工程力学及其实验 第八章 梁的平面弯曲

工程力学及其实验第八章梁的平面弯曲主要内容：

弯曲和平面弯曲的概念与实例

梁的计算简图及分类

梁的内力—剪力和弯矩

剪力图和弯矩图

弯曲时的正应力

弯曲时的切应力

梁的强度计算

提高梁承载能力的措施§8－1弯曲和平面弯曲的概念与实例PPPPPPP横向力：作用于杆件上且都垂直于杆的轴线的外力。弯曲：在横向力作用下，杆的轴线将弯曲成一条曲线的变形形式。

梁：凡是以弯曲变形为主的杆件。工程力学中的梁，包括结构物中的各种梁，也包括机械中的转轴和轮齿轴等。基本概念轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁。平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。

非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。§8－2梁的计算简图及分类

静定梁的基本形式

简支梁梁的一端为固定铰支座，另一端为活动铰支座。

外伸梁梁有一个固定铰支座和一个活动铰支座，而梁的一端或两端伸出支座之外。

悬臂梁梁的一端固定，另一端自由。

简支梁或外伸梁的两个铰支座之间的距离称为跨度

悬臂梁的跨度是固定端到自由端的距离§8－3梁的内力—剪力和弯矩截面法过程：切取、替代、平衡剪力弯矩剪力的符号：若被保留的梁段的截面上的剪力对该截面作“顺时针转”的为正，反之为负。弯矩的符号规定：在图示的变形情况下，即在横截面

m-m处弯曲变形凸向下时，这一横截面上的弯矩规定为正，反之为负。剪力符号规定弯矩符号规定例8-1求图示简支梁截面1-1及2-2剪力和弯矩。

解：1）计算梁的支座反力2）求截面1-1的剪力及弯矩，如图3）求截面2-2的剪力及弯矩，如图求解FＱ和M值的一般步骤如下:

(1)用假想截面从被指定的截面处将梁截为两部分；

(2)以其中任意部分为研究对象，在截开的截面上按FＱ和M的正方向画出未知的FＱ和M；

(3)应用平衡方程∑Fy==0和∑mo=0,计算FＱ和M的值，其中O点一般取截面的形心；

(4)根据计算结果，结合题意判断FＱ和M的方向。§8－4剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图绘制的基本方法

梁的剪力和弯矩方程x表示横截面在梁轴线上的位置

剪力和弯矩图：根据剪力方程和弯矩方程用图线把剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况表示出来的图线。作图时，要选择一个适当的比例尺，以横截面位置x为横坐标，剪力和弯矩M值为纵坐标，并将正剪力和正弯矩画在x轴的上边，负的画在下面。例8-3如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的剪力图和弯矩图。解：(1)列剪力方程和弯矩方程，将梁左端A点取作坐标原点。

剪力方程和弯矩方程

(2)画剪力图和弯矩图

剪力图是一倾斜直线弯矩图是一抛物线

例8-4

一简支梁AB,受均布载荷q的作用，试作此梁的剪力、弯矩图。

解：

1、求支反力2、建立剪力方程和弯矩方程3、画剪力图和弯矩图

FAFBFQFQ

例4

简支梁AB,在C点处受集中力P

作用,如图所示。试作此梁的弯矩图。

解

(1)求支座反力

(2)列弯矩方程

距A端为x1和x2两截面处截开

AC

段

CB

段

FAFBx1x2(3)画剪力图及弯矩图

Pab/lFQGb/lGb/lx弯矩图的特点

(1)梁上没有均布载荷作用的部分，剪力图为水平线，弯矩图为倾斜直线。

(2)梁上有均布载荷作用的一段，剪力图为斜直线，均布载荷向下时，直线由左上向右下倾斜(↘)；弯矩图为抛物线，均布载荷向下时抛物线开口向下(⌒)。

(3)在集中力作用处，剪力图上有突变，突变之值即为该处集中力的大小，突变的方向与集中力的方向一致；弯矩图上在此出现折角(即两侧斜率不同)。

(4)梁上集中外力偶作用处剪力图不变，弯矩图有突变，突变的值即为该处集中外力偶的力偶矩。若外力偶为顺时针转向，弯矩图向上突变，反之，若外力偶为逆时针转向，弯矩图向下突变(左至右)。

(5)绝对值最大的弯矩总是出现在下述截面上：FQ=0的截面上；集中力作用处；集中力偶作用处。剪力图和弯矩图的查表法与叠加法

几种受单一载荷作用梁的剪力图和弯矩图

几种受单一载荷作用梁的剪力图和弯矩图

例8-6

试用叠加法作图a)所示悬臂梁的弯矩图．如P=3q/8。解：查表,先分别作出梁只有集中载荷和只有分布载荷作用下的弯矩图(图b)、c)。两图的弯矩具有不同的符号．为了便于叠加．在叠加时可把它们画在x轴的同一侧，(图d))。得通常形式的弯矩图(图e))。最大弯矩值∣MQmax∣=ql2/8

发生在根部截面上。§8－6弯曲时的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力

各横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为剪切弯曲。各横截面只有弯矩M，而无剪力Q，称为纯弯曲。梁在纯弯曲时的实验观察

当梁发生纯弯曲变形时,可观察到下列一些现象：

(1)两条纵线都弯成曲线a’a’

和b’b’

,且靠近底面的纵线bb伸长了,而靠近顶面的纵线aa

缩短了。(2)两条横线仍保持为直线,只是相互倾斜了一个角度,但仍垂直于弯成曲线的纵线。(3)在纵线伸长区,梁的宽度减小;在纵线缩短区,梁的宽度增大。情况与轴向拉伸、压缩时的变形相似。推断和假设

假设：(1)梁在纯弯曲时，各横截面始终保持为平面，并垂直于梁轴。此即弯曲变形的平面假设。

(2)纵向纤维之间没有相互挤压,每根纵向纤维只受到简单拉伸或压缩。中性层：从伸长到缩短区，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短。这一长度不变的过渡层称为中性层。中性轴：中性层与横截面的交线在纯弯曲的条件下，所有横截面仍保持平面，只是绕中性轴作相对转动，横截面之间并无互相错动的变形，而每根纵向纤维则处于简单的拉伸或压缩的受力状态。

纯弯曲时梁的正应力

进一步分析得到：(1)由于直梁弯曲时,横截面上只有正应力σ，而无剪应力。

(2)正应力的分布规律

(3)弯曲时截面上的弯矩可以看成是整个截面上各点的内力对中性轴的力矩所组成。

正应力计算公式

σ——横截面上任一点处的正应力

M——

横截面上的弯矩

y——

横截面上任一点到中性轴的距离

Iz——横截面对中性轴z的惯性矩

曲梁也适用梁弯曲时任一截面上弯曲正应力的最大值。

横截面对称于中性轴的梁，当y=ymax时弯曲正应力最大。

横截面不对称于中性轴的梁:

抗弯截面系数单位：长度的三次方y1和y2分别代表中性轴到最大拉应力点和最大压应力点的距离。

T形截面梁

截面的轴惯性矩和抗弯截面横量

截面的轴惯性矩和抗弯模量是衡量截面抗弯能力的几何参数,可以用积分法和有关定理推导出公式计算。

直径为d的实心圆截面,其对中性轴z的惯性矩：

抗弯模量：

常见简单几何形状截面的惯性矩和抗弯截面模量等，几何参数可查阅资料。例8-8一矩形截面梁，如图所示。计算1-1截面上A、B、C、D各点处的正应力，并指明是拉应力还是压应力。

解

(1)计算1-1截面上弯矩

(2)计算1-1截面惯性矩

(3)计算1-1截面上各指定点的正应力

拉应力

压应力

压应力

例8-9

一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。解：首先计算横截面C处的弯矩，有

梁在竖放时，其弯曲截面系数为

故横截面C处的最大正应力为

梁在平放时，其弯曲截面系数为

故横截面C处的最大正应力为

在建筑结构中，梁一般采用竖放形式§8－7弯曲时的切应力

梁弯曲横截面上的切应力

矩形截面梁

假设如下：(1)横截面上各点处的切应力均平行于侧边；

(2)距中性轴z轴等距离的各点处的切应力大小相等。

切应力

最大切应力

工字形截面梁

翼缘上的切应力主要是水平方向的切应力分量,平行于y轴方向的切应力分量则是次要的。研究表明,翼缘上的最大切应力比腹板上的最大切应力要小得多，如图b)所示。因此在强度计算时一般不予考虑,最大切应力

A1为腹板的面积

圆形截面梁和薄壁环形截面梁

圆形截面切应力分布规律如图所示,截面上的最大切应力为截面上平均切应力的4/3倍。即

τmax=4τ均/3≈1.33FQ/A

薄壁环形截面环形截面上的切应力分布规律如图所示。截面上的最大切应力为截面上平均切应力的2倍,即τmax=2τ均

=2FQ/A

以上各式中上A为截面的面积,τ均为截面上平均切应力。

例8-10

图示简支梁由56a号工字钢制成，在中点处承受集中力F的作用,己知F=150kN。试比较该梁中最大正应力和最大切应力的大小。解：简支梁的弯矩图和剪力图可由查表法查得，从图上可以看出，该梁所承受的最大弯矩和最大剪力分别为

查工字型钢规格表，得56a号工字钢的WZ=342.3lcm3。则梁内的最大正应力为σmax=Mmax/WZ=375X102/342.3l=160.1MPa

最大切应力

τmax≈

FQmax/dh1=12.6MPa

比较，可得

校核梁的强度时,一般只考虑正应力强度条件。§8－8梁的强度计算

梁弯曲正应力强度条件

弯曲正应力强度条件梁正应力强度条件,可用来解决强度校核，设计截面尺寸和确定许可载荷这三类问题。

或等截面直梁的最大正应力

梁的切应力强度条件

等直梁的最大切应力，发生在最大剪力所在横截面的中性轴上各点处,梁梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力,即切应力强度条件是

τmax≤[τ]

根据强度条件可以解决下述三类问题：

(1)强度校核验算梁的强度是否满足强度条件，判断梁的工作是否安全。

(2)设计截面尺寸根据粱的最大载荷和材料的许用应力；确定梁截面的尺寸和形状,或选用合适的标准型钢。

(3)确定许用载荷根据粱截面的形状和尺寸及许用应力，确定梁可承受的最大弯矩，再由弯矩和载荷的关系确定梁的许用载荷。

例8-9

一吊车(图a))用32c工字钢制成，将其简化为一简支梁(图b))，梁长l=l0m，自重力不计。若最大起重载荷为F=35kN(包括葫芦和钢丝绳),许用应力为[σ]=130MPa，试校核梁的强度。解1)求最大弯矩。当载荷在梁中点时，该处产生最大弯矩，从图c)中可得

2）校核梁的强度。查型钢表得32c工字钢的抗弯截面系数Wz=760cm3，则说明梁的工作是安全的

例8-10某设备中要一根支承物料重量的梁，可简化为受均布载荷的简支梁(如图)。已知梁的跨长l=2.83m，所受均布载荷的集度q=23KN/m，材料为45号钢，许用弯曲正应力［σ］=140MN/m2，问该梁应该选用几号工字钢?解：这是一个设计梁的截面问题。在梁跨中点横截面上的最大弯矩为所需的抗弯截面模量为

查型钢规格表,选用18号工字钢，Wz=185cm3。

例8-11

一螺旋压板夹紧装置(如图)，已知压紧力P

=3kN，a=50mm，材料的许用弯曲应力[σ］=150MN/m2。试校核压板AC的强度。

解：压板可简化为一