复数的四则运算【新教材】2022年人教A版高中数学必修讲义

复数的四则运算复数的四则运算学习目标学习目标1、了解复数的四则运算2、掌握复数四则运算的应用探索新知3、理解复数运算中的常用结论探索新知一、复数的加、减法法则

设=，=是任意两个复数，

那么他们的和（）+（）=（a+c）+（b+d）i.两个复数的和仍然是一个确定的复数.

1、复数的加法运算律

对任意，，∈C,有

（1）交换律：+=+

（2）结合律：（+）+=+（+）

2、复数的减法法则

设=a+bi，=c+di,(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，则-=（）-（）=（a-c）+（b-d）i.

二、复数的乘、除法法则

设=，=，(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，

那么它们的积（）（）=ac+bci+adi+bd=（）+（）1、复数的除法法则

规定复数的除法是乘法的逆运算.

法则：

（）÷（）=+i（a,b,c,d∈R，且c+di≠0）

2、复数的运算的常用结论

（1）（1+i）（1-i）=2；；；；

概念辨析=0（N∈）.

（2）

概念辨析思考思考11.已知复数z=1-i(（1）求z2-z（2）如图，复数z1，z2在复平面上的对应点分别是A，B，求【答案】（1）解：∵z=1-i∴z（2）解：∵z1=2i，∴z1【考点】复数代数形式的乘除运算思考2【解析】（1）把z=1-i代入z2-z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得z1，z思考22.已知复数z=(m2-m（1）若m=2，求z⋅z（2）若点Z在直线y=x上，求m【答案】（1）解：∵m=2，∴z=2+5i，∴z⋅z=|z|2=(22+即m2-2m-3=0，解得【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算，复数求模【解析】（1）先写出z，在根据z⋅z=|z|2计算即可；（思考思考33.已知i是虚数单位，复数z=(1-i)3(1+2i)23-4i满足方程【答案】解：z==2i(1-所以|z|由|z|2+z-z=a【考点】复数相等的充要条件，复数代数形式的乘除运算，复数求模思考4【解析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数模的求法、共轭复数的概念、复数相等即可求解思考44.

（1）已知1-3i（其中i为虚数单位）是关于x的方程xa+bx=1的一个根，求实数a（2）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5，7中任取1个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的三位数？【答案】（1）解：根据题意，1-3i是方程xa+bx=1变形可得：(1a则有{1a解可得a=b（2）解：根据题意，分2种情况讨论：①选出的3个数字中含有0，此时有C31C4②选出的3个数字中不含0，此时有C32C4故可以组成48+72=120个没有重复数字的三位数．【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算【解析】(1)根据题意由方程根的情况结合复数代数形式的运算性质以及复数的概念即可得到关于a与b的方程组求解出答案即可。根据题意，分2种情况讨论：①选出的3个数字中含有0，②选出的3个数字中不含0，求出每种情况三位数的数目，由加法原理计算可得答案．1.若z⋅(1+i)=2i,则A.

-1

B.

1

C.

i

D.

-2.在复平面内，复数2+4ii对应的点位于（

A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限3.已知复数z=i1+i，则|zA.

22

B.

2

C.

124.欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限参考答案1.【答案】B【解析】z⋅2.【答案】D【解析】由复数的运算法