第一章无穷小与极限-第一节

北京工业大学高等数学教程第一章无穷小与极限1.1无穷小

1.1.1数列无穷小1.数列的定义数列是指定义在正整数集上的函数依按自变量增大的次序,数列的对应值可以排成称为数列的通项(或一般项),数列简记为例如,数列简记为简记为简记为简记为数列中的每个数称为数列的一项,2.数列的几何表示法数列中的每一个数都可用数轴上的一个点来表示,这些点的全体就是数列.变化过程称为n趋于无穷大,3.数列的变化过程包含两个相关的无限过程:自变量n的主动变化过程和因变量的被动变化过程.n的主动变化过程是不断增大(每次加1).即n从1开始,遵循这样的变化规则,一定可以大于每个固定的正数.我们将n的这种记为表示n无限增大的过程,即n要多大就有多大,或者说,n可以大于任意给定的正数.即与0的距离可以如果n可以大于任意给定的正数,那么就可以小于任意给定的正数.我们称无限接近于0.

任意小,数列的变化趋势可以概述为:

无论给定一个多么小的正数

都可以有

只要即可.数列是无穷小.

此时我们称当n无限增大时,定义1.1(数列无穷小)

如果对于任意给定的正数都存在正整数N,使得当时,不等式成立，记为或则称数列是无穷小.

设为数列,几何解释:只有有限个

(至多有N个)落在其外.定义:定理1.1(无穷小比较定理1)

证设为无穷小,则也是无穷小.使得对于所有正整数

n,

由定义,故也是无穷小.如果存在正数

C,例1证明:如果则为无穷小.证数列从第N+1项起，

则.因是无穷小,

有注意到当时,幂函数在单调增加,

所以

即是无穷小.例2证明下列数列都是无穷小：

证因(4)是(1)的推广.因为是无穷小,注意到

根据定理1.1及例1,可知上述四个数列都是无穷小.解因且因此,不是无穷小.例3设则数列不是无穷小.注:1.1.2时函数无穷小表示点x沿x轴正方向无限远离坐标在这个过程中,x可以大于任意给定在数轴上,常量对应于定点,变量对应于动点.原点的过程,的正数.表示点x沿x轴负方向无限远离坐标原点的过程,在这个过程中,可以大于任意给定的正数.表示点x无限远离坐标原点的过程,在这个过程中,

可以大于任意给定的正数.此时,我们称是无穷小.大于任意给定的正数,当时,总可以给定的正数.

所以总可以小于任意如果对于任意给定的正数总存在正数X,当时,有记为或定义1.2(时函数无穷小)

则称当时，为无穷小.

如果则称当时,

为无穷小,

记为记为如果当都是无穷小,则称当时,

是无穷小,

的几何意义:完全落在带形区域内.函数的图形有例4用定义证明:当时,

为无穷小.证取所以,当时,

为无穷小.同理,当或时,

也是无穷小.定理1.2(无穷小比较定理2)

如果存在常数类似于定理1.1,有是无穷小.设当(或)时,

也是无穷小.则当(或)时,

证我们只讨论的情况.设当时,

是无穷小.由定义,故当时,

也是无穷小.证因是无穷小,

有当时,幂函数在单调增加,

所以

例5设则当时,

为无穷小.故当时,是无穷小.例6证明当时,

为无穷小.证因不妨设

所以,当时,

是无穷小.当时,例7证明当时，不是无穷小.证有不妨设

所以,当时,

不是无穷小,由定义1.2,

当时，不是无穷小.当时,1.1.3自变量时函数无穷小我们用表示点x从的

在这个过程中,右侧无限接近但不等于的过程,x到的距离可以小于任意给定的正数.我们用表示点x从的

左侧无限接近但不等于的过程,在这个过程中,x到的距离可以小于任意给定的正数.表示点x无限接近但不等于的过程,在这个过程中,x到的距离可以小于任意给定的正数.可以任意小此时,

称是无穷小.定义1.3(时函数无穷小)

设函数在点x0某去心邻域内有定义.有则称当时，是无穷小.

记为因此,当时,

有则称当时，是无穷小.

记为则称当时，是无穷小.

如果当时,都是无穷小,记为有类似于定理1.1和定理1.2,有定理1.3(无穷小比较定理3)

设当时，是无穷小.也是无穷小.则当时，如果存在常数证我们只讨论的情况.设当时,是无穷小.由定义,故当时,

也是无穷小.例8证明:如果则当时,证是无穷小.因是无穷小,

故当时，是无穷小.由幂函数在单调增加,

例9证明证由定理1.3,有不妨设

因于是例10证明证因此因显然先证不妨设

即于是所以因是奇函数,有作单位圆O,例11设证证明不妨设

因于是于是故,1.1.4

无穷小的统一定义函数都可以满足不等式

对于前面的无穷小定义稍加比较就可以发现:如果对于任意给定的正数无论哪种情况,

所不同的是,随自变量变化趋势的不同,不等式成立的范围(或空心邻域)也不同.如果把不同情形下的无穷小统一表述为:或则

共有七种不同情况：

当函数定义域为正整数时，

为简单起见,一般可以用等表示无穷小.当函数定义域为实数集时，

可以取

若记作或则有关于无穷小的统一定义形式：如果把

a的和有关的邻域记为定义1.4设在点

的某个空心邻域内有定义，都存在点

的空心邻域

有了无穷小定义的统一形式,我们今后讨论无穷小或一般的极限理论时就可以重点讨论其中最具代表性的情形只是邻域不同而已.其他情形则可以类似给出，关于无穷小的概念需注意以下几个方面：1.无穷小是函数的自变量按照一定的变化趋势变化时,函数的一种特殊的变化趋势.

因此,我们说某个函数是无穷小时,必须同时指出自变量x的变化趋势.例如,2.零是无穷小,但无穷小不一定等于零.例如，一个固定的正数无论多么小,总存在比它更小另外,不能把无穷小与很小的正数相混淆.的正数.就不是无穷小.3.关于无穷小的分类.

某空心邻域特别地,如果当为正无穷小;同样地,如果当为负无穷小.

显然,正、负无穷小都是非零无穷小.

并且存在点

的例12设试证当是无穷小,但不是非零无穷小.证因所以,是无穷小.

任意给定的空心邻域

都存在正整数n满足

即使得故,是无穷小,但不是非零无穷小.如果(C为常数),定理1.4）

且设在点

的某空心邻域内有定义,则1.1.5

无穷小的性质定理1.5(局部有界性)

）

证有界.

若因取有则在

的某个空心邻域内则存在点

的某个空心邻域即在

的空心邻域内有界.证设且且于是

即定理1.6有限个无穷小之和为无穷小.则存在点

的某个空心邻域证例13设为n次多项式,且则

注意:无穷多个无穷小之和不一定是无穷小.

因可写成

所以

即是n个无穷小之和,

定理1.7

无穷小与有界函数的乘积为无穷小.证设内,有由定理1.3,有

则都是无穷小.例如,当且在点

的某个空心邻域

推论1.1

有限个无穷小的乘积是无穷小.1.1.6无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.若记作或则称时为无穷大,定义1.5设在点

的某个空心邻域内有定义，都存在点

的空心邻域分别称为正无穷大和负无穷大；说明:1.如果把上面定义中的分别改为

就得到的定义,(1)两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大;(2)有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大;(3)无穷大与无穷大之积仍为无穷大.2.由无穷大的定义容易证明：无穷小与无穷大的关系则当时,意义:有关无穷大的讨论,都可归结为无穷小的讨论.设在

的某空心邻域内有定义,使得定理1.8设在点

的某个空心邻域内有常数定义.如果当时,且存在例15证明证1不妨设

因于是由定理1.9,有

例15证明证2不妨设

因于是先证明所以故例16证明