余弦定理正弦定理的综合应用【新教材】人教A版高中数学必修同步练习（word含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册余弦定理、正弦定理的综合应用同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________一．选择题在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC，a=23A.2 B.23 C.4 D.有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是(    )A.5 B.10 C.102 D.某人在C点测得某塔在南偏西80°方向上，塔顶A的仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为(    )A.15 m B.5 m C.10 m D.12 m如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4 km的C，D两点，测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°(A,B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为(    )A.853 km B.4153已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos 2A=0，a=7，c=6，则b等于A.10 B.9 C.8 D.5如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20000m，速度为900km/ℎ，飞行员先看到山顶的俯角为30∘，经过80s后又看到山顶的俯角为75∘，则山顶的海拔高度为(    )A.5000(3+1)m B.5000(3−1)m C.5000(3−如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60m，则河流的宽度BC是(    )A.2403−1m B.1802−1m 如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°方向，距离202海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)方向的C处，且cosθ=45.已知A，C之间的距离为10海里，则该货船的速度大小为

(A.485海里/小时 B.385海里/小时

C.27海里/小时 D.4在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，B=45°，S△ABC=2，则∆ABC外接圆的直径为

A.5 B.43 C.52 如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(    )A.北偏东10°B.北偏西10°

C.南偏东80°D.南偏西80°如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平线，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的视角∠CAD的大小是(

)A.30∘B.45∘

C.60∘如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得∠ACB=45∘，再沿AC方向前行20(3−1)米到达D点，测得∠ADB=30403米 B.203米 C.40米 D.二．填空题在∆ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=4如图，为测量塔的高度，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到达点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进103米后到达点E，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为_________米．在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2=ac(1)则1tanA+(2)设BA⋅BC=32台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东方向40千米处，则B城市处于危险区内的时间为_______小时．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°，∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m，则MN=_______m．在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∆ABC的面积为315，b−c=2，cosA=−14，则三．解答题在∆ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，角C是钝角，且sinB=b2c．

(Ⅰ)求角C的值；

(Ⅱ)若b=2，∆ABC的面积为3，求c的值．

某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为15°的观礼台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一水平面上，若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？

如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N

(异于村庄A)，要求PM=PN=MN=2(单位：千米).如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．

答案和解析一．选择题1.【答案】B【解析】解：∵(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC，

∴sin2B+sin2C−2sinBsinC=sin2A−sinBsinC，

∴由正弦定理可得b2+c2−2bc=a2−bc，可得b2+c2−a2=bc，

∴由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，由A∈(0,π)，可得A=π3，

∵sinA=32，

∵a=2【解析】【分析】本题的考点是解三角形的实际应用，主要考查正弦定理的应用，考查三角形模型的构建，属于中档题．由题意画出图形，利用正弦定理求出坡底要延长的距离AB即可．【解答】解：由题意可知PA=10，∠PAO=75°，

∠B=30°，∠BPA=45°，

如图：∠PAB=180°−75°=105°，由正弦定理ABsin45°=PAsin30°故选C．

3.【答案】C【解析】【分析】本题考查解三角形的实际应用以及余弦定理的应用，属于中档题．

作出图形，设塔高为ℎ m.在Rt△AOC中，∠ACO=45°，则OC=OA=ℎ．

在Rt∆AOD中，∠ADO=30°，则OD=3ℎ.在△OCD中，运用余弦定理，建立h的方程，解得h的值，即可得到答案．解：如图所示，设塔高为ℎ m．在Rt∆AOC中，∠ACO=45°，则OC=OA=ℎ．

在Rt∆AOD中，∠ADO=30°，则OD=3在∆OCD中，∠OCD=120°，CD=10由余弦定理，得OD2=OC2+CD2−2OC·CDcos∠OCD，即，

所以h2−5ℎ−50=0，解得ℎ=10或ℎ=−5(舍)．

故选C．

4.【答案】B【解析】【分析】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了计算求解能力和转化思想，是中档题．

在∆ACD中由正弦定理可求AD的值，在∆BCD中由正弦定理可求BD的值，再在∆ABD中由余弦定理可求AB的值．

【解答】

解：由已知，∆ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=120°，可得∠CAD=30°，

由正弦定理，得，

所以；

∆BCD中，∠CDB=75°，∠BCD=45°，可得∠CBD=60°，

由正弦定理，得，

所以；

∆ABD中，由余弦定理，得

AB2=AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cos∠ADB=48+323−2×43×【解析】【分析】

本题考查余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cosA的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．

【解答】

解：∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A−1=0，

∴cos2A=125，A为锐角，

∴cosA=15，

又∵a=7，c=6，

根据余弦定理得：a2=b2+c2−2bc【解析】【分析】本题考查了正弦定理与直角三角形的边角关系应用问题，属于中档题．

根据题意画出图形，结合图形利用正弦定理和直角三角形的边角关系，即可求出山顶的海拔高度．

【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．

由题意知∠A=30∘，∠CBD=75∘，

则∠ACB=∴在∆ABC中，由正弦定理，得BC=10∵CD⊥AD，

∴CD=BCsin山顶的海拔高度为[20−(5+53)]km=5000(3−3)m．

故选C．【解析】【分析】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．【解答】解：如图，∠DAB=15°，

∵tan15°=tan(45°−30°)=2−3．

在Rt∆ADB中，又AD=60，∴DB=AD⋅tan15°=120−603．

在Rt∆ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴河流的宽度BC等于120(3−1)m．

故选C．

8.【解析】【分析】

本题主要考查解三角形的应用，余弦定理的应用，属于中档题．

根据条件求出cos∠BAC，以及利用余弦定理求出BC的长度是解决本题的关键．

【解答】

解：∵cosθ=45，

∴sinθ=35，由题意得∠BAC=45°−θ，

即cos∠BAC=cos(45°−θ)=22×(45+35)=7210，

∵AB=202，AC=10，

∴由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcos∠BAC【解析】【分析】本题考查正余弦定理的应用，三角形面积公式，考查运算化简的能力，属于基础题，先由三角形面积公式求得c=42，由余弦定理求得b=5，利用正弦定理可得．

解：∵S△ABC=2，

．

∴12∴c=42∴b2=1设△ABC的外接圆半径为R．

，．

故选C．

10.【答案】D【解析】【分析】本题考查解三角形的实际应用，解答此类题需要正确画出方位角．

根据图正确表示出方位角，即可求解．

【解答】解：由条件及题图可知，∠A=∠B=40°，

又∠BCD=60°，所以∠CBD=30°，所以∠DBA=10°，

因此灯塔A在灯塔B南偏西80°．

11.【答案】B【解析】【分析】本题为解三角形的题目，考查利用余弦定理解三角形，题目基础．首先分别求得AD2=4000，AC2解：ADAC在△CAD中，由余弦定理，得cos∠CAD=故∠CAD=45∘．

故选B．

12.【解析】【分析】本题为解三角形实际应用问题，题目基础．

首先设出关键量AB=x，在直角三角形中利用30°角的正切值求解即可．

【解答】解：Rt∆ABC中，设AB=x，

则由∠ACB=45∘可知在Rt∆ABD中，AD=x+20(3−1)，∴xx+20(3−1)=tan30则塔高为20米．

故选D．

13.【答案】2【解析】【分析】

此题考查了三角形面积公式，以及同角三角函数的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．

由cosC的值，利用同角三角函数的基本关系求出sinC的值，利用三角形面积公式列出关系式，把a，sinC以及已知面积代入求出b的值即可．

【解答】

解：∵∆ABC中，cosC=13，

∴sinC=1−cos2C=223，

∵a=32，S△ABC=43，

∴12absinC=4【解析】【分析】

本题考查余弦定理、解三角形的实际应用，属于中档题．

根据题意求出PE=DE=103，在三角形PDE中，由余弦定理得cos2θ=PD2+DE2−PE22PD·DE，求出，利用sin4θ=PAPE，即可求出结果．

【解答】

解：∵∠CPD=∠EDP−∠DCP=2θ−θ=θ，

∴PD=CD=30，∠DPE=∠AEP−∠EDP=4θ−2θ=2θ，

∴PE=DE=103，

在三角形PDE中，由余弦定理得

cos2θ=PD2+DE2−PE22PD·DE=302+10【解析】【分析】

本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于基础题．

先求sinB=1−342=74，再有正弦定理得sin2B=sin

Asin

C，切化弦得1tan A+1tan C=cos Asin A+cos Csin C=1sinB，；

由BAsin(A+C)由BA⋅BC=32，有accosB=32，

∴ac=2，

又由b2=ac及余弦定理，得a2+c2−b2=2accos

【解析】【分析】

本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．

设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，设AP=x千米，根据余弦定理得出PB2=AP2+AB2−2AP·AB·cos

A，即x2−402x+700=0，结合根与系数的关系求出|x1−x2|，即可求出结果．

【解答】

解：设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，设AP=x千米，

在∆ABP中，PB2=AP2+AB2−2AP·AB·cos

A，

即302=x2+402−2x·40cos 45°【解析】【分析】

本题考查了解三角形的实际应用，考查了正弦定理，属于中档题．

在三角形ABC中，由正弦定理得MAsin60°=ACsin45°，解得MA=1003

m，在三角形MNA中，MN1003=sin60°=32，可得山高MN的值．

【解答】

解：在三角形ABC中，AC=1002

m，

在三角形MAC中，MAsin60°=ACsin45°，解得MA=1003

【解析】【分析】

本题主要考查利用余弦定理解三角形，首先通过sin2A+cos2A=1，以及sinA为正数求出sinA，再结合S△ABC=315，和b−c=2，求出b、c的值，从而解得答案，难度较易，属于基础题．

【解答】

解：因为∆ABC的面积为315，即，

由题意知b−c=2，

又sin2A+cos2A=1．

故，

联立解得b=6，c=4(负数舍去)，

由余弦定理，得，

解得a=8(负数舍去)．

故答案为8．

19.【答案】解：(Ⅰ)由sinB=b2c得2csinB=b，由正弦定理得：2sinCsinB=sinB，

所以sinB(2sinC−1)=0，…(3分)

因为sinB≠0，

所以sinC=12，

因为C是钝角，

所以C=5π6.

…(6分)

(Ⅱ)因为S=12【解析】(Ⅰ)由正弦定理化简已知可得sinB(2sinC−1)=0