平面向量的运算【新教材】2022年人教A版高中数学必修同步讲义Word

第六章平面向量及其应用第六章平面向量及其应用§平面向量的运算知识索引知识索引索引1：向量的加减运算索引1：向量的加减运算定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法索引2：向量加法的运算法则索引2：向量加法的运算法则1、三角形法则：已知非零向量，在平面内任取一点A，做=，=，则向量叫做与的和，记作，即,这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则注意事项：注意事项：三角形法则的使用条件：一个向量的终点为另一个向量的起点

注意事项：平行四边形法则的适用条件：两个向量起点相同2、平行四边形法则：例如以同一O为起点的两个已知向量，，以，为邻边做OACB，则以O为起点的向量，（OC是OACB的对角线）就是向量与的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则

规定：对于零向量与任意向量，我们规定+=+=

注意事项：平行四边形法则的适用条件：两个向量起点相同索引3：向量加法的运算律交换律：a+b=b+a结合律：（a+b）+c=a+(b+c)索引3：向量减法运算索引3：向量减法运算1.相反向量：我们规定，与向量,长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作﹣由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此和﹣互为相反量，于是-（-）=.2.减法的几何意义：已知向量，，在平面内任取一点O，作，，则，即可以表示为从的终点指向向量的终点的向量小结：加法：首尾连（AB+BC+CD=AD,起点到终点）减法：共起点（AB-AC==CB,连接终点，后者居前）化减为加：AB-AC=AB+CA=CB)凑零向量法（相反向量和为0）索引4：向量的数乘运算1.根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律时成立的.设，为实数，那么

2.向量数乘的运算律设A,B是实数，a,b是向量，则（1）结合律：A（Ba）=(AB)a（2）第一分配率：(AB)a=Aa+Ba（3）第二分配率：A(a+b)=Aa+Ab索引5：向量的数量积1.概念：已知两个非零向量与，他们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积，记作

即；=

规定；零向量与任一向量的数量积为0.2.向量数量积的运算律对于向量a,b,c和实数A，(1)交换律:a*b=b*a(2)数乘结合律(Aa)*b=a*(Ab)（3）分配律（a＋b)*c＝a*c＋b*c精例探究精例探究精例1精例1.已知等边三角形ABC的边长为6，点P满足PA+2PB-A.

32

B.

23

C.

33【答案】C【考点】向量的共线定理【解析】【解答】依题意PA+2PB-设D是AC中点，连接BD，由于三角形ABC是等边三角形，所以BD⊥AD，∠ABD=∠CBD=30°，由于CA=2BP，所以所以四边形BDAP是矩形，所以∠ABP=90°-30°=60°，Rt△BCP中，AP=AB⋅sin即|PA故答案为：C

【分析】依题意知PA+2PB-PC=0，再利用三角形法则结合共线定理，得出PA-PC=-2PB,CA=-2PB,CA=2BP，设所以四边形BDAP是矩形，精例2下列四个结论，正确的个数是（

）①在△ABC中，若A>B>C，则sinA>sinB>sinC；②若a//b，则存在唯一实数λ使得a=λb；③若a//b，bA.

1

B.

2

C.

3

D.

4【答案】B【考点】向量的共线定理，正弦定理，三角形的形状判断【解析】【解答】①在△ABC中，若A>B>C，则a>b>c，由正弦定理可得：sinA>②若a//b且b≠0，则存在唯一实数λ使得③当b=0时，满足a//b，b//④在△ABC中，AB|AB|为AB方向的单位向量，AC设△ABC中，∠A的角平分线交BC于点D.所以AB|AB|+AC|所以AD⊥BC，所以AB=AC又AB|AB|⋅所以A=π3，所以故答案为：B

【分析】由角的大小即可得出边的大小再由正弦定理即可判断出①正确，由向量共线的性质即可得出a=λb由此即可判断出②错误，由特殊情况b=0即可得出结论不成立由此判断出③错误，在三角形ABC中，由AB|AB|+AC|AC|即可得出在精例3下列说法中正确的是（

）A.

若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B.

模相等的两个平行向量是相等向量C.

若a和b都是单位向量，则a=D.

零向量与其它向量都共线【答案】D【考点】零向量，单位向量，相等向量与相反向量【解析】【解答】对于A选项，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定重合，A选项错误；对于B选项，模相等的两个平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B选项错误；对于C选项，a和b都是单位向量，但它们的方向不一定相同，故a和b不一定相等，C选项错误；对于D选项，零向量的方向是任意的，零向量与其它向量都共线，D选项正确.故答案为：D.

【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．课堂反馈课堂反馈练习1对于任意两个向量a和b，下列命题正确的是（

）A.

若a，b满足|a|>|b|，且a与b同向，则aC.

|a⋅b|≥|练习2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1

-1

B.

12C.

-1D.

1练习3在边长为1的菱形ABCD中，∠A=60°，E是线段CD上一点，满足|CE（1）用a,b表示（2）在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE?？若存在，判定F练习4.已知向量a与b的夹角为θ=3π4，且|（1）若ka+2b（2）求a⋅b，（3）

|a+b|=a参考答案参考答案练习1【答案】B【考点】向量的模，向量的共线定理，平面向量数量积的运算【解析】【解答】A.向量不能比较大小，所以A不正确；B.根据向量减法运算公式可知，当向量a与b不共线时，两边之和大于第三边，即|a-b|≤|aC.|aD.当向量a与b不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即|a故答案为：B【分析】根据向量共线，数量积，向量的模的性质，逐一判断即可。练习2【答案】B【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】依题意可知M是平行四边形A1AM=A故答案为：B

【分析】根据题意由四边形的性质以及向量加减法的运算性质整理即可得到结论。练习3【答案】（1）解：根据题意得:BC=CE=∴BE

（2）解：结论:在线段BC上存在使得4|BF|=|BC|的一点F满足理由如下:设BF=tBC=tb，则∴AF在边长为1的菱形ABCD中，∠A=60∘∴|a|=|b∵AF⊥BE，∴AF=(1-2=(1-2=0，解得t=14，从而∴|AF【考点】向量加减混合运算及其几何意义，平面向量数量积的运算【解析】（1）根据向量加、减法运算法则计算即可；

（2）设

BF=tBC=tb

，则

FC=(1-t)b

，

(0≤t≤1