第4章轴向拉压杆的应力及变形

第4章轴向拉压杆的应力及变形4.1材料力学的基本假设及基本概念4.2拉压杆横截面上的轴力及轴力图4.3应力.拉压杆内的应力4.4轴向拉（压）杆的变形.胡克定律4.5拉压超静定问题4.1材料力学的基本假设及基本概念4.1材料力学的基本假设及基本概念

在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体（deformablebody），而构件一般均由固体材料制成，故构件一般都是变形固体。

静力学中，力为滑移矢量，力偶矩矢为自由矢。材料力学中，力与力偶矩矢均不能自由平移。变形不等效力的平移定理力的可传性一、研究对象4.1材料力学的基本假设及基本概念构件的分类：杆件（bar）:直杆、曲杆、等截面杆、变截面杆板壳块体板（plate）:平板、壳块体（body）4.1材料力学的基本假设及基本概念二、材料力学的任务强度(Strength)：即抵抗破坏的能力刚度(Stiffness)：即抵抗变形的能力稳定性(Stability)：即保持原有平衡状态的能力

构件的强度、刚度和稳定性不仅与构件的形状有关，而且与所用材料的力学性能有关，因此在进行理论分析的基础上，实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。构件（element）的承载能力4.1材料力学的基本假设及基本概念重庆彩虹桥坍塌“豆腐渣”工程綦江彩虹桥仅仅通车两年零222天后，于1999年1月4日整体坍塌，造成死亡40人，轻重伤14人。4.1材料力学的基本假设及基本概念美国纽约马尔克大桥坍塌4.1材料力学的基本假设及基本概念强度不足破坏4.1材料力学的基本假设及基本概念刚度不足破坏4.1材料力学的基本假设及基本概念稳定性不足破坏4.1材料力学的基本假设及基本概念

在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸、选择适宜的材料，而提供必要的理论基础和计算方法。材料力学的任务:4.1材料力学的基本假设及基本概念三、基本假设2各向同性假设

(isotropyassumption)认为在物体内各个不同方向的力学性能相同3小变形假设ABCFδ1δ2δ远小于构件的最小尺寸，所以通过节点平衡求各杆内力时，把支架的变形略去不计。计算得到很大的简化。B’1均匀连续性假设（continuityassumption）认为材料无空隙地分布于物体所占的整个空间中认为物体内的任何部分，其力学性能相同4.1材料力学的基本假设及基本概念四、外力与内力外力：按外力作用的方式体积力:如物体的自重和惯性力。表面力连续作用于物体表面的力。如油缸内壁的油压力，水坝受到的水压力。若外力作用面积远小于物体表面的尺寸，可作为作用于一点的集中力。如火车轮对钢轨的压力,滚动轴承对轴的反作用力等。分布力：集中力：连续分布于物体内部各点的力。4.1材料力学的基本假设及基本概念按时间静载：动载：缓慢加载（a≈0）快速加载（a≠0），或冲击加载——指由外力作用所引起构件内部的附加相互作用力。是物体内相邻部分之间分布内力系的合力。内力4.1材料力学的基本假设及基本概念拉压变形(1)拉伸或压缩五、杆件的基本变形变形特点:

杆的变形主要是轴向伸缩伴随横向缩扩。外力特点:

外力的合力作用线与杆的轴线重合。4.1材料力学的基本假设及基本概念剪切变形(2)剪切外力特点：

作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。变形特点：

位于两力之间的截面发生相对错动。4.1材料力学的基本假设及基本概念扭转变形(3)扭转变形特点：

各横截面绕轴线发生相对转动.外力特点：

在垂直于杆件轴线的两个平面内，作用一对大小相等、转向相反的力偶。4.1材料力学的基本假设及基本概念弯曲变形(4)弯曲外力特点：杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用。变形特点：轴线由变形前的直线变成了曲线。求内力的方法－－截面法1、切2、抛3、代4、平F1FnF3F2F1FRF3M内力主矢与内力主矩主矢主矩横截面及内力分量xyzNTQyQzMyMz横截面上的内力分量轴向分量力：轴力N力矩：扭矩T横向分量力：剪力Qy、Qz力矩：弯矩My、MzFSMFFaa4.2拉压杆横截面上的轴力及轴力图4.2拉压杆横截面上的轴力及轴力图APPAPPPAN截开：代替：平衡：1轴力(axialforce)

——轴向拉压杆的内力，用N表示。2轴力的正负规定:

引起轴向拉伸变形的轴力为正(拉力)引起轴向压缩变形的轴力为负(压力)3

轴力图：轴力沿杆件轴线变化的图形。拉为正，压为负。4.2拉压杆横截面上的轴力及轴力图已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。11[例题4-1]N1F1解：1、计算各段的轴力。F1F3F2F4ABCDAB段BC段2233N3F4N2F1F2CD段2、绘制轴力图。–++4.2拉压杆横截面上的轴力及轴力图1反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；2确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。轴力图意义:3特点：突变值=集中载荷大小

–++（方向？同学自己思考）4.2拉压杆横截面上的轴力及轴力图

设轴力为正时，任一横截面上的轴力等于横截面一侧所有外力在杆轴线上投影的代数和，背离截面的外力为正，指向截面的外力为负。

轴力(图)的简便求法F1F3F2F4ABCDN2F1F222由内力方程得：

[例4-2]杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。BD段：解：DE段：AB段：注：内力的大小与杆截面的大小无关，与材料无关。轴力图要求：1.正负号2.数值3.阴影线与轴线垂直30KN20KN30KN402010–++1122334.2拉压杆横截面上的轴力及轴力图图示砖柱，高h=3.5m，横截面面积A=370×370mm2，砖砌体的容重γ=18KN/m3。柱顶受有轴向压力F=50KN，试做此砖柱的轴力图。y350FnnFFNy5058.6kN4.3应力·拉压杆内的应力4.3应力·拉压杆内的应力一、应力的概念一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到应力总量P可以分解成:

垂直于截面的分量σ－－正应力平行于截面的分量τ－－切应力平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度由外力引起的内力集度称为应力。4.3应力·拉压杆内的应力应力的国际单位为Pa1N/m2=1Pa（帕斯卡）

1MPa=106Pa1GPa=109Pa应力的特点（2）应力是矢量。（3）截面上各点应力在截面合成结果为该截面的内力。（1）应力定义在受力构件某一截面的某一点处。4.3应力·拉压杆内的应力二、轴向拉压杆横截面上的应力变形前1实验观察变形：2

平面假设(planeassumption)：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且垂直于轴线。abcd受载后PPd´a´c´b´4.3应力·拉压杆内的应力验证平面假设的正确性4.3应力·拉压杆内的应力3横截面上应力分布受拉力P均匀性假设连续性假设4.3应力·拉压杆内的应力计算机模拟横截面上正应力的分布4.3应力·拉压杆内的应力xFN4、横截面上应力公式正应力符号规定:单位:FN

牛顿(N)A平方米(m2)

帕斯卡(pa)1MPa=106Pa1GPa=109Pa当N为拉力时，为拉应力，规定为正，当N为压力时，为压应力，规定为负．

4.3应力·拉压杆内的应力5、公式的应用条件圣文南原理：离开载荷作用处一定范围，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。一、截面到载荷作用点有一定的距离。二、直杆的截面无突变。4.3应力·拉压杆内的应力[例题4-3]图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。FABC解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点B为研究对象：45°12FBF45°2、计算各杆件的应力。FABC45°12BF45°4.3应力·拉压杆内的应力4.3应力·拉压杆内的应力三、斜截面上应力4.3应力·拉压杆内的应力正应力σ：拉为正，压为负。剪应力τ：绕脱离体顺时针转向时为正。α的符号：由x轴逆时针转到外法线n时为正。符号规定：4.4轴向拉压杆的变形·胡克定律4.4轴向拉压杆的变形·胡克定律纵向伸长量:纵向线应变:

虎克定律:

EA值愈大，变形愈小，因此，EA值反映了杆件抵抗拉伸(或压缩)变形的能力，称之为杆件的抗拉刚度(tensilerigidity)。4.4轴向拉压杆的变形·胡克定律杆件横向绝对变形为

由试验可知，二横向线应变相等，μ为材料的横向变形系数或泊松比

应力不超过比例极限时：4.4轴向拉压杆的变形·胡克定律[例4-4]

一阶梯轴钢杆如图，AB段A1＝200mm2，BC和CD段截面积相同A2＝A3＝500mm2；l1=l2=l3=100mm。荷载P1＝20kN，P2＝40kN，弹性模量E＝200GPa。试求：(1)各段的轴向变形；(2)全杆AD的总变形；(3)A和B截面的位移。解：(1)求各段轴力，作轴力图(2)求各段变形BC段AB段CD段+-20kN20kN4.4轴向拉压杆的变形·胡克定律(3)求全杆总变形（缩短）(4)求A和B截面的位移4.4轴向拉压杆的变形·胡克定律4.4轴向拉压杆的变形·胡克定律[例4-5]

一薄壁圆环，平均直径为D，截面面积为A，弹性模量为E，在内侧承受均布载荷q作用，求圆环周长的增量。解：4.4轴向拉压杆的变形·胡克定律2变形图严格画法，图中弧线；1求各杆的变形量△Li;3近似画法，切线代圆弧切线代圆弧法4.4轴向拉压杆的变形·胡克定律[例4-6]

写出图中B点位移与两杆变形间的关系。解：设AB杆为拉杆，BC杆为压杆，则B点位移至B´点：4.4轴向拉压杆的变形·胡克定律[例4-7]

如图所示一简易托架，BC杆为圆截面钢杆，其直径d=18.5mm，BD杆为8号槽钢。若两杆的[σ]=160MPa，E=200GPa，设P=60kN。试求B点的位移。解：(1)计算杆的内力

(2)计算B点的位移

4.4轴向拉压杆的变形·胡克定律由“切线代圆弧”法，B点的垂直位移为

B点的水平位移B点的总位移

B2B1B5B4B3B4.5拉压超静定问题2超静定问题：单凭静力平衡方程不能确定出全部未知力（外力、内力、应力）的问题。4.5.1基本方程1静定问题：单凭静力平衡方程能确定出全部未知力（外力、内力、应力）的问题。4.5拉压超静定问题4.5拉压超静定问题

3超静定次数n：n=未知内力数－有效的平衡方程数4超静定问题的解题方法步骤：

(1)平衡方程

(2)几何方程——变形协调方程

(3)物理方程——虎克定律

(4)补充方程：由几何方程和物理方程得

(5)解由平衡方程和补充方程组成的方程组4.5拉压超静定问题4.5.2超静定问题的基本分析方法的应用[例4-7]

设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2=L、L3；各杆面积为A1=A2=A、A3

；各杆弹性模量为：E