第6章.静定结构的位移计算

静定结构的位移计算第六章§6-1概述§6-2变形体虚功原理及位移计算一般公式§6-3支座移动和温度变化时的位移计算§6-4静定结构在荷载作用下的位移计算§6-5图乘法§6-6互等定理§6-7结构位移计算公式的另一种推导1§6-1概述一、静定结构的位移

静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线位移、竖向线位移以及角位移。1.截面位移桁架受荷载作用刚架受荷载作用ABCABC22.广义位移通常把两个截面的相对水平位移、相对竖向位移以及相对转角叫做广义位移。AB

竖向位移之和

相对竖向位移a)支座B下沉ABCC'温度变化ABC'C3qABABb)c)

相对竖向位移

相对水平位移4

A左、右截面相对转角e)d)AlB

AB杆转角A5次梁跨中挠度主梁跨中挠度楼盖跨中挠度吊车梁跨中挠度二、位移计算的目的1）验算结构的刚度62）为超静定结构的内力和位移计算准备条件求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求得内力或位移的唯一解，还要补充位移条件。12kN7.5kN.m9kN.m2m2mAB如右图示单跨梁，若只满足平衡条件，内力可以由无穷多组解答，例如可以取任意值。7三、实功和虚功：1.实功力在由该力引起的位移上所作的功称为实功。即

右图中，外力是从零开始线性增大至，位移也从零线性增大至。也称为静力实功。

FP1Δ182.虚功力FP在由非该力引起的位移Δ上所作的功叫作虚功。右图简支梁，先加上，则两截面1、2之位移分别为、。然后加，则1、2截面产生新的位移。FP1FP29实功：虚功：虚功强调作功的力与位移无关。FP1FP210§6-2变形体虚功原理及位移计算一般公式一、

变形体虚功原理

定义：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi

，即W=Wi

。11下面讨论W及Wi

的具体表达式。条件：1）存在两种状态：第一状态为作用有平衡力系；第二状态为给定位移及变形。以上两种状态彼此无关。

2）力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。

3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性

结构。12第二状态（给定位移和变形）q(s)q(s)dsds第一状态（给定平衡力系）13外力虚功：微段ds的内虚功dWi：整根杆件的内虚功为：14根据虚功方程W=Wi，所以有：结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：15小结：只要求两个条件：力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非弹性结构。

考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。1)2)3)16

变形体虚功原理有两种应用形式，即虚力原理和虚位移原理。虚力原理：虚设平衡力系求位移;虚位移原理：虚设位移求未知力。用变形体虚力原理求静定结构的位移，是将求位移这一几何问题转化为静力平衡问题。二、位移计算的一般公式所以在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷载，则虚功方程为：17下面以图示刚架为例对位移计算的一般公式加以具体说明。给定位移、变形虚设平衡力系ABC1.

欲求，则在C截面加上竖向单位载荷，则该静定刚架就产生了一组平衡力系。ABC182.位移计算一般公式外力虚功内虚功所求位移——给定的位移和变形。力和位移无关。3.小结1）

——单位载荷在结构中产生的内力和支座反力，、、、19，则与同向；若求得的，3）外力虚功这一项前取正号。若求得的则与反向。2）正负号规则：若及使杆件同侧纤维伸长，则乘积为正，反之为负；乘积及的正负号分别由力与应变的正负号确定。使隔离体产生顺时针转动为正，反之为负，以顺时针方向为正，反之为负；以拉力为正，压力为负，

以拉应变为正，压应变为负；若与同向，则乘积为正，反之为负。204）根据所求位移的性质虚设相应的单位载荷。图示单位荷载分别求位移ABC5）求位移步骤如下：①沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷；②求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力；③利用位移计算一般公式求位移。21例6-2-1

已知杆AB和BC在B处有折角(见图a)，求B点下垂距离。虚设平衡力系1/3c)ABCl/32l/32/312l/9给定位移b)a)1）将制造误差明确为刚体位移，即在B截面加铰，见图b)。解：ABCl/32l/3ABCl/32l/3222）虚设平衡力系如图c)所示。运用虚功方程W=0得：1/3虚设平衡力系c)ABCl/32l/32/312l/9ABCl/32l/3给定位移b)23例6-2-2

已知杆AB在B左、右截面有竖向相对错动见图a)，求。ABCl/32l/3Ba)ABCl/32l/3b)给定位移24解：1）将制造误差明确为刚体位移，将截面B变为滑动联结，见上页图b)。2）虚设平衡力系如图c）所示。运用虚功方程W=0得：1/lc)

虚设平衡力系ABCl/32l/311/l1/l1/l25例6-2-3

已知一直杆弯曲成圆弧状，求杆中挠度。解：虚设平衡力系如图所示，运用变形体虚功方程得：给定位移虚设平衡力系ABCRl/2l/2ΔABCl/2l/2l/41/21/2126三、广义位移的计算求图a）结构A、B截面相对水平位移。+a)

给定位移qABΔAHΔBHκ,γ0,

εAB1c)

虚设单位荷载1AB1b)1AB1d)

虚设单位荷载2=27虚设单位载荷如上图c)，d)所示。由上图b)可得：所以得：28所以，为了求两个截面的相对位移，只需要在该两个截面同时加一对大小相等，方向相反，性质与所求位移相应的单位荷载即可。下面给出几种情况的广义单位荷载：q求Δφ11单位荷载Δφ1)29AB1/l1/l单位荷载ABlΔAVΔBV求+)/l=(ΔAVΔBV2)ABFP1AB求ΔAV-ΔBV1AB11求ΔAV+ΔBVΔAVΔBV(A，B截面竖向位移之和）(A，B截面相对竖向位移）原结构3)30例6-2-4

因温度变化底板AB弯曲成半径R=10m之圆弧状，求截面C、D的相对水平位移。给定位移虚设平衡力系CR=10mD0.7mABCD0.7AB110.72m

在截面C、D上加一对大小相等、方向相反、沿水平方向的单位荷载如图所示。解：31注意，AC、BD杆无弯曲变形。32§6-3支座移动和温度变化时的位移

计算一、支座移动时的位移计算说明：1）等号右边的负号是公式推导而得出，不能去掉。2）若

与方向相同，则乘积为正，反之为负。若静定结构只有支座移动而无其他因素作用，则结构只产生刚体位移而无变形，故对于杆件的任意微段，应变均为零。所以支座移动时的位移计算公式为：33例6-3-1

已知刚架支座B向右移动a,求。解：CABhd/2d/2aCAB1d/4hd/4h0.50.51）求求34CADB10.50.5h/dh/d求ΔDHd/2d/2hCADB1/h1/h00求ΔφCd/2d/2112）求3）求35二、温度变化时的位移计算静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。1.是温度改变值，而非某时刻的温度。某时刻温度另一时刻温度t1,t2是温度改变值36

2.温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。截面上、下边缘温差：对于矩形截面杆件，，。hb杆轴线处温度改变值：h1h2ht1t2dsh1h2ht1t2t2-

t1dt373.微段ds的应变拉应变弯曲应变剪应变4.位移计算公式38小结：1）正负号规则：及温度变化使杆件同一侧纤维伸长（弯曲方向相同），则乘积为正，反之为负。以温度升高为正，降低为负，以拉力为正，压力为负。2）39例6-3-2

求图示刚架C截面水平位移。已知杆件线膨胀系数为，矩形截面高为h。解：CABdd1CABddCAB图图4041§6-4静定结构在荷载作用下的位移

计算一、基本公式CABD虚设平衡力系FP=1给定位移、变形FPCABqDκ,γ0,

εΔDH,ΔDV,θD(MP,FQP,FNP

)D求下图示结构在荷载作用下的位移。42若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定律，即体系是线性弹性体。在荷载作用下，应变与内力的关系式如下：43正负号规则：1）不规定和的正负号，只规定乘积的正负号。若和使杆件同一侧纤维受拉伸长，则乘积为正，反之为负；正MP正MP负MP44若结构除荷载外，还有支座移动和温度变化，则位移计算公式为：2）和以拉力为正，压力为负；3）和的正负号见下图。45二、各类结构的位移计算公式1.梁和刚架在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故位移计算公式为：在高层建筑中，柱的轴力很大，故轴向变形对位移的影响不容忽略。对于深梁，即h/l

较大的梁，剪切变形的影响不容忽略。462.桁架桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：4.拱拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：3.组合结构用于弯曲杆用于二力杆47例6-4-1

求简支梁中点竖向位移，并讨论剪切变形对位移的影响。qxAMPFQPql/2xA0.5ABCl/2l/2FP=1ABqCl/2l/248解：49若杆截面为矩形，则k=1.2；又μ=1/3，则E/G=2(1+μ)=8/3，I/A=h2/12。若h/l=1/10，则

h/l=1/2，则可见，剪切变形的影响不能忽略。50§6-5图乘法

图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把求积分的运算转化为求几何图形的面积与竖标的乘积的运算。一、图乘法基本公式为方便讨论起见，把积分改写成。51Mi图yxMk图dω=MkdxMk(x)xx0dxAByxMi(x)=xtgαxx0ABy052说明：1）条件：AB杆为棱柱形直杆，即EI等于常数；Mi与Mk图形中有一个是直线图形。2）y0与ω的取值：y0一定取自直线图形，ω则取自另一个图形，且取ω的图形的形心位置是已知的，不必另行求解。3）若y0与ω在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0ω取正号；若y0与ω不在杆轴或基线的同一侧，则乘积y0ω取负号。53二、常见图形的几何性质l/2l/2二次抛物线hωl二次抛物线hω二次抛物线3l/4l/4hω5l/83l/8二次抛物线hω54三、

图乘法举例运用图乘法进行计算时,关键是对弯矩图进行分段和分块,尤其是正确的进行分块。M1M2y02l/3l/3M1M2y02l/3l/355分段——图均应分为对应的若干段，然后进行计算。ABCDABCDMP56分块——只对或中的一个图形进行分块，另一个图形不分块。ABABMP1MP257例6-5-1

求。解：作图图，如上图所示。分段：，分为AC、CB两段，分块：图的CB段分为两块。MPACBEI1EI2ω1ω2ω31FPCBy1y2y3EI1EI2A58此题还可以这样处理：先认为整个AB杆的刚度是，再加上刚度为的AC段，再减去刚度为的AC段即可。CBACACAω1ω2ω2MPEI2EI2EI1EI2+-FPACBACACEI2EI2EI1EI2y2y2+-y1159例6-5-2

求,EI等于常数。解：作图图，如右图所示。分段：，分为AC、CB两段。分块：图的AC段分为两块。ACB2m2m2kN/m16A4CBA1CB2ω1MPω2y2y160如果将AC段的图如下图那样分块，就比较麻烦。16A4C84图例6-5-3

求,EI等于常数。作图图，如下页图所示。4kN5kN2kN/m12kN.m4kN.m7kN4m4mACB解：4kN.m4kN2kN/m2mAC611/21y1ω2y381244MP图ω1ω3y2图1ACBBAC（kN.m)62例6-5-4

求,EI等于常数。解：作图及图，如右所示。分段：，分为AB、BC两段。分块：图的BC段分为两块。6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/31ω2y3y2图图14126ω1ω3（kN.m)631/61/62/31/31ω2y3y2图图14126ω1ω3（kN.m)64例6-5-5

求ΔCH，EI等于常数。解：ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m作MP图和图见下页图。分块：MP图的AB段分为两块。654ω2y3=412ω1MP图(kN.m)2m2y22y1图1ω3ABC466§6-6互等定理互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。一、

功的互等定理功的互等本质上是虚功互等。下图给出状态I和状态II。状态IIAB12abAB12ab状态I67令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：状态IIAB12abAB12ab状态I68同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：所以即69定理在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。二、位移互等定理定理在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的与荷载FP2相应的位移影响系数δ21等于由荷载FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数δ12。即δ12=δ21即70由功的互等定理可得：在线性变形体系中，位移Δij与力FPj的比值是一个常数，记作δij，即：或于是所以状态II12状态I12711212说明：1）

δij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。

i产生位移的方位；j

产生位移的原因。2）

FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的δ12和δ21就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是广义荷载，而位移则是广义位移。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲上仍然保持相等。72例6-6-1

验证位移互等定理。a/2a/21EIFP1=FΔ212a/2a/21EIFP2=MΔ122FFa/4M11a/4解：73所以例6-6-2

验证位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kN.mΔ2124m1m1EIFP2=3kN2Δ1274解：所以15311175三、反力互等定理

反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。12C1FR21FR11状态I12C2FR22FR12状态II根据功的互等定理有：76在线性变形体系中，反力FRij与Cj的比值为一常数，记作rij，即或所以得说明：

rij

也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的力。其量纲为。

i

产生支座反力的方位；

j

产生支座移动的支座。77例6-6-3

验证反力互等定理。可见：r12=r2112EI

lC2=112EI

lC1=1r21r12r21=3EI/l23EI/l3EI/l3r12=3EI/l2定理在任一线性变形体系中，由位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r12。78四、位移反力互等定理根据功的互等定理有：令状态I1FP12FR21状态II1Δ122C2上述支座可以是其它种类的支座，则支座位移、支座反力应与支座种类相应。79位移反力互等定理在混合法中得到应用。所以由此得到即上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位移方向相反。系数、的量纲都是。定理在任一线性变形体系中，由位移C2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数在绝对值上等于由荷载FP1引起的与位移C2相应的反力影响系数

，但二者符号相反。80例6-6-4

验