复数乘除运算的三角表示及其几何意义【新教材】人教A版高中数学必修同步练习（含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册复数乘、除运算的三角表示及其几何意义同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题若复数z1=2cosπ12+isinπ12A.24 B.22 C.2 若复数z1=4(cos π4+isinπ4)，A.28-28i B.18若复数，则arg(z2)=

(

)A.2π5 B.4π5 C.12(cos30°+A.322+322i B.若复数，则z2=

(

)A.-2i B.1+i C.1-i D.2i若z=cosθ+isinθ(θ∈R,i是虚数单位)，则|z-2-2i|的最小值是(    )A.22 B.2 C.22+1若复数z=22cosπ6+isinπA.162 B.8 C.22 在复平面内，复数z=a+bi(a∈R,b∈R)对应向量OZ(O为坐标原点)，设OZ=r，以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为θ，则z=r(cosθ+isinθ)，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1=r1A.1024-10243i B.-1024+10243i

C.复数是方程x5+α=0的一个根，那么α的值为

(

)A.32+12i B.12设A，B，C是△ABC的内角，z=(cos A+isin A)÷(cos B+isin B)·(cos C+isin C)A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状不能确定(多选)复数，若zn=z(n∈N)，则n的值可以是1 B.3 C.5 D.11二．填空题(3+-12若复数，z2=12cosπ4+设z1=-2+23i在复平面内对应的向量为OZ，将OZ绕点O按顺时针方向旋转150°，并将其模变为原来的12，所得向量对应的复数z2=化简：(cos 9θ+isin9θ)(三．解答题计算下列各式的值(结果写成三角形式)(1)4cos．

如图所示，复平面内的△ABC是等边三角形，它的两个顶点A，B的坐标分别是(2,0)，(4,2)．

(1)求向量AB对应的复数；(2)求点C的坐标．

已知复数z的实部大于零，且满足，z2的虚部为2．(1)求复数z；(2)设z，z2，z-z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求AB⋅AC的值．

答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】

本题考查了复数的运算法则、考查了推理能力与计算能力，利用三角函数求出z，再利用复数的运算法则、即可得出．

【解答】由题意知，则1z1z2=122【解析】【分析】本题考查了复数的运算与三角函数综合应用．

根据复数运算法则求z1【解答】解：由题意知

，

故选D．

3.【答案】A【解析】【分析】

本题考查了复数的三角形式，由复数的三角形式运算法则计算，可得arg(z2)的值．

【解答】

解：z2=3(cos12π5+isin12π5)=3(【解析】【分析】

本题主要考查三角函数的化简求值和证明，根据题意求得答案．

【解答】

故选C．

5.【答案】D【解析】【分析】

本题考查了复数的三角形式，由复数的三角形式运算法则计算即可．

【解答】

解：，

故选D．

6.【答案】D【解析】解：由复数的几何意义可知：z=cosθ+isinθ表示的点在单位圆上，

而|z-2-2i|表示该单位圆上的点到复数2+2i表示的点Z的距离，

由图象可知：|z-2-2i|的最小值应为点A到Z的距离，

而OZ=22+22=22，圆的半径为1，

故|z-2-2i|的最小值为22-1，

故选D

易得复数z表示的点在单位圆上，而要求的值为单位圆上的点到复数2+2i表示的点【解析】【分析】

本题考查了复数的三角形式，由，可得结果．

【解答】

解：，则|z3|=162，

故选A．

8.【解析】解：根据复数乘方公式：zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)，得

(-1+3i)10=210[cos(10×【解析】【分析】

本题考查了复数的运算，三角恒等变换，属于基础题．

根据题意将z代入方程，然后根据二倍角公式与和角公式即可求解．

【解答】

解：因为是方程x5+a=0的一个根，

所以．

故选D．

10.【答案】C

【解析】【分析】本题考查复数的三角形式，属于基础题．

由题意得

arg

z=A-B+C=π-2B=0求B，即可．【解答】解：因为z=(cos A+isin A)÷(cos B+isin B)·(cos C+isin C)是一个实数，

所以arg

z=A-B+C=π-2B=0，

∴B=π2．

11.【答案】CD【解析】【分析】

本题主要考查复数的三角形式，掌握复数的运算是解答本题的关键．

利用复数的三角形式运算即可．

【解答】

解：因为，

所以，，

因为zn=z，所以5n3π=π3+2kπ，n=6k+15，

因为n∈N，k∈Z，所以当k=4时，n=5；当k=9时，n=11，

故n的值可以是5或11．

故选【解析】【分析】

本题考查复数四则运算，对复数分母实数化，再化简运算即可．

【解答】

方法一(化为三角形式)：

方法二(利用ω=-12+32i的性质)：

设ω=-12

13.【答案】1+i【解析】【分析】

本题考查复数的四则运算，属于基础题型.解答时即可以使用复数的代数形式运算求解，也可以使用复数的三角形式运算求解，解答过程依运算律运算即可．

【解答】

解：方法一(化为三角形式方法二(利用共轭复数的性质)：设ω=-12+32

14.【答案】7π【解析】【分析】本题主要考查了复数的四则运算及三角形式，考查了计算能力．

利用复数的四则运算，可得，由此可得其辐角的主值．【解答】解：因为，

所以z1z2的辐角的主值为7π12．

15.【答案】【解析】【分析】

本题考查了复数的三角形式，先将化成三角形式，再由将OZ绕点O按顺时针方向旋转150°，并将其模变为原来的12，得，由复数的三角形式计算即可．

【解答】

解：，

根据题设条件得

．

故答案为．

16.【答案】cosθ-isinθ【解析】【分析】本题考查了复数的三角形式，由复数的三角形式运算法则计算即可．【解答】解：原式

．

故答案为cosθ-isinθ．

17.【答案】解：．

【解析】本题主要考查了复数的三角运算，属于基础题．

(1)利用复数的三角运算的乘法运算法则计算出结果；

(2)利用复数的三角运算的除法运算法则计算出结果．

18.【答案】解：(1)因为点A，B的坐标分别是(2,0)，(4,2)，

所以OA=(2,0)，OB=(4,2)，

所以AB=OB-OA=(4,2)-(2,0)=(2,2)，

故向量AB对应的复数为2+2i．

(2)由题可知向量AC对应的复数为

，

故AC=(1+3,1-3)，

【解析】本题考查了复数的代数表示及其几何意义和复数的三角形式

，是基础题．

(1)先得出OA，OB的坐标，再得出AB的坐标，由复数的几何意义可得结果；

(2)由题可知向量AC对应的复数为，可得向量AC的坐标，得出OC的坐标，可得点C的坐标．

19.【答案】解：(1)因为z2=2所以2sin2θ=2，则sin2θ=1，所以2θ