC，A.

1

B.

1516

C.

313219.在△ABC中，设p：asinA.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件20.在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，若点M为边BC所在直线上的一个动点，则|4MAA.

36

B.

66

C.

3249二、解答题21.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知2a−b=2c⋅cos（1）求角C；（2）若a=2，D在边AB上，且AD=2DB，CD=322.在①asinC=ccos(A−π6)问题：是否存在△ABC，它的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=23，b+c=43，23.已知△ABC中，AB=62BC=（1）求∠ABC的值；（2）若P是△ABC内一点，且∠APB=5π6,∠CPB=

答案解析部分一、单选题1.【答案】A【解析】∵sinAsinB−即：a(b−a)=(b+c)(b−c)整理得：c对照余弦定理可得cos故答案为：A．2.【答案】B【解析】在△ABD中，BDsinπ6=ADsinB故答案为：B.3.【答案】D【解析】如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得ABsin所以这艘船的速度是10海里/时.故答案为：D4.【答案】A【解析】过A作AM⊥x轴，垂足为M，过M作y轴的平行线MC，过B作BC⊥MC，垂足为C，折叠后如图：则AM=4，CM=8，BC=4，∠AMC=60在三角形AMC中，A=16+64−2×4×8×12在直角三角形ACB中，AB所以AB=8.故答案为：A5.【答案】D【解析】解：由(a2+c2因为tanB有意义，所以cosB≠0，∴sinB=32，又在△ABC中，所以B为π故答案为：D．6.【答案】D【解析】因为角C是三角形的内角，所以C∈(0,π)，由cosC=407由正弦定理可知：asinA=csin所以sinA=2故答案为：D7.【答案】D【解析】作出翻折后四面体ABC∵AD⊥BD，AD⊥DC'，∴AD⊥平面BDC由AB=AC=2，∠A=2π3，则AD=1设球心到平面BDC'的距离为d，△BDC四面体ABC'D由图可得{d2+在△BDC'，由正弦定理可得C'Dsin解得sin∠DBC'因为BD=DC'，所以所以BC故答案为：D8.【答案】C【解析】因为AB=(cos24°,所以|AB|=1，|AC所以AB⋅所以cosA=22所以△ABC的面积为S△ABC故答案为：C9.【答案】B【解析】由cosBb+cosC∴b=32，又cos∵△ABC是锐角三角形∴0<B<π2，即π6<B+π∴A+C=2π3，有0<C=2π∴π6<A<π即有a+c=sinA+sinC=sin∴32故答案为：B10.【答案】B【解析】由已知可得cos2A2法一：由余弦定理得cosA=b2所以c2=a法二：由正弦定理得：sinB=sinCcosA从而有sinA即sinAcosC=0．在△ABC中，sin由此得C=π2，故故答案为：B.11.【答案】D【解析】解：在△QSA中，因为∠QSA=45∘,SQ=20，∠SQA=90在△QSB中，因为SB=SA+AB=140,SQ=20，∠SQA=90∘，所以在△SAB中，因为SA=202，AB=120，SB=100由余弦定理可得：cos故答案为：D.12.【答案】C【解析】充分性：由三角形中“大边对大角”，当A>B时，a>b，由正弦定理a=2RsinA,b=2Rsin必要性：由正弦定理可知，asinA=bsinB，当综上，A>B是sinA>故答案为：C.13.【答案】D【解析】因为sinB+所以sinB+由正弦定理和余弦定理得：b+c=a×a整理得：b2所以cosA=因为A∈(0,π)，所以A=2π由余弦定理得a2解得a=23所以2R=a解得R=2，建立如图所示直角坐标系：设P(x,y),Q(−x,−y)，且x2+y2=4所以AP⋅=−(x令{x=2则AP⋅BQ=4sin故答案为：D14.【答案】B【解析】∵b所以B=60∘或∵b>c,∴B>C,所以两解都满足题意.故答案为：B15.【答案】A【解析】解：设AB=ℎ，因为在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，即∠BCA=45°,∠DBA=30°,所以得BC=ℎ,BD=3在△BCD中，CD=200，∠CBD=30°，由余弦定理可得40000=ℎ解得ℎ=200，故答案为：A16.【答案】B【解析】由于m⊥n，所以m⋅3sin3sin33sin由于0<C<π，所以sinC>0所以3sin2sin由于0<A<π,−π所以A−π故答案为：B17.【答案】B【解析】在△ABC中，cosA=1010，因为0<A<π由ACsinB=解得sinB=因为0<B<π,B<A，所以B=π故答案为：B.18.【答案】B【解析】以B为原点建立如图所示平面直角.依题意CE=13BE=33在三角形BCD中，由余弦定理得BD=(所以BD2+C而BC=2CD，所以∠DBC=30°,∠DCB=60°.在三角形CDE中，由余弦定理得DE=(所以CE2+D在三角形ABD中，∠ABD=∠ADB=60°，所以三角形ABD是等边三角形，所以AB=BD=2.所以A(0,2),D(3,1),E(依题意令AF=λAD(0≤λ≤1)所以{x=3λ所以EF=4λ对于二次函数f(λ)=4λ2−7λ+4(0≤λ≤2)，其对称轴为λ=78，开口向上，所以当λ=78故答案为：B19.【答案】C【解析】若p成立，即asin可得ab=b则q：△ABC是正三角形，成立．反之，若a＝b＝c，则∠A＝∠B＝∠C＝60°，则asin因此p⇒q且q⇒p，即p是q的充要条件．故答案为：C.20.【答案】D【解析】解：由余弦定理可知cos∠ABC=所以sin∠ABC=如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立坐标系，

则B(0,0)，C(4,0)，设M(x,0)，因为AB⋅cos∠ABC=2×11则A(118,3158)因为4(118所以4MA则|4MA→+3当x=32时等号成立，所以故答案为：D.二、解答题21.【答案】（1）解：因为2a−b=2c⋅cos由正弦定理得：2sin因为sinA=2sin即2sin因为sinB≠0，所以cos又因为C是三角形内角，所以C=π

（2）解：如图所示：由题知AD=2即CD−CA=2(CB−即b2+4b−11=0，解得【解析】（1）利用已知条件结合正弦定理和三角形内角和为180度，再结合诱导公式结合两角和的正弦公式，进而求出角C的余弦值，再利用三角形中角C的取值范围，