第四讲复合命题及推理

第四讲复合命题及其推理（命题演算）

复合命题及其推理一、复合命题的定义二、复合命题的逻辑特征三、复合命题的基本形式和真值表四、复合命题推理一、复合命题的定义复合命题是指由简单命题通过联结词组合构成的命题。一、复合命题的定义1.并非选修逻辑的学生都是文科生。2.小张歌唱得好并且舞跳得好。3.小明或者在图书馆，或者在宿舍。4.如果天下雨，那么我们就在家里学习。5.一个自然数是偶数当且仅当它能被2整除如：从逻辑结构上分析，复合命题有两个基本构成要素：支命题和联结词。支命题也可以包含复合命题。(12005/8)联结词是逻辑常项，因为联结词有确定的逻辑涵义，有什么样的联结词决定了一个复合命题有什么样的逻辑形式。

构成复合命题的命题为支命题；支命题被称作逻辑变项，它是以命题为取值范围的变项，我们用p,q,r…表示。显然p,q,r代表任意命题，从而也代表一定的真值。逻辑只研究支命题与复合命题之间的真值关系。若以“天在下雨”和“地是湿的”为支命题，我们可构造出如下复合命题：如果天在下雨，那么地是湿的。天在下雨并且地是湿的。天在下雨或者地是湿的。天在下雨当且仅当地是湿的。四个不同的命题如果天在下雨，那么地是湿的。如果李司是犯罪嫌疑人，那么李司有犯罪动机。如果王武的计算机配置合理，那么它的价格低廉。以上命题有相同的逻辑形式：如果p，那么q。是同一形式的命题。

二、复合命题的逻辑特征复合命题则是由联结词联结支命题而构成的，从这个意义上讲，复合命题描述的是支命题之间的逻辑关联。支命题之间的逻辑关联就表现为:支命题的真假对整个复合命题的真假有制约关系。

复合命题的真假是由支命题的真假决定的。联结词不同，支命题之间的逻辑关联就不同，支命题的真假对整个复合命题真假的制约情况就不同。

复合命题的真值表：

把一种形式的复合命题的支命题的真假对整个复合命题的真假的制约情况列出来，就得到一张表，称为该种形式复合命题的真值表。二、复合命题的逻辑特征复合命题的真值表：pq

p或者q

1、TTT

2、TFT

3、FTT

4、FFF“T”表示真“F”表示假真值表描述了支命题的真假对一个复合命题真假的制约关系，因此，真值表实际上描述的是这一形式复合命题的逻辑特征。三、复合命题的基本形式和真值表

1.负命题：否定一个命题而形成的复合命题。如：(1)并非选修逻辑的学生都是文科生。(2)这个班的学生不都学英语。(3)如果它是三角形，则内角和等于180°，这个观点不对。三、复合命题的基本形式和真值表

负命题的支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。负命题的形式:

并非p（¬p）逻辑性质：负命题的真假与被否定的命题的真假是相反的。P¬pTFFT真值表：2.联言命题：其联结词为联言联结词的复合命题，也称合取命题。在自然语言中，联言联结词有多种表达形式，如在汉语中有“不但…而且…”,“既…又…”,“尽管…却…”,“并且”等等。如：三、复合命题的基本形式和真值表

如下都是合取命题：

不仅小张没去上课，而且小王也没去。虚心使人进步，骄傲使人落后。他聪明，用功，成绩优异，为人诚恳。雪是白的，并且2+2=4。情有可原，理不可恕。理不可恕，情有可原。

例：菊花可以观赏，并且菊花可以入药。

前云南省省长李嘉廷不但犯有贪污罪，而且犯有受贿罪。联言命题的逻辑形式：

p∧q读作：“p并且q”。Pqp∧

qTTTTFFFTFFFF真值表：

联言命题的逻辑特征可以概括为：一个联言命题是真的，当且仅当它的每一个联言支都真。注意逻辑形式中所研究的合取命题与自然语言联言命题的区别，例如：“屡战屡败”等也是合取命题。

据说曾国藩带兵镇压太平天国农民起义军时，屡打败仗，他必须上书朝廷报告战况，并要表达自责之意。奏折中有“臣屡战屡败”这样一句话。一个幕僚觉得这句话不妥，他认为朝廷看后一定会认为曾国藩无能，但又不能欺君，于是建议曾国潘把“屡战屡败”改为“屡败屡战”。曾国藩连声叫“妙”，立即采纳了这个建议。3.选言命题：其联结词为选言联结词的复合命题，也称析取命题。在自然语言中，选言联结词有多种表达形式，如在汉语中有“….或者…”，“要么…要么…”，“不是

…就是…”，“可能…可能…”等等。三、复合命题的基本形式和真值表

他发烧到39度或者是由于脑膜炎，或者是由于肺部感染。如：三、复合命题的基本形式和真值表

一般认为有两种选言命题：

1.相容的选言命题

2.不相容的选言命题。相容选言命题：相容的选言命题是指其支命题可以同时为真的选言命题。

逻辑形式：

p∨q读作：“p或者q”。真值表：pqp∨qTTTTFTFTTFFF相容选言命题的逻辑特征：一个相容选言命题是假的，当且仅当它的每一个选言支都假；不相容的选言命题是指其支命题不可能同时为真的选言命题。如：这个三角形是钝角的，或者是锐角的不相容选言命题：逻辑形式：

p

qpqp

qTTFTFTFTTFFF真值表：

不相容的选言命题可以用相容选言命题组合成联言命题来定义

既然不相容的选言命题可能用相容选言命题组合成联言命题来定义，因此，现代逻辑中只选取相容选言命题作为基本的命题形式。(12007/7)(14下004/8）

pq=（p∨q）∧（p∧q）

4.假言命题：也称条件命题，是联结词为条件联结词的复合命题。如：如果你去图书馆，那么就不用等我了。只有有犯罪动机，才是犯罪嫌疑人。假言命题分为：充分条件假言命题必要条件假言命题换句话说，如果p为前件，q为后件，则有p必定有q，但无p则不一定无q。充分条件联结词的汉语表达形式有

“如果…那么…”，“若…则…”，（14下004/8）“一但…就…”，“只要…就…”等。充分条件命题的逻辑形式:p→q读作：“若p则q”。a.充分条件命题：有之必然，无之不必然pqp→qTTTTFFFTTFFT真值表：

充分条件假言命题的逻辑特征：

除了前件为真而后件为假时充分条件命题是假的之外,其它情况下,充分条件假言命题都是真的。因为只有前件真而后件假违背“充分条件”的含义，其他情况都不违背“充分条件‘的含义。（14上1/8）实质蕴涵：

对一个涉及前件p和后件q蕴涵式（如p→q），逻辑上只考虑前件p和后件q之间的真假关系是否成立，而不考虑他们之间的语义关系等其他关系，这种对蕴涵的理解称之为实质蕴涵。例如：如果雪是白的，那么2+2=4。这被称为“实质蕴涵怪论”。其实，它只是用怪论的形式来强调命题逻辑的形式性——只考虑命题之间的真值关系而不考虑命题内容。换句话说，如果p为前件，q为后件，则无p必定无q，但有p则不一定有q。在这种情况下，p为q的必要条件。必要条件的联结词的汉语表达形式有：“只有…才”、“除非…不”等等。逻辑形式:

p←q读作：“只有p才q”。b.必要条件命题：无之必不然，有之不必然。pqp←

qTTTTFTFTFFFT必要条件命题真值表：1.“只要…就…”与“只有…才…”的区别；1.只有年满18岁，才有选举权。2.只要年满18岁，就有选举权。（假）2.如果P与q有必要条件联系，那么没有p必定没有q；也即，若是有q则必定有p，这意味着q是p的充分条件。(14上2/8)因此，如果前件是后件的必要条件，那么后件就是前件的充分条件。

（03下/８）练习：

某单位三位领导对于是否选派小丁、小马出国作了各自的批示如下，甲：如果派小丁，则也要派小马；乙：只有派小丁，才会派小马；丙：或者派小丁，或者派小马；用真值表方法解答，是否有一方案同时满足三位领导的要求？（P→Q）∧（P←Q）∧（P∨Q）

p

q

p→q

p←q

p∨q

T

T

T

T

T

T

F

F

T

T

F

T

T

F

T

F

F

T

T

F5.等值命题：其联结词为等值联结词的复合命题。

在自然语言中，等值联结词一般为“当且仅当”等。逻辑形式

pq

读作：“p当且仅当q”。亦即是充分而且必要条件假言命题。例：一个三角形是等边的，当且仅当它是等角的。pqpq

TTTTFFFTFFFT真值表：四、复合命题推理1.联言推理前提或结论为联言命题的必然性推理。联言推理有组合式和分解式两种形式：

1）组合式由全部为真的支命题,推出其所构成的联言命题为真，其推理的基本形式（记为+）是：

P

qpq例如：A公司的产品质量好，A公司的产品价格便宜，所以A公司的产品物美价廉。例：

2是偶数，2是素数；所以2既是偶数又是素数。记为：p

q∴pq也可以记为：（p,q）

pq1、联言推理2）分解式由联言命题真推出其支命题为真，其推理的基本形式（记为-）是：

p

qp(orq)例：小张能歌善舞，所以小张会唱歌（或会跳舞）。例：

桂花既可观赏又可入药。所以，桂花可以入药。记为：pq∴p也可以记为：pq

p2.选言推理前提为选言命题，并根据选言命题的逻辑特征进行的推理。

1）相容选言推理根据相容选言命题进行的推理。其推理规则有二：

规则1：否定一部分选言支，就要肯定（保留）其余选言支；（否定肯定式）规则2：肯定一部分选言支，无法断定其余部分选言支。（无肯定否定式）

①否定肯定式(记为-)

pqp

(q)q

(p)

也称为选言三段论，或析取消去。

肯定否定式为无效推理形式。1）相容选言推理有效式:附：析取引入（记为+）

p

pq

当P为真时，q的真假对pq的真假无影响，所以可以引入。根据不相容选言命题的逻辑特征进行的推理。其推理规则有：

规则1：肯定一个选言支，就要否定其余的选言支；

规则2：否定一个选言支，就要肯定（保留）其余的选言支。根据规则，即有肯定否定式和否定肯定式两种有效推理式：2）不相容选言推理①肯定否定式：

pq2）不相容选言推理②否定肯定式:

pq

p

q

p

q（不能有“析取引入”）3.假言推理以一个假言命题和一个直言命题为前提，并根据其逻辑特征进行的必然性推理。

（1）充分条件假言推理前提中有充分条件假言命题的推理。其规则有：

规则1：肯定前件就要肯定后件，否定后件

就要否定前件；规则2：否定前件不能确定后件，肯定后件不能确定前件。

即只能“肯前；否后”②否定后件式（逆分离式）ＭＴ：

p

qqp①肯定前件式（分离式）ＭＰ：

p

q

pq（1）充分条件假言推理其有效推理形式有二：

肯定后件式和否定前件式皆为无效推理形式。(12005/9)

肯定前件式：

pqp

∴

q

也可表示为

((pq),p)⊢q

或

(pq)∧p→q

这条规则亦叫做分离规则

(MP)。例：

如果不刻苦钻研，就不能取得好成绩；

自以为聪明的人不刻苦钻研；

所以，这样的人不能取得好成绩。

否定后件式

pq

q

∴p

可记为：((pq),q)⊢p

或(pq)∧q→p

又称逆分离规则(MT)

。例：

如果是高水平的领导，那么就懂得现代管理原理；张总不懂现代管理原理，所以，张总不是高水平的领导。例：如果物理学得好，那么就必须数学学得好；

肯定前件式：小杨物理学得好，所以他数学也学得好。否定后件式：小鲁的数学学得不好，所以他的物理也学得不好。（2）必要条件假言推理

以必要条件假言命题为前提的推理。其规则有：

规则1：否定前件就要否定后件，肯定后件就要肯定前件；规则2：肯定前件不能确定后件，否定后件不能确定前件。即只能“否前；肯后”3.假言推理根据规则，有两种有效推理形式：否定前件式只有努力学习，才能取得好的成绩；小王学习不努力，所以不能取得好成绩。肯定后件式：只有努力学习，才能取得好的成绩；小李学习成绩好，所以他一定努力了。

都是一个假言前提加上一个直言前提，得出一个直言命题，所以亦称假言三段论。(12007/8)

①否定前件式：

p

qpq（2）必要条件假言推理②肯定后件式：

pqqp肯定前件式和否定后件式为无效推理形式。（14下004/9）必要条件假言命题可以转化为充分条件假言命题：

前件是后件的必要条件，则后件是前件的充分条件。例如：只有阳光充足,庄稼才健康生长。这等于说：如果庄稼健康生长了，则说明阳光充足。

把两种假言命题推理统一起来看，抛开变项的前后位置，可以看到推理只能从肯定箭尾的变项到肯定箭头的变项，从否定箭头的变项到否定箭尾的变项进行。

（p→q）∧p→

q（p→q）∧q→p

（p←q）∧

q→p（p←q）∧p→q（3）充分必要条件假言推理：

pq

显然：肯定前件式、肯定后件式、否定前件式、否定后件式都成立。如：一个三角形是等边的，当且仅当它是等角的，所以：这个三角形是等边的，所以它是等角的。这个三角形是等角的，所以它是等边的。这个三角形不是等边的，所以它不是等角的。这个三角形不是等角的，所以它不是等边的。等值命题的推理：

pqqp∴

p≡

q

这一推理形式称为等值引入。等值命题可以用充分条件假言命题组合为联言命题来定义，即：

（p≡q）＝df（pq）∧（qp）4.负命题推理（1）负直言命题推理负命题的支命题为直言命题的推理。其有效式有：

（SAP）SOP（SEP）SIP（SIP）SEP（SOP）SAP

就是直言命题对当方阵里的矛盾关系。注意Ｓ和Ｐ必须是同一素材的命题。支命题是复合命题的负复合命题推理。

1）负联言命题推理

(pq)(pq)例：他不是能歌善舞的人他或者不会唱歌或者不会跳舞。

2)负选言命题推理

(pq)(pq)例：并非必须参加田径比赛或者参加球类比赛

可以既不参加田径比赛又不参加球类比赛。

以上称为

德.摩根定理

（2）负复合命题推理3)负假言命题推理

(p→q)(pq)（前真而后假）

(p←q)(pq)（前假而后真）

（注意：都是箭头所指向的变项被否定。负命题的真值就是使原命题为假的值）（14下002/9）4)负负命题推理

pp（双重否定得肯定）4.纯假言推理（假言联锁推理）(1)充分条件假言联锁推理：A）肯定式：

（p

q）（qr)(p

r)

就是前面讲过的传递关系的推理。B)否定式：

（p

q）（qr)(rp)

例如：如果产生火星，就会引起燃烧；如果燃烧，就会发生爆炸；所以，（肯定式）如果发生火星就会引起爆炸。（否定式）要避免爆炸就不能产生火星。(2)必要条件假言联锁推理（教材P.93）A）否定式：

（p←

q）（q←r)(

p

r)B）肯定式：

（p←

q）（q←

r)(r

p)例如：只有认真听课，才能取得好成绩，只有取得好的成绩，才能获得奖学金；所以否定式：不认真听课就不能获得奖学金。肯定式：要获得奖学金就要认真听课。注意：都是顺着箭头方向进行肯定，逆着箭头方向进行否定。(3)混合条件假言联锁推理A)肯定前件式：（p←→

q）（qr)(p

r)B）否定后件式：（p←→

q）（qr)(r

p)C）否定前件式：（p←→

q）（q←r)(p

r)D)肯定后件式：（p←→

q）（q←r)(r

p)

充要条件假言命题+充分条件假言命题

or:充要条件假言命题+必要条件假言命题作前提。注意：如果有一个前提是充分条件命题，就适用充分条件假言推理的规则；如果有一个前提是必要条件假言命题，就适用必要条件假言推理的规则。（4）假言易位推理

（教材P.96）

即以一个假言命题作前提，将其中的前、后件的位置加以交换，仍得出一个假言命题。Ａ）充分条件假言易位推理：

如果Ｐ则Ｑ，所以，如果非Ｑ则非Ｐ。（p→q）→（q→p)Ｂ）必要条件假言易位推理：

只有Ｐ才Ｑ，所以，如果Ｑ则Ｐ。

（p←q）→（q→p)

我们只能顺着箭头方向进行肯定（从肯定箭尾到肯定箭头），逆着箭头方向进行否定（从否定箭头到否定箭尾）。

与假言三段论的区别：前提是一个假言命题，结论也是一个假言命题。(13下005/9)（14上1/9（10）)练习：

下列命题是那种复合命题？指出它们的逻辑联结词和支命题。1.只要下定决心，就可以克服困难。2.理论一旦掌握群众，就会形成物质力量。3.当气体的质量一定时，气体的体积和压力的乘积，跟它的绝对温度成正比。4.谦虚使人进步，骄傲使人落后。5.会憎，才会爱。6.若要人不知，除非己莫为。

7.没有革命的理论，就没有革命的行动。8.不破不立，不塞不流，不止不行。9.凡事预则立，不预则废。10.不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。11.现在不是西风压倒东风，而是东风压倒西风。12.并非所有参加民主运动的人都是马克思主义者。

将下列命题符号化，并用真值表表示其与支命题间的真值关系：1.高水平的舞蹈演员不怕吃苦并且还有常人不具备的毅力。2.学术上有建树的人，或者学习刻苦或者方法好。3.如果逻辑学是使人更聪明的学问，那么人人都应当认真学习逻辑学。4.只有理解自然语言，才能对自然语言提出有深度的问题。5.当且仅当具有推理能力，才能推演出所需的答案。复合命题推理习题1.某小岛上男性公民分为骑士和无赖。骑士只讲真话，无赖只讲假话。甲和乙是该岛上的公民，关于他俩，甲说了这句话：

“或者我是无赖，或者我是骑士”根据上述条件，可推出以下哪项结论？A.甲和乙都是骑士；B.甲和乙都是无赖；C.甲是骑士，乙是无赖；D.甲是无赖，乙是骑士；A.甲和乙都是骑士；B.甲和乙都是无赖；C.甲是骑士，乙是无赖；D.甲是无赖，乙是骑士；设：p:甲是骑士（¬p:甲是无赖）

q:乙是骑士（¬q:乙是无赖）（P∧q）∨（¬P∧¬q）∨（P∧¬q）∨（¬P∧q）

甲说的是逻辑真理，当然是真话，所以甲是骑士，首先排除B和D两种可能。A和C是不相容关系。如果甲说的只是自己，则A真或C真不能确定；如果说的是两人，则A真而C假。

（13下003/9)（14上2/9)2.已知下列四个命题中只有一个为真：（1）或小周不学日语，或小陈不学日语（2）只有小周学日语，小陈才学日语（3）小刘学日语，并且，小陈也学日语（4）小周不学日语

由此可以判断小周、小陈、小刘三人中谁一定学日语？（1）或小周不学日语，或小陈不学日语（2）只有小周学日语，小陈才学日语（3）小刘学日语，并且，小陈也学日语（4）小周不学日语

设：P：小周学日语；q:小陈学日语；r:小刘学日语

(¬p∨¬q)（p←q）（q∧r)¬p

4个复合命题只有一个真，即为不相容的析取关系。根据题意，首先可以排除（4）真，因为（4）真会导致（1）也真，所以小周一定学日语。小周学日语，假设（１）真（小陈也不学日语）

→（２）真（前真而后假），违背题意→（１）假（小周和小陈都学日语）→（2）真，其余为假。(12005/10)（１３上/８）3.甲、乙、丙三人争夺围棋决赛前三名，小林预测：只有甲不是第一，丙才第二。小李预测：丙不是第二。

事实证明小林和小李两人的预测只有一人为真，则甲、乙、丙三人的名次为：

A.甲、乙、丙

B.乙、甲、丙

C.甲、丙、乙

D.乙、丙、甲

E.丙、甲、乙Ｆ．丙、乙、甲小林预测：“只有甲不是第一，丙才第二。”小李预测：“丙不是第二。”

设：Ｐ：甲第一；Ｑ：丙第二则：（（Ｐ←Ｑ）∨Ｑ）∧(（Ｐ←Ｑ）∧Ｑ）)

注意到小李的预测是对小林预测的后件的否定，如果小李预测真，会导致小林预测也真（必要条件无否定后件式），所以小李预测假，小林预测真，即：丙为第二，甲不是第一（肯定后件而肯定前件）。

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.甲、丙、乙D.乙、丙、甲

E.丙、甲、乙F.丙、乙、甲6种可能性中只有D满足条件(12007/9)

pqp←

qTTTTFTFTFFFT

以上两个例子中，都涉及必要条件假言命题，它只有在前件假而后件真时才为假，如果后件为假，则前件无论真假它都为真。真值表：4.对某盗窃案三位嫌疑犯来说，下列事实成立：（1）A、B、C中至少一人有罪（2）A有罪时，B、C与之同案（3）C有罪