向量的数乘运算【新教材】2022年人教A版高中数学必修练习Word含解析

向量的数乘运算练习一、单选题如图所示，已知在△ABC中，D是边AB上的中点，则CD=(

)A.BC−12BA

B.−BC+A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足OP=13(12OA+A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心)

C.BC边中线的中点 D.AB边的中点下列各式不能化简为PQ的是(

)A.AB+(PA+BQ) B.(AB下列叙述不正确的是(    )A.λ(μa)=(λμ)a(λ,μ∈R)

B.(λ+μ)a=λa+μa(λ,μ∈R)

C.λ(a+b在△ABC中，若点P满足AP=13AB+23AC，AQ=A.1：3 B.5：12 C.3：4 D.9：16已知向量a=e1−2e2，b=2e1+e2，c=−6e1A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定在平行四边形ABCD中，BC−CD+BA=A.BC B.DA C.AB D.AC如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量CD=

(

)A.−BC+12BA

B.−BC已知P是△ABC所在平面内一点，若CB=λPA+PB，其中λ∈R，则点PA.△ABC的内部 B.AC边所在的直线上

C.AB边所在的直线上 D.BC边所在的直线上已知e1≠0，a=e1+λe2(λ∈R)，bA.λ=0 B.e2=0

C.e1//已知P，A，B，C是平面内四点，且PA+PB+A.PC与PB B.PA与PB C.PA与PC D.PC与AB如图，已知P为△ABC所在平面内一点，BP=2PC，AP=4，若点Q在线段AP上运动，则QA⋅(QB+2A.−92

B.−12

C.−32

如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是线段BD上靠近D的三等分点，F是线段BD的中点，则AF⋅CE=(

)A.−4

B.−3

C.−6

D.−2二、单空题在△OAB中，P为线段AB上的一点，4OP=3OA+OB，且BA=λ在△ABC中，cosC=35，BC=1，AC=5，若D是AB的中点，则CD=

．已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则AP·AB+AC已知a，b是两个不共线的向量，AB=2a+kb，CB=a+3b，CD=2a−b设向量m=2a−3b，n=4a−2b，p=3a+2b三、解答题如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使DB=13OB，DC与OA交点为E，设OA=a，OB=b，用a，b表示向量OC，

如图所示，在△BOC中，A是边BC的中点，OD=2DB，DC和OA交于点E，设OA=a，OB(1)用a和b表示向量OC，DC；(2)若OE=λOA，求实数λ的值．

(1)若3m+2n=a，m−3n=b(2)若2y−13a−13(c+b−3y)+b=答案和解析1.【答案】B

【解答】解：方法一：∵D是AB的中点，

∴BD=12方法二：CD=12(CB+CA)

【解答】解：如图所示：设AB，BC，AC的中点分别是是E，D，F．

∵O是三角形ABC的重心，

∵OP=13(12OA+12OB+2OC)=13(

3.【答案】D【解答】解：A项中，原式=B项中，原式=(C项中，原式=D项中，原式=PB−BQ=PB+QB≠PQ．

4.【答案】D

【解答】

解：对于A，λ(μa)=(λμ)a是正确的，满足数乘向量的结合律；

对于B，(λ+μ)a=λa+μa是正确的，满足数乘向量的分配律；

对于C，λ(a+b)=λa+λb是正确的，满足数乘向量的分配律；

对于D，当λ>0时，λa与a的方向相同，当λ<0时，λa与a的方向相反，所以D错误．

故选D．

5.【答案】B

【解答】

解：因为AP=13AB+23AC，

所以13(AP−AB)=23(AC−AP)，即BP=2PC，得点P为线段BC上靠近点C的三等分点．

又AQ=34AB+14AC，

所以34(AQ−AB)=14(AC−AQ)，即3BQ=QC，得点Q为线段BC上靠近点B的四等分点，

所以PQ=512【解析】解：∵D是△ABC的边AB的中点，∴CD=12(CA+CB)

∵CA=BA−BC，

∴CD=12(BA−BC−BC)=−BC+12BA

9.【答案】B

【解答】解：因为CB=λPA+PB⇔CB−PB=λPA⇔CP=λPA，

所以点P在AC边所在的直线上，

故选B．

10.【答案】D

【解答】解：若a，b共线，则存在m，使a=mb，即e1+λe2=2me1，

所以当a，b共线时，有λ=0或e1//e2．

故选D．

11.【答案】B

【解答】

解：因为PA+PB+PC=AC，

所以PA+PB+PC+CA=0，即−2PA=PB，解：因为4OP=3OA+OB，

所以3OP−3OA=OB−OP，

所以3AP=PB，

所以3PA=BP=BA+AP=BA−PA，

所以BA=4PA；

故λ=4．

故答案为4．

15.【答案】22

【解答】

解：在△ABC中，【解答】

解：设AB=a,AC=b,BP=tBC，

则BC=AC−AB=b−a，

a=b=2,a·b=abcos60∘=2，

AP=AB+BP=(1−t)a+tb，

因此AP·(AB+BC)=[(1−t)a+tb]·(a+b)

=(1−t)a2+[(1−t)+t]a·b+tb2

=(1−t)a2+a·b+tb2

=4(1−t)+2+4t=6，

故答案