工程力学及其实验 第十一章 应力状态理论和强度理论

工程力学及其实验

第十一章应力状态理论和强度理论主要内容：

问题的提出

应力状态理论强度理论§11－1问题的提出

一点的应力状态

通过受力构件上一点的所有各个不同截面上应力的集合,称为该点的应力状态。

危险点的应力状态

危险点处于纯剪切应力状态

§11－2应力状态理论平面应力状态的一般分析在图a)所示单元体上取任意斜截面a,其外法线n与x轴正向的夹角为α

。规定：α角自x轴正向逆时针转到n为正。设σx≥σy。截面ef把单元体分成两部分,现研究aef部分的平衡(图b))。斜截面ef上的应力以正应力σα和切应力τα表示。若ef的面积为dA，则af面和ae面的面积分别是dAsinα和dAcosα

。由静力平衡方程

式中τxy=τyx，代入上式，化简后得

平面应力状态任意斜截面上的应力计算公式

将式对α求导数，并令dσ/dα=0，得

极值正应力、主平面和主应力

设该主平面的外法线n与x轴正向的夹角为α0，可得最大正应力

在上面各式中假定了σx≥σy,在此假定下,确定的两个角度α0中,绝对值最小的一个确定σmax所在的平面。

极值切应力

令dτx/dα=0，由式这说明极值切应力所在平面与主平面成45º角。此处所指的极值切应力是指平面应力状态下与零应力面垂直的各斜截面中的切应力的极值,并不是指三向应力状态下单元体的最大切应力。得

主平面和主应力

单元体上切应力为零的平面称为主平面主平面上的正应力称为主应力由主平面组成的单元体称为主应力单元体。一点的应力状态常用主应力单元体表示

单向应力状态二向应力状态三向应力状态单向应力状态和二向应力状态统称为平面应力状态。二向应力状态和三向应力状态统称为复杂应力状态。σ1≥σ2≥σ3

例11-1

已知构件内一点的应力状态如图所示，求：1)主应力及主平面方向；2)最大、最小切应力。解：1）主应力与主方向解得：故两个主平面外法向与x轴的夹角为58.28°和148.28°。在d0=58.28°的主平面上，有：解得：2）最大、最小切应力

广义胡克定律

对应于主应力σ1、σ2、σ3方向的线应变分别为ε1、ε2、ε3，称为主应变。在σ1的单独作用下，沿σ1方向的主应变为在σ2和σ3的单独作用下，在σ1方向引起的主应变分别为根据叠加原理，在σ1、σ2、σ3三个主应力的共同作用下，沿σ1、σ2、σ3方向的主应变为同理，可求出沿σ2和σ3方向的主应变ε2和ε3，结果有广义胡克定律

§10－3

强度理论

强度理论的概念由于材料破坏主要有两种形式,相应地存在两类强度理论。一类是断裂破坏理论,主要有最大拉应力理论和最大拉应变理论等；另一类是屈服破坏理论,主要是最大切应力理论和形状改变比能理论。根据不同的强度理论可以建立相应的强度条件,从而为解决复杂应力状态下构件的强度计算提供了依据。

常用的四种强度理论

最大拉应力理论(第一强度理论)

引起材料断裂破坏的主要因素是最大拉应力。因此，材料发生破坏的条件为相应的强度条件是

σ1—构件危险点处的最大拉应力；[σ]—单向拉伸时材料的许用应力。

试验表明，这个理论对于脆性材料，在单向、二向或三向拉断裂时，最大拉应力理论与试验结果基本一致。在存在有压应力的情况下，则只有当最大压应力值不超过最大拉应力值时，拉应力理论才正确。这个理论没有考虑其他两个主应力对断裂破坏的影响。同时对于压缩应力状态，由于根本不存在拉应力，这个理论无法应用。最大伸长线应变理论(第二强度理论)

不论材料处于何种应力状态，只要最大伸长应变ε1达到材料单向拉伸断裂时的最大伸长应变值ε01，材料即发生断裂破坏。因此，材料发生断裂破坏的条件为对于铸铁等脆性材料，从受力到断裂，其应力、应变关系基本符合胡克定律，强度条件为试验表明，脆性材料在二向拉伸——压缩应力状态下，且压应力绝对值较大时，试验与理论结果比较接近；二向压缩与单向压缩强度有所不同，但混凝土、花岗石和砂岩在两种情况下的强度并无明显差别；铸铁在二向拉伸时应比单向拉伸时更安全，而试验并不能证明这一点。

最大切应力理论(第三强度理论)

不论材料处于何种应力状态，只要最大切应力τmax

达到材料单向拉伸屈服时的最大切应力τ0max

，材料即发生屈服破坏，屈服条件为相应的强度条件为

试验表明,对塑性材料，如常用的Q235A、45钢、铜、铝等，此理论与试验结果比较接近。

形状改变比能理论(第四强度理论)

积蓄在单位体积内的变形能，包括因体积改变和因形状改变而产生的比能两个部分。相应的强度条件为

四种强度理论的适用范围

大量的工程实践和实验结果表明,上述四种强度理论的有效性取决于材料的类别以及应力状态的类型。1)在三向拉伸应力状态下,不论是脆性材料还是塑性材料，都会发生断裂破坏，应采用最大拉应力理论。2)在三向压缩应力状态下,不论是塑性材料还是脆性材料，都会发生屈服破坏，适于采用形状改变比能理论或最大切应力理论。3)一般而言