两角和与差的正切课时作业

8.2.2两角和与差的正弦、正切课时作业第2课时两角和与差的正切(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1.已知tan(α＋β)＝eq\f(3,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，那么taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A．eq\f(13,18)B．eq\f(13,23)C．eq\f(7,23)D．eq\f(1,6)2.设向量a＝(cosα，－1)，b＝(2，sinα)，若a⊥b，则tanα－eq\f(π,4)等于()A．－eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)C．－3 D．33.若tan28°tan32°＝m，则tan28°＋tan32°等于()A．eq\r(3)m B．eq\r(3)(1－m)C．eq\r(3)(m－1) D．eq\r(3)(m＋1)4．已知tanα＝lg10a，tanβ＝lgeq\f(1,a)，且α＋β＝eq\f(π,4)，则实数a的值为()A．1 B．eq\f(1,10)C．1或eq\f(1,10) D．1或105．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是()A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．无法确定6．下列式子或叙述不正确的为()A．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝eq\f(1,tanθ)B．存在α、β，满足tan(α－β)＝tanα－tanβC．存在α、β，满足tan(α＋β)＝tanα＋tanβD．对任意α、β，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ二、填空题\f(tan75°－tan15°,1＋tan75°tan15°)＝________.8．若eq\f(sin2α,1－cos2α)＝eq\f(1,3)，tan(β－2α)＝1，则tan(α－β)＝________.9．已知α，β均为锐角，且tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)，则tan(α＋β)＝________.三、解答题10．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，tanβ＝eq\f(1,2)，(1)求tanα的值；(2)求eq\f(sinα＋β－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cosα＋β)的值．[等级过关练]1.已知tanα和taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则a，b，c的关系是()A．b＝a＋c B．2b＝a＋cC．c＝a＋b D．c＝ab2.在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝3eq\r(3)，tan2B＝tanA·tanC，则B等于()A．30° B．45°C．120° D．60°3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.4．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，则eq\f(1,2sinαcosα＋cos2α)的值为________．5．如图，在单位圆上，∠AOB＝αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＜α＜\f(π,2)))，∠BOC＝eq\f(π,3)，且△AOC的面积等于eq\f(2\r(,3),7).(1)求sinα的值；(2)求2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－\f(π,3)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,6))).【答案与解析】[合格基础练]一、选择题1.已知tan(α＋β)＝eq\f(3,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，那么taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A．eq\f(13,18)B．eq\f(13,23)C．eq\f(7,23)D．eq\f(1,6)C[taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝eq\f(\f(3,5)－\f(1,4),1＋\f(3,5)×\f(1,4))＝eq\f(7,23).]2.设向量a＝(cosα，－1)，b＝(2，sinα)，若a⊥b，则tanα－eq\f(π,4)等于()A．－eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)C．－3 D．3B[a·b＝2cosα－sinα＝0，得tanα＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(tanα－tan\f(π,4),1＋tanαtan\f(π,4))＝eq\f(2－1,1＋2)＝eq\f(1,3).]3.若tan28°tan32°＝m，则tan28°＋tan32°等于()A．eq\r(3)m B．eq\r(3)(1－m)C．eq\r(3)(m－1) D．eq\r(3)(m＋1)B[由公式变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)可得，tan28°＋tan32°＝tan60°(1－tan28°tan32°)＝eq\r(3)(1－m)．]4．已知tanα＝lg10a，tanβ＝lgeq\f(1,a)，且α＋β＝eq\f(π,4)，则实数a的值为()A．1 B．eq\f(1,10)C．1或eq\f(1,10) D．1或10C[∵α＋β＝eq\f(π,4)，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝1，tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，即lg10a＋lgeq\f(1,a)＝1－lg10algeq\f(1,a)，1＝1－lg10algeq\f(1,a)，∴lg10algeq\f(1,a)＝0.lg10a＝0或lgeq\f(1,a)＝0.得a＝eq\f(1,10)或a＝1.]5．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是()A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．无法确定A[因为tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则tanA＋tanB＝eq\f(5,3)，tanAtanB＝eq\f(1,3)，所以tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝eq\f(5,2)，所以0<A＋B<eq\f(π,2)，得eq\f(π,2)<C<π，所以△ABC是钝角三角形．]6．下列式子或叙述不正确的为()A．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝eq\f(1,tanθ)B．存在α、β，满足tan(α－β)＝tanα－tanβC．存在α、β，满足tan(α＋β)＝tanα＋tanβD．对任意α、β，tan(α＋β)＝tanα＋tanβD[taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝eq\f(1,tanθ)，A正确．存在α＝β＝eq\f(π,4)，满足tan(α－β)＝tanα－tanβ，B正确．存在α＝0，β＝eq\f(π,4)，满足tan(α＋β)＝tanα＋tanβ，C正确．对任意α、β，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，D不正确．]二、填空题\f(tan75°－tan15°,1＋tan75°tan15°)＝________.eq\r(3)[原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝eq\r(3).]8．若eq\f(sin2α,1－cos2α)＝eq\f(1,3)，tan(β－2α)＝1，则tan(α－β)＝________.2[由eq\f(sin2α,1－cos2α)＝eq\f(1,3)，得eq\f(2sinαcosα,2sin2α)＝eq\f(1,3)，即tanα＝3.又tan(β－2α)＝1，∴tan(α－β)＝tan[－α－(β－2α)]＝－tan[α＋(β－2α)]＝－eq\f(tanα＋tanβ－2α,1－tanαtanβ－2α)＝－eq\f(3＋1,1－3×1)＝2.]9．已知α，β均为锐角，且tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)，则tan(α＋β)＝________.1[∵tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα).∴tanβ＋tanαtanβ＝1－tanα.∴tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1.∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.∴eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝1，∴tan(α＋β)＝1.]三、解答题10．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，tanβ＝eq\f(1,2)，(1)求tanα的值；(2)求eq\f(sinα＋β－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cosα＋β)的值．[解](1)∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，∴eq\f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝2，∴eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2，解得tanα＝eq\f(1,3).(2)原式＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ)＝eq\f(cosαsinβ－sinαcosβ,cosαcosβ＋sinαsinβ)＝eq\f(sinβ－α,cosβ－α)＝tan(β－α)＝eq\f(tanβ－tanα,1＋tanβtanα)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq\f(1,7).[等级过关练]1.已知tanα和taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则a，b，c的关系是()A．b＝a＋c B．2b＝a＋cC．c＝a＋b D．c＝abC[由根与系数的关系得：tanα＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝－eq\f(b,a)，tanαtaneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(c,a).taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝eq\f(tanα＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)),1－tanα·tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))＝eq\f(－\f(b,a),1－\f(c,a))＝1，得c＝a＋b.]2.在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝3eq\r(3)，tan2B＝tanA·tanC，则B等于()A．30° B．45°C．120° D．60°D[由公式变形得：tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＝tan(180°－C)(1－tanAtanB)＝－tanC(1－tanAtanB)＝－tanC＋tanAtanBtanC．∴tanA＋tanB＋tanC＝－tanC＋tanAtanBtanC＋tanC＝tanAtanBtanC＝3eq\r(3).∵tan2B＝tanAtanC，∴tan3B＝3eq\r(3).∴tanB＝eq\r(3)，B＝60°.]3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.eq\f(1,7)[∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6.∴tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(1,3)，tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝eq\f(tan∠CAD－tan∠BAD,1＋tan∠CADtan∠BAD)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq\f(1,7).]4．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，则eq\f(1,2sinαcosα＋cos2α)的值为________．eq\f(2,3)[因为taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，所以eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝2，解得tanα＝eq\f(1,3).所以eq\f(1,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(tan2α＋1,2tanα＋1)＝eq\f(\f(1,9)＋1,\f(2,3)＋1)＝eq\f(2,3).]5．如图，在单位圆上，∠AOB＝αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＜α＜\f(π,2)))，∠BOC＝eq\f(π,3)，且△AOC的面积等于eq\f(2\r(,3),7).(1)求sinα的值；(2)求2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－\f(π,3)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,6))).[解](1)由题意可知，∠AOC＝eq\f(π,3)＋α，∴S△AOC＝eq