第三章静磁场

第三章静磁场StaticMagneticField§3.1矢势及其微分方程一、矢势稳恒电流磁场的基本方程比较静电场：有源、无旋——引入标势φ

磁场：无源、有旋——引入一个矢量矢势A的物理意义：矢势A沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。注意：只有A的环量才有物理意义，而在每点上的A(x)值没有直接的物理意义。矢势A可确定磁场B，但由B并不能唯一地确定A，这是因为对任意函数即A+▽ψ

和A对应于同一个B，A的这种任意性是由于A的环量才有物理意义的决定的，A可以加任意的法向分量。电势也有：可加任意常数，对应相同电场.二、矢势微分方程在均匀线性介质内有B=μH，代入到▽×H=j中，即——库仑规范由于A的法向分量不会影响B的值，故取：取什么样的规范，主要取决于数学处理的方便.可见，矢势A和标势φ在静场时满足同一形式的方程.可得到矢势的特解：写成直角分量：Pisson'sequation.对比静电势方程对比静电势的解：替换作变换——毕奥.萨伐尔定律▽只对场点微分用到3、矢势边值关系——场量在边界小面积为零因此，A在切向连续，即：②若取库仑规范①A在法向连续，即：磁场的总能量为4、静磁场的能量在静磁场中，可以用矢势A和电流j表示总能量，即化为∞积分＝0不能看作为能量密度分布于，矢势分布于，矢势磁场总能量为考虑两个独立电流系之间的相互作用能外电流系:电流系:电流系各自的自能相互作用能为两式相等电流在外场中的相互作用能量【例1】无穷长直导线载电流I，求空间的矢势A和磁场B。【解】比较静电场的势R0为参考点根据A方向与j方向一致.作替换：因此：常矢量结果与安培定理求解一致。【例2】求长螺线管的矢势和磁感应强度。面电流密度：αx在管外的矢势应该与面电荷密度的静电场相似.问题：如何求静电势？想像沿z轴放置分别带正负电的无限长导线，在y轴上错开一小段距离.面电荷密度k值的计算由于长直导线：故，长直导线对的电势：点电荷势电偶极子势因此同理显然管内：【例3】电流为I的小回路在远处的矢势和磁感应强度。在z轴没有电流，故Az=0Ax应该和下图的电荷产生的静电势类似.同理S为小回路面积令：磁感应强度完全不同的定律，却能得到同样的场，可能是由于在远处，散度和旋度都为零的缘故.但是源却根本不同.——与E相似，p沿z方向注意：的方向为z方向.§3.2磁标势本节所研究的问题是避开矢量A求磁感应强度B。类比于静电场，引入磁标势。然后讨论所满足的微分方程，继而讨论静磁问题的唯一性定理。1、磁标势引入的条件（1）所考虑的空间区域没有传导电流（2）空间应为单连通区域2、磁标势的方程因为，代入上式，则得在能引入磁标势的区域内，磁场满足：在磁介质中，的关系是（不论是铁磁质还是非铁磁质）：与电介质中极化电荷密度类比，可以假想磁荷密度为得到与电介质中的静电场方程类似的形式将代入出现的原因：与对应边值关系界面上没有传导电流时界面上有传导电流时对于非铁磁质对于任意介质为束缚磁荷面密度对比

静电场静磁场如果可均匀分区的区域V中没有传导电流分布，只要在边界S上给出下列条件之一，则V内磁场唯一地确定：3、静磁问题的唯一性定理当所考虑的区域是单连通的，其中没有传导电流分布时，可引入磁标势.磁标势之值磁场强度的法向分量

磁场强度的切向分量[例1]

证明μ→∞的磁性物质表面为等磁势面。两式相除，得解：由磁场边界条件：以及在该磁性物质外面，H2与表面垂直（切向分量与法向分量之比→0)，因而表面为等磁势面。得到[例2]求磁化矢量为的均匀磁化铁球产生的磁场。解：球外：球内：均匀磁化磁荷只分布在铁球表面上球内、外磁势都满足Laplace’sequation由于轴对称性，极轴沿方向，上式解的形式为：边条件：铁球表面边界条件：球外为真空，则由边值条件得：当时，当n=1时，比较的系数：得到铁球内、外的磁场强度为其中：。由此可见铁球外的磁场相当于一个磁偶极子所激发的场。把取在方向上，即有讨论

B

线总是闭合的，H线且不然，H线是从右半球面上的正磁荷发出，终止于左半球面的负磁荷上。线是闭合的线由正磁荷发出到负磁荷止在铁球内，B与H反向。说明磁铁内部的B与H

是有很大差异的。B代表磁铁内的总宏观磁场，而H仅为一辅助场量.

§3.3磁多极矩Magneticmultipolemoment

主要内容：研究空间局部范围内的电流分布所激发的磁场在远处的展开式，与电多极矩（electricmultipolemoment)对应。引入磁多极矩概念，并讨论这种电流分布在外磁场中的能量问题。1、矢势的多极展开给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为把矢势作多极展开，即把在区域内的某一点展开成的幂级数。如果电流分布集中在一个小区域V中，而场点又距离该区域比较远.若展开点取在坐标的原点，则第一项：没有与自由电荷对应的自由磁荷存在第二项先就一个闭合线圈情形计算。若线圈电流为I，有在被积式中，R/R3为固定矢量，与积分变量无关。x′为线圈上各点的坐标，因此利用全微分绕闭合回路的线积分等于零A(1)可写为电流线圈的磁矩因为得磁矩对于一个小线圈，设它所围的面元为△S，有特例：圆面积S=R2因此表示把整个电流系的磁矩集中在原点时，一个磁矩对场点所激发的矢势，作为一级近似结果。展开式的第三项：是更高级的磁矩激发的矢量势。因为比较复杂，一般不去讨论。综上所述：小区域电流分布所激发的磁场，其矢势可看作一系列在原点的磁多极子对场点激发的矢势的迭加。2、磁偶极矩的场和磁标势根据因为讨论的是区域V外的场，在处，有由此可见在电流分布以外的空间中3、小区域内电流分布在外磁场中的能量设外场的矢势为，电流分布在外磁场中的能量为：对于环形小电流，则有当电流环线度很小，变化不大时，取原点在线圈所在区域适当位置上，把在原点附近展开：和电偶极子在外电场中的能量－pE对比，相差一个负号。这是否意味着磁偶极子受外磁场作用时将会倾向于与外磁场反向呢?设外场由另一带有电流Ie的线圈Le产生。把相互作用能写为Φ为线圈L上的电流产生的磁场对线圈Le的通量线圈运动时，若保持电流I和

Ie不变，则磁能的改变为由于磁通量改变，在线圈上产生感应电动势，它对电流作功，就会改变I和Ie的值。为了保持I和Ie不变，必须由电源提供能量，以抵抗感应电动势所作的功。在线圈L和Le上的感应电动势分别为在时间δt内感应电动势所作的功为电源为抵抗此感应电动势必须提供能量在这样的条件下才能保持I和Ie

不变。因此总磁场能量的改变等于相互作用磁能的改变δW

。现在体系包括有相互作用的三个方面：外电源，电磁场，以及两个线圈上的电流。必须把这三个方面包括在内，才能应用能量守恒定律。设线圈移动时场对它作功δA。能量守恒要求：电源提供的能量δWs应等于总磁能的改变δW加上对线圈所作的功δA:总磁能改变对线圈做功电源提供的能量即对线圈所作的功等于磁能的增量而不是其减小量如果定义力学中的势函数U使作功等于势函数的减小，应有磁偶极子在外场Be中的势函数为这式子和电偶极子在外场中的能量－pE完全对应.磁偶极子在外磁场中所受的力由于产生外场的电流一般都不出现在磁矩m所在的区域内磁偶极子所受的力矩计及力矩的方向，得电偶极子磁偶极子比较受力所受力矩4、磁矩在外磁场中受力和力矩体积V内的电流受外磁场的作用力为展开第一项：外磁场对磁单极的作用力第二项：因此考虑一个小区域内的电流在外磁场中受到的力矩为：第一项§4Aharonov－Bohm效应

经典电磁理论中，E和B能完全描述电场和磁场，φ

和A是辅助物理量，φ和A不具有独立物理意义。一般地，矢势可相差一纵矢量场。即便是在（人为外加）规范条件下，矢势也可相差一常矢量；另外，电势也可相差一常数，这表明矢势和标势不具有可观测的物理效应。Yakir

Aharonov

1932年出生于以色列。以色列量子物理学家、加州Chapman大学讲座教授、以色列TelAviv大学教授、以色列Iyar高等研究院院长。他的主要研究兴趣为量子力学和量子场论中的非局域性和拓扑效应，量子力学的解释。1959年他和他的导师合作提出这对量子力学的解释是一个概念性的突破，使量子力学的公式的正确性和完整性得到补强。并且获得实验的证实以及推动了理论的进一步深入。DavidJosephBohm

1917年12月20日出生于美国的英国量子物理学家，1992年10月27日不幸去世。在理论物理、哲学和JohnBell的不等式的发明。许多诺贝尔奖获得者都认为有史以来最好的量子物理学家之一，应该获得诺贝尔奖，但是可能由于政治上的原因没有被授予。一、电子束干涉实验经典电磁理论的困惑实验装置：电子双缝干涉实验，在双缝后放一细长螺线管。实验现象：螺线管通电后，干涉条纹发生移动。现象分析：螺线管细长而密集，管外B=0，干涉条纹移动不可能由B导致。干涉条纹的移动说明电子状态发生了改变。螺线管外，尽管B=0，但是管外矢势不为零。实验表明，矢势具有不同于B的物理观测意义。或者说，B不能完全描述磁场，矢势具有独立于B

的可观测效应。这种效应称为A-B

效应。它是Aharonov和Bohm在1959年提出的。实验的困难：电子的波长很小，双缝宽度很小，要求螺线管很小。铁晶体生长成细丝（晶须），被磁化时，表现像螺线管.二、A-B效应的量子理论解释经典力学量子力学力能量(ν)和动量(λ)轨道概率幅轨道的变化量相位的变化量根据量子力学：正则动量自由电子状态用平面波描述，磁场引起相位的改变双缝干涉实验（干涉条纹取决于相位差）相位差相位为：相位差：磁场引起相位的变化量根据因此虽然通过计算A的环流或B的通量都可以得到相位的改变量，但是，在粒子通过的区域只有A不等于零.干涉条纹中心：相位差考虑双缝后面加上一小