第4讲运动图象追及问题

/jty/main/index.shtm第4讲运动图象追及问题自主·基础构建图象是描述物理过程及规律的重要方法之一．而运动图象是高中物理学中使用率最高的一种“高级语言”，就是内容可以贯穿整个物理学．从近年高考试题看，图象有课本上强调的常规图象，如速度图象等，还出现了较多的非常规图象，如加速度图象等，所以复习时要善于将公式法和图象法结合理解．新高考对追及问题的考查内涵也与时俱增，除了大家熟知的图象解读外，还出现了大分值的计算题形式，内容中出现了多种运动参与的追及问题．不管怎样，一个条件两个关系是破题根本．/jty/main/index.shtm一、运动图象用图象研究物理现象、描述物理规律是物理学的重要方法．运动图象主要有x－t图象、v－t图象．1．x－t图象表示物体的位移随时间的变化规律，从x－t图象能读出x、t、v(斜率表示速度)的信息．名师点拨x－t图象不是物体的运动轨迹．2．v－t图象表示物体的运动速度随时间的变化规律，从v－t图象能读出x、t、v、a(斜率表示加速度，曲线下的面积表示位移)的信息．可见v－t图象提供的信息较多，应用也更广．自主导学二、常见运动的运动图象及物理意义用图象表述物理规律是物理学中常用的一种处理方法，图象具有简明、直观等特点．对于物理图象，需要从图象上的轴、点、线、面、斜率、截距等方面来理解它的物理意义，因为不同的物理函数图象中，这几方面所对应的物理意义不同．下表给出了x－t图象和v－t图象在这几方面的具体物理意义．/jty/main/index.shtm位移图象(x－t)速度图象(v－t)匀速直线运动匀加速直线运动(a>0，x有最小值)匀减速直线运动(a<0，x有最大值)/jty/main/index.shtm坐标轴横轴表示时间横轴表示时间纵轴表示位移纵轴表示速度点表示某时刻质点所处的位置表示某时刻质点的速度线表示一段时间内质点位置的变化情况表示一段时间内质点速度的变化情况面图线与横轴所围的面积表示在一段时间内质点所通过的位移，横轴上方的“面积”为正，下方的为负图线的斜率表示质点运动的速度表示质点运动的加速度两条图线的交点表示两质点相遇的时刻和位置表示两质点在此时刻速度相同名师点拨1．无论是v－t图象还是x－t图象均只能用来描述直线运动．2．v－t图象斜率为正(即向上倾斜)，不一定是做加速运动；斜率为负(即向下倾斜)，也不一定是做减速运动．物体做加速还是减速，取决于v和a的符号，v、a同正或同负加速，v、a反向或一正一负减速．

在图给出的四组图象中，能够反映同一直线运动的是(

)【答案】BC/jty/main/index.shtm达标自测1三、追及和相遇问题1．列方程法：取同一位置为位移参考点，列出两物体的位移随时间变化的方程，当位移相等时表示两物体相遇．2．相对运动法：取相对运动的两物体中的一物体为参考系和位移参考点，建立另一物体的位移随时间变化的方程，当位移为零时两物体相遇．3．图象法：在x－t图象中两图线的交点表示两物体相遇．在v－t图象中可根据两图线分别与t轴围成的面积的关系来判定两物体之间的相对位置和相遇条件．/jty/main/index.shtm名师点拨解析追及和相遇问题一般要注意以下两点：(1)若用相对运动求解，必须把v、x、a都转化成同一参考系；(2)利用二次函数求解时要明确抛物线的极值求法，有时建立的位移关系是关于时间t的一元二次方程，要明确判别式“Δ”大于零、等于零、小于零分别所对应的物理意义．(3)有匀减速直线运动参与的追及问题，要注意物体是否在停止运动前追上还是在停止运动以后追上．

甲、乙两质点在一直线上做匀加速直线运动的v－t图象如图所示．若在3s末两质点在途中相遇，则两质点出发点间的距离是(

)/jty/main/index.shtm达标自测2【解析】甲、乙两质点在3s末在途中相遇时，各自的位移为2m和6m，因此两质点出发点间的距离是甲在乙之前4m.【答案】D/jty/main/index.shtm/jty/main/index.shtm题型方法互动·方法探究题型一：读懂“运动”图象

在如图所示的x－t图象和v－t图象中，给出四条曲线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况．关于它们的物理意义，下列描述正确的是(

)例题1A．图线1表示物体做曲线运动B．x－t图象中t1时刻v1＞v2C．v－t图象中0至t3时间内4的平均速度大于3的平均速度D．两图象中，t2、t4时刻分别表示2、4开始反向运动【思维点拨】解决本题首先要理解位移图象和速度图象中的图线的点、斜率、对应面积的含义．【规范解析】图线1表示物体做匀加速运动，2表示物体做匀速(先正向后反向)，3表示物体做加速度变大的加速运动，4表示先做匀加速运动后做匀减速运动．在位移图象中斜率表示速度的大小，B项正确；从面积角度看0至t3时间内4的平均速度大；两图象中，t2时刻物体反向运动，但是t4时刻物体方向不变做减速运动．【答案】BC/jty/main/index.shtm不论是x－t图象，还是v－t图象，都只能描述直线运动，在平面直角坐标系中，只用一个坐标来表示位移或者速度．图线表示位移(或速度)与时间的函数关系，图线并不是物体运动的轨迹．怎样由图线判断该物体做什么运动呢？(1)首先明确纵轴的意义．(表示位移x，还是速度v)(2)判断物体的运动方向．对于x－t图象来说，通过比较相邻两时刻的位移来确定物体运动的方向．对于v－t图象来说，画在横轴上方的图线表示速度方向与所选正方向相同，画在横轴下方的图线表示速度方向与所选正方向相反．/jty/main/index.shtm(3)判断物体的运动形式．根据直线的位置和方向，把图线还原成函数关系，最后确定物体做什么运动，例如与t轴平行的直线，表示该物理量是恒量，大小不变化，x为常数或v为常数．过原点的直线表示两个坐标的函数关系成正比例，即x＝vt或v＝at.只有确定物体做什么运动，才能正确回答问题．(4)v－t图象与t轴所围成的面积表示该段时间内的位移，面积在下方表示位移为负．/jty/main/index.shtm题型二：能译“运动”图象

一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图甲所示．取物体开始运动的方向为正方向，则图乙中关于物体运动的v－t图象正确的是(

)/jty/main/index.shtm例题2【规范解析】物体在0～1s内做匀加速直线运动，在1～2s内做匀减速直线运动，到2s时速度刚好减为0，一个周期结束，以此循环运动．【答案】Cv－t图象为直线表示物体做匀变速直线运动，图象为曲线表示物体做非匀变速直线运动，如图甲、乙所示．/jty/main/index.shtm题型三：追及和相遇问题

在水平直轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足什么条件？【思维点拨】分析问题时，一定要注意抓住一个条件两个关系，一个条件是两物体速度相等时满足的临界条件，两个关系是时间关系和位移关系，通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯．/jty/main/index.shtm例题3/jty/main/index.shtm/jty/main/index.shtm【答案】v0＜抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，可按如下思路进行分析：(1)追及追和被追的两者的速度相等常是能追上、追不上以及二者距离有极值的临界条件．如匀减速运动的物体追同向的匀速运动的物体时，若二者的速度相等了，追者的位移仍小于被追者的位移，则永远追不上，此时二者间有最小距离；若二者位移相等(追上)了，追者的速度等于被追者的速度，则恰能追上，也是二者避免相撞的临界条件；若二者位移相等时追者的速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时二者的距离有一个较大值．/jty/main/index.shtm(2)相遇同向运动的两物体追及即相遇，分析同上；相向运动的两物体，当各自发生的位移的绝对值之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．

/jty/main/index.shtm高考排雷

汽车以加速度a1＝2m/s2沿平直公路做匀加速直线运动．t＝0时，速度v0＝4m/s，此时，在其后与汽车相距l＝10m的摩托车，正由静止出发匀加速去追赶它．若摩托车的最大行驶速度vm＝20m/s，最大加速度a2＝4m/s2，设摩托车加速度阶段是做匀加速运动，那么摩托车追上汽车的时间为多少？/jty/main/index.shtm例题4/jty/main/index.shtm【答案】6s≤t≤8s/jty/main/index.shtm五年高考1．[2010年高考·全国理综卷Ⅰ]汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60s内汽车的加速度随时间变化的图线如图甲所示．(1)画出汽车在0～60s内的v－t图线．(2)求在这60s内汽车行驶的路程．【命题分析】图中不仅要看出物体先做匀加速直线运动后做匀减速直线运动，还要看出速度的方向保持不变．本题较好地考查了学生对图象语言的理解推理能力．/jty/main/index.shtm【规范全解】(1)由加速度图象可知前10s汽车做匀加速运动，后20s汽车做匀减速运动恰好停止，因为图象的面积表示速度的变化，此两段的面积相等．最大速度为20m/s.所以速度图象如图乙所示．然后利用速度图象的面积求出位移．(2)汽车运动的面积为匀加速、匀速、匀减速三段的位移之和，即s＝s1＋s2＋s3＝10×10m＋30×20m＋10×20m＝900m.【答案】(1)速度图象如图乙所示(2)900m/jty/main/index.shtm2．[2008年高考·海南卷]t＝0时，甲乙两汽车从相距70km的两地开始相向行驶，它们的v－t图象如图所示．忽略汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是(

)A．在第1小时末，乙车改变运动方向B．在第2小时末，甲乙两车相距10kmC．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大D．在第4小时末，甲乙两车相遇/jty/main/index.shtm【命题分析】同向运动的两物体的相遇问题即追及问题．相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇．本题以图象形式告知条件，过程丰富有变化，利于考查学生分析问题的能力．【规范全解】速度图象在t轴下的均为