平面向量数量积的坐标表示【新教材】2022年人教A版高中数学必修练习

平面向量数量积的坐标表示练习一、单选题已知向量a=(1,2)，b=(−2,3)，c=(4,5)，若(aA.−12 B.12 C.−2已知平面向量a=(2,4)，b=(−1,2)，若c=a−(aA.42 B.25 C.8 设向量a与b的夹角为θ，a=(2,1)，a+3b=(5,4)，则A.1010 B.13 C.310已知向量a=(x2,x+2),b=(−3,−1),c=(1,3)A.π6 B.π3 C.2π3已知向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则A.λ<−53 B.λ>−53

C.λ>−53且已知A(1,−1)，B(2,2)，C(3,0)，若点D满足CD⊥AB，且CB // AD，则点D的坐标是(    )A.(1,0) B.(−1,0) C.(0,−1) D.(0,1)设向量a=(1,2)，b=(x,1)，当向量a+2b与2a−bA.52 B.2 C.1 D.在如图所示的平面图形中，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a+b−c可表示为

A.e1−2e2

B.−e1在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2，AB=1，D为BC的中点，E在斜边AC上，若AE=2EC，则DE⋅AC=A.12 B.13 C.14已知向量a，b满足：|a|=2，<a，b>=60∘，且A.13 B.4 C.23 D.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MA.(0,1) B.0,12 C.0,2平行四边形ABCD中，AB=4，AD=22，∠BAD=3π4，E是线段CD的中点，则AEA.0 B.2 C.4 D.4二、单空题已知向量b与向量a=(1,−2)的夹角是180°，且|b|=35，则b已知向量a=(−1,x)，b=(x+2,x)，若|a+b|=|如图，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a+b，a−b的夹角余弦值是______已知a=(−1,1)，b=(1,2)，则a⋅(a已知向量a=(−1,2)，b=(m,1)，若向量a+b与a垂直，则m=三、解答题已知a与b同向，b=(1,2)，a(1)求a的坐标;(2)若c=(2,−1)，求a(b⋅c已知平面向量a=(3,4)，b=(9,x)，c=(4,y)，且a(1)求b和c(2)若m=2a−b，n=a+c，求向量m与向量n已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(−1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦值．

已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,3)，b(1)若a//c，求向量(2)若a+2b与2a−b垂直，求向量a与b所成角的正弦值．

答案和解析1.【答案】C

【解答】

解：a+λb=(1−2λ,3λ+2)；

又(a+λb)⊥c；

∴(a+λb)⋅c=4(1−2λ)+5(3λ+2)=0；

解得λ=−2．

2.【答案】D

【解答】解：∵【解答】解：∵a=2,1，a+3b=5,4，

∴b=1,1

．

∴cosθ=a·b|a|·|b|=2×1+1×15×2=31010，

而θ∈0,π，∴sinθ=1−cos2θ=1010．

4.【答案】A

【解答】

解：∵向量a→=(x2,x+2)，b→解：由题意，∵a与a+λb的夹角为锐角，

∴a·a+λb>0且a与a+λb不同向，

即a·a+λb>0λ≠0,

故a2+λa·b=5+3λ>0λ≠0,

解得λ>−53且λ≠0．

6.【答案】D

【解答】

解：设D(x,y)，则BC=(1,−2)，AB=(1,3)，AD=(x−1,y+1)，CD=(x−3,y)．

由题意可得2x+y−1=0,x−3+3y=0,解得x=0,y=1,

【解析】解：以e1，e2互相垂直的单位向量所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，

则e1=(1,0)，e2=(0,1)，

则向量a=(1,2)，b=(1,−2)，c=(1,2)，

则向量a+b−c=(1,2)+(1,−2)−(1,2)=(1,−2)，

即可表示为e1−2e2，

9.【答案】B

【解答】

解：以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

则B(0,0)，A(1,0)，C(0,2)，所以AC=(−1,2)，

∵D为BC中点，所以D(0,1)，因为AE=2EC，

所以E13,43，所以DE=13,13，

所以DE⋅AC=(13,13)·(−1,2)=−13+23=13．

故选B．

10.【答案】A

【解答】

解：因为|a|=2，<a，b>=60°，设b=r，

设a=2,0，b=12r,32r，

c=12tr−1,32tr，c−a=12tr−3,32tr，

|c|+|c−a|

=12tr−12+32tr2+12tr−32+32tr2，

表示点12tr,32tr到(1,0)的距离与12tr,32tr到(3,0)和，

又12tr,32tr在直线y=3x上，(1,0)关于y=3x的对称点为−12,32，

所以|c|+|c−a|的最小值为−12,32与(3,0)两点间的距离3+122+322=13，

11.【答案】C

【解答】

解：不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距为2c，椭圆上任一点P(x,y)，

由MF1·MF2=0的点M总在椭圆内，

得PF1·PF2>0，得x2+y2>c2恒成立，

可得y2<b4a2−b2恒成立，

又−b⩽y⩽b，

所以b2<b4a2【解析】解：设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，

则a=(2,−1)，b=(3,2)．

∴a+b=(5,1)，a−b=(−1,−3)．

∴(a+b)⋅(a−b)=−5−3=−8.|a−b|=10，|a+b|=26．

∴向量a+b，a−b【解答】解：∵向量a=−1,2，b=m,1，

∴a+b=(−1+m,3)，

∵向量a+b与a垂直，

∴(a+b)·a=(−1+m)×(−1)+3×2=0，

解得m=7∴λ=2，∴a(2)∵b⋅c∴a(b⋅19.【答案】解：(1)∵a//b，∴3x−36=0∵a⊥c，∴3×4+4y=0．

∴y=−3．∴(2)m=2a−设m，n的夹角为θ，

则cosθ=∵θ∈[0,π]，∴θ=3π4，即m，n的夹角为3π4．

20.【答案】(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(−1,4)，

∴AB=(1,1)，AD=(−3,3)，

∴(2)解：∵AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，

∴AB=DC．

设点C的坐标为(x,y)，

则DC=(x+1,y−4)．

又∵AB=(1,1)，

∴x+1=1,y−4=1,

解得x=0,y=5.

∴点C