第四章概率与概率分布课件

第四章概率分布要点概率基础知识几种常见的理论分布

统计数的分布事件

在自然界中,有许多现象是可以预言在一定条件下是否出现.例如水在标准大气压条件下,温度加热到100℃时肯定沸腾---必然事件(记为U)又如必然事件的反面,种子的发芽率不可能超过100%---不可能事件(记为V)再如小麦播种后可能发芽也可能不发芽,这种在确定条件下可能出现也可不出现的现象---随机事件,简称事件概率基础知识频率和概率事件A在n次重复试验中发生了m次,则事件A发生的频率为W(A)=m/n事件A发生的概率为P(A)

种子总数(n)1020501002005001000发芽种子数(m)9194791186458920种子发芽率(m/n)0.90.950.940.910.930.9180.92例某批玉米种子的发芽试验结果0≤W(A)≤10≤P(A)≤1概率的计算事件的相互联系(韦恩图)和事件A+B积事件A·B互斥事件A·B=V对立事件A+B=UA·B=VABAAABBB概率分布离散随机变量随机变量:是一次试验的结果的数值性描述

离散随机变量:

指有限个数值或一系列无穷个数值的随机变量例值

概率0

1/4=0.251

2/4=0.502

1/4=0.25事件:抛2个硬币.

数是正面的个数

TTTT离散概率分布列出所有可能的[Xi,f(Xi)] Xi=随机变量的值(结果)

P(Xi)=取这个值的概率相互排斥

(没有重叠)穷举性(没有漏下)

0≤

f(Xi)≤1

S

f(Xi)=1离散随机变量的度量数学期望（ExpectedValue）

或平均值度量随机变量的中心位置

E(x)==xp

(x)方差（Variance）

随机变量的取值离均值的变异程度

Var(x

)=2=(x-)2p(x)

标准差σ=∑(x-µ

)2p(x)

现有甲、乙两种股票，在未来不同经济状况下的可能报酬率和相应的概率如下：经济状况可能的报酬率（%）状况发生的概率

经济过热30-450.1繁荣20-150.2正常10150.3衰退0450.3萧条-10750.1

试计算两种股票的预期报酬率和标准差。并比较风险的大小。即乙股票的报酬率高，风险也高。重要的离散概率分布离散概率分布Binomial二项分布Poisson泊松分布BinomialProbabilityDistributions二项分布二项试验的性质试验由一个包括

n

次相同的试验的序列组成每次试验只有两个结果,构成对立事件成功的概率为

p,每次试验都相同试验都是独立的BinomialProbabilityDistributions二项分布二项分布函数

其中

f(x)=n

次试验中成功

x

次的概率

n=试验次数

p=每次试验中成功的概率BinomialDistributionCharacteristics二项分布的特征n=5

p=0.1n=5

p=0.5数学期望（均值）标准方差msEXnpnpp===-()()1

0.2.4.6012345XP(X).2.4.6012345XP(X)e.g.

m

=

5(0.1)=

0.5e.g.

s

=

5(0.5)(1-0.5)

=1.118

0PoissonDistribution泊松分布泊松试验的性质：有很小的p值和很大的n值的二项分布

p<0.1andnp<5实验独立.PoissonProbabilityDistributionFunction泊松概率分布函数泊松概率分布函数：

其中

f(x)

=在一个区间发生

x次的概率

=np=µ=σ2

e=2.71828PoissonDistributionCharacteristics泊松分布的特征l=0.5l=6数学期望标准方差mlsliiNiEXXPX=====()()1

0.2.4.6012345XP(X)

0.2.4.60246810XP(X)例某小麦品种在田间出现自然变异植株的概率为0.0045，试计算：（1）调查100株，获得两株或两株以上变异植株的概率是多少？（2）期望有0.99的概率获得一株或一株以上的变异植株，至少应调查多少株？分别用二项分布和泊松分布解答。连续型随机变量

当实验资料为连续型变量，一般通过分组整理成频率分布表。可以根据频率分布表做成频率分布曲线。表示这一曲线的函数f（x）则为概率密度函数。概率计算公式为

P（x1≤x≤

x2

）=TheNormalDistribution正态分布钟形对称

均值,中位数，众数相等

随机变量无限取值Xf(X)mTheMathematicalModel数学模型f(X)= 随机变量X的分布密度函数p= 3.14159;e=2.71828s

= 总体标准方差X

= 随机变量取值(-¥<X<¥)m

= 总体均值

f(X)=1e(-1/2)((X-m)/s)2ManyNormalDistributions许多正态分布变动参数s

和m,我们得到许多不同的正态分布正态分布的特征（1）当X=µ时，f（x）值最大，所以正态分布曲线是以平均数µ为中心的分布（2）当x－µ的绝对值相等时，f（x）值也相等，所以正态分布是以µ为中心向左右两侧对称的分布（3）的绝对值越大，f（x）值就越小，但f（x）永远不会等于0（4）正态分布曲线完全由参数µ和σ来决定（5）正态分布曲线在x=µ±σ处个有一个拐点，改变弯曲度（6）正态分布的密度曲线与x轴围成的全部面积为1标准正态分布：当正态分布，时，则称服从标准正态分布，分别用表示概率密度函数和分布函数，即

标准化：若，则可以将其标准化。服从标准正态分布，即例服从标准正态分布，查标准正态分布表求概率。

TheStandardizedNormalDistribution标准正态分布标准正态分布表 m=0ands=1Z=0.12Z.00.010.0.0000.0040.0080.0398.04380.2.0793.0832.08710.3.0179.0217.0255.0478.020.1.0478ProbabilitiesStandardizingExample标准化例Zm=0sZ

=10.12正态分布标准正态分布Xm=5s

=106.2Example:P(2.9<X<7.1)=.1664举例计算

P(2.9<X<7.1)0s

=1-.21Z.21正态分布0.16640.58320.4168标准正态分布5s

=102.97.1X

例意趣玩具厂准备实行计件超产奖，为此需要对生产定额做出新规定。根据以往的记录，可知各个工人每月装配的产品数服从正态分布假定车间希望有10%的工人能拿到超产奖，试问工人每月需完成多少件产品才能或得奖金？

解：设X为工人每月装配的产品数，设C是能拿到超产奖的工人完成定额。根据题意，有能拿到超产奖的工人完成定额4077件。统计数的分布生物统计中的一个问题是研究总体与样本的关系总体随机样本1234例设有一N=3的近似正态总体,具有变量3,4,5,则求出总体均值µ=4,σ2=0.6667,σ=0.8165,现以n=2做独立的有放回的抽样,总共可得Nn=32=9个样本，其抽样结果列于下表：样本编号样本值s2s13,33.00.00.000023,43.50.50.707133,54.02.01.414244,33.50.50.707154,44.00.00.000064,54.50.50.707175,34.02.01.414285,44.50.50.707195,55.00.00.0000∑36.06.05.6568样本平均数的平均数为µx=36/9=4=µ样本方差s2的平均数µs2=6/9=0.6667=σ2样本标准差s的平均数µs=5.6568/9=0.6285≠σ在统计上，如果所有可能样本的某一统计数的平均数等于总体的相应参数，则称该统计数为总体相应参数的无偏估计量。样本平均数是总体平均数的无偏估计量样本方差是总体方差的无偏估计量样本标准差不是总体标准差的无偏估计量样本平均数的分布n=2n=4f（次数）ff2f（次数）ff2

3.0139.03.03.25143139.0042.253.52724.53.503.7510163560122.50225.004.031248.04.004.2519167668304.00289.004.52940.54.504.751044519202.5090.255.01525.05.001525.00∑936147.0∑813241309.50样本平均数分布的基本性质：样本平均数分布的平均数等于总体平均数样本平均数分布的方差等于总体方差除以样本容量如果从正态总体N（µ，σ2）进行抽样，其样本平均数分布也服从正态分布，记为N（µ，σ2/n）如果被抽样整体不是正态总体，但是具有平均数µ和方差σ2，当样本容量不断增大，样本平均数的分布也越来越接近正态分布，且有平均数µ和方差σ2。这又叫做中心极限定理。样本平均数差数的分布分别从两个独立的正态总体抽样，将来自两个总体的样本平均数进行可能的比较，可得样本平均数差数分布的基本性质：样本平均数差数的平均数等于总体平均数的差数样本平均数差数的方差等于两样本平均数方差除以各自样本容量之和从两个正态总体抽样的样本平均数差数的分布也服从正态分布，记为N（µ1－µ2，σ12/n1+σ22/n2）t分布标准离差u=（x-µ）/（s/n）服从t分布t=（x-µ）/（s/n）t分布具有以下特征：t分布曲线是左右对称的，围绕平均数µ=0向两侧递降t分布受自由度df=n－1的制约，每个自由度都有一条t分布曲线当df趋于无穷大是，与正态分布曲线重合t落于区间[-t0.05，+t