篇多重故障转子轴承系统

ADissertationinMachineDesignandlinearDynamicalStability ysisandExperimentalStudyonMuti-faultsRotorBearing WenNortheasternUniversityJanuary2004 本文所呈交的是在导师指导下完成的中取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经或撰写 同工作的对本作的任何贡献均已在中作了明确的说明 期摘要力、、冶金、机械、航空等各工业部门。大型旋转机械是一个复杂的多自由度非线性振动的转子轴承系统以及裂纹碰摩、基础松动-碰摩、基础松动裂纹等耦合故障转子轴承系统的了C语言程序用于对各种故障转子轴承系统的周期运动及其稳定性、分岔研究。与传统的量-转速、裂纹深度-Jeffcott转子LINEARDYNAMICALSTABILITY YSISANDEXPERIMENTALSTUDYONMUTI-FAULTROTORBEARINGRotatingmachinerywhosemainworkingbodyisrotorsystemsincludesthelarge-scaleturbinegenerator,hydraulicmotor,nuclearmotor,aerospacemotor,high-speedcompressor,centrifugalengine,centrifugalpumpandhighaccuracymachine.Itisbroadlyappliedinthefieldofelectricpowerindustry,petrochemicalindustry,metallurgy,machinery,andaerospaceindustry.Large-scalerotatingmachineryiscomplicatedmulti-freedomlinearvibrationsystems.Undercertainconditions,thesystemmathematicalmodelstructurewillchange;themotionofthesystemwillbifurcateandresultsininstabilityofsystemperiodicmotions.Thephysicalcausesofinstabilitycanbeoil-filmforce,sealingforce,asymmetricofrotorshaftstiffness,viscoelasticityorstructuraldamofrotorshaftmaterial,rotor/statorrub-impact,cracksinrotorshaftandsoon.Thelargersubharmoniccomponentwillbeintroducedintothesystemaftertheinstabilityofsystemperiodicmotions,themotionofsystemswillbesynchronousprecessionandtheamplitudeofalternatestressintherotorshaftishigh.Thelong-termexistenceofinstabilitywilldirectlythreatenthesaferunningoftherotorsystems.Researchontheinfluenceofthechangeofsystemparametersonthesystemdynamicalbehaviors,thestabilityofsystemperiodicsolutionswiththechangeofsystemrotationalspeedandthesystemmotionafterinstabilitywillhavethetheoreticalandengineering-orientedsignificanceforthelong-termsaferunningoflarge-scalerotatingmachinery.Somekindsofrotorsystemsoftherotatingmachinerywithfaultsarethemainresearchsubjectofthedissertation.Firstly,thestabilityandbifurcationtheoryoftheperiodicsolutionof-autonomoussystemswereintroduced,thecontinuation-shootingalgorithmforsystemperiodicsolutionanditsstabilitywasstudied,andthusthetheoreticalbasiswasfoundedforthedissertation.Basedonthese,thestabilityandbifurcationoftheperiodicmotionoflinear-autonomoussystemswerestudied,suchassingle-faultrotorbearingsystemwithcracksorrotor/statorrub-impactandthemulti-faultrotorbearingsystemwithcrackandrub-impact,pedestalloosenessandrub-impactorpedestalloosenessandcrack.Themainresearchworksareasfollows:Thecontinuation-shootingalgorithmforperiodicsolutionanditsstabilityoflinear-autonomoussystemwasstudied,theCprogramwasdevelopedusedtoyzethestabilityandbifurcationoftheperiodicmotionofsomekindofrotorbearingsystemswithfault.ComparedwithnumericalintegratingusingRunge-Kuttaforsolvingthesystemperiodicmotion,thecontinuation-shootingalgorithmcannotonlyobtainstablesystemperiodicsolutionsbutalsotheunstablesystemperiodicsolutions,andthestabilityofthesystemperiodicsolutioncanbedeterminedwhenitbeobtained.TheefficiencyofobtainingsystemperiodicsolutionsishundredfoldhigherthanthatoftraditionalnumericalintegratingusingRunge-Kutta.Basedonthelineardynamicalmodeloftherotor-bearingsystemwithrub-impactfault,thestabilityoftheperiodicmotionofthesysteminunbalance-rotatingspeedplaneandrotor/statorclearance-rotatingspeedplanewerestudiedbythecontinuation-shootingalgorithm.Thesystemperiodicmotionanditsstabilitywereobtained.AnexperimentalsetupwasdevelopedtoinvestigatelinearvibrationcharacteristicsofsuchrotorbearingBasedonthelineardynamicalmodelofthecrackedrotor-bearingsystemsupportedontheshortjournalbearing,thestabilityoftheperiodicmotionandinstabilitywaywerestudiedbycontinuation-shootingmethodandthemainresultswerevalidatedontheJeffcottrotor.Therub-impactbetweenrotorandstatoroftenoccursbecausetherotorshaftstiffnessdecreasesfollowingtheoccurrenceofthecrackintherotorshaft,andthusthecouplingfaultwithrub-impactandcrackishackneyedfaulttype.Basedonthelineardynamicalmodelofthecrackedrotor-bearingsystemwithrub-impact,thestabilityoftheperiodicmotionandinstabilitywaywerestudiedinunbalance-rotatingspeedplaneandrotor/statorclearance-rotatingspeedplaneandcrackdepth-rotatingspeedplane,andthemainresultswerevalidatedbytheexperiment.Thevibrationamplititudewillincreasewhenthepedestalloosenessoccursinrotorbearingsystems,andwillfurthermorecausetherub-impactbetweenrotorandstator.Basedonthelineardynamicalmodeloftherotor-bearingsystemwithrub-impactandpedestallooseness,thesystemperiodicmotionanditsstabilitywerestudiedinunbalance-rotatingspeedplaneandrotor/statorclearance-rotatingspeedplane,andtheeffectofparametersthesystemwasyzedandtestedbytheBasedonthelineardynamicalmodelofthecrackedrotor-bearingsystemwithpedestallooseness,thestabilityoftheperiodicmotionandinstabilitywaywerestudied,theinfluenceofthefaultontherotorbearingsystemalsobeyzedandtheexperimentonthesystemwasdonetovalidatethemainconclusion.:lineardynamics,rotor-bearingsystem,rub-impact,crack,pedestallooseness,rub-impactandcrack,pedestalloosenessandrub-impact,pedestalloosenessandcrack,couplingfaults,periodicmotion,continuation-shootingalgorithm，bifurcation,stability,chaos 摘 第一章绪 第二章非线性动力系统周期运动稳定性的数值研究方 概 Floquet理 第三章碰摩转子轴承系统周期运动的稳定性及分岔研 概 本章小 第四章裂纹转子轴承系统周期运动的稳定性及分岔研 概 本章小 第五章碰摩裂纹转子轴承系统周期运动的稳定性及分岔研 概 第六章基础松动碰摩转子轴承系统周期运动的稳定性及分岔研 概 6.5本章小 第七章基础松动裂纹转子轴承系统周期运动的稳定性及分岔研 概 本章小 第八章结论与展 参考文 致 附录A作者简 附录B攻读博 期间的...............................附录C攻读博 期间参加的科研项 力、、冶金、机械、航空等各工业部门[1,2]。随着科学技术与现代化工业的发展，旋转机损失、人员伤亡和社会影响也是难以估量的。1992年6月海南电厂的一台600MW超临界火力发电机组因机组而造成断轴毁机事故，直接经济损失达45~50亿日元。我国的望江亭电厂、大厂和秦岭电厂在80年代皆因激烈振动而发生了机毁人亡的惨剧，造成的经非线性转子系统关键理论及诊断的研究”(No. )正是应这一要求而设立的。本将应用转子动力学理论和现代非线性动力学理论，利用求解非自治非线性系统周期系统受到扰动后转变为差别不大的另一系统，结构稳定性研究一族差别不大的系统的相[3,45。混沌振动是一种由确定性振动系统产生，对于初始条件极为敏感而具有内禀随机性和长Poincaré截面上的不动点，所以周期运动闭轨也会发生静态分岔[21]。出相图(phaseportrait)，给出稳态解在参数空间的分布情况，从而达到对系统结构稳定性的全和定量方法。近代研究分岔问题的主要理论方法有奇异性方法、中心流形方法、PB规范形方用到分岔研究中。奇异性方法[22][23]把分岔问题化为较简单的Golubitsky-Schaeffer标准形进行图的保持性和转迁集等。对于分岔问题，通常可以先用Lyapunov-S idt约化方法降维，和Hopf分岔等动态分岔问题。中心流形方法也可用来对问题进行降维处理。中心流形定理[24,25-28]表明系统的长期性态是由系统在低维的中心流形上的行为确定的。J.Carr[26]证明了的，后来经过Birklioff,Arnold等的工作逐步发展成较完整的理论。在用中心流形方法对原方程降维后，PB规范形方法[28-33]在平衡点附近用近似恒同的非线性变换对方程再作进一步简化，利用投影关系和Fredho1m择一性进行分岔分析。这种方法比较简便，易于被一般只有古典分析数学基础的人接受和使用。它可以用于静态分岔、Hopf分岔、次谐分岔和准周期分岔等问另外Melnikov函数法[31]可用来研究二维扰动Hamilton系统的m/n阶次谐周期分题。后继函数法和Shilnikov法[35,36]在研究二维和系统的同宿分岔问题中有重要作用。非线性振动中经典的解析方法如小参数摄动法、平均法、多尺度法、谐波平衡法等[37][21]可以定1981年较为全面地发展和论述了打靶法，还把打靶法用于求解分段线性非线性使用参数延续算法（延拓法，ContinuationMethod）能够求得参数连续变化时系统稳态解延拓打靶法方法将参数延续算法对解曲线的连续以及打靶法求解系统的周期解结合法和延拓法的理论基础及实际应用。C.Padmanabhan,R.Singh[55]采用基于打靶法的参数延拓算P.Sundararajan,S.T.Noah[56]使用固定界面模态综合法将大量的线性自由度转换到模态空间而断系统周期解的稳定性及分岔。L.Cherfils[57]提出计算大型非线性系统的参数延拓算法,为提转子系统中不平衡量对稳定性的影响。对系统提出用Broyden秩为1的带参型非线性现象。刘恒，等[61][62]提出一种对非线性动力系统周期解进行预测追线性动力系统求各个周期解的问题转化为此标量函数的寻优问题。，K.Lust和D.Roose等人发展了一种有效求解和追踪常微分方程组周期解的数值算法：Newton–Picard算法[67]。该方法比基于完全迭代和拟迭代的Picard迭代，在相对较小的“不稳定”子空间内执行迭代。文献[68]使用Newton-Picard方法研究了驱的分岔问题。文献[69]在循环化学反应计算中引入Newton-Picard算法，比较了Newton-Picard算法与直接数值积分算法、完全算法和Broyden拟算法的谐波平衡法是近似解取为三角级数的Galerkin法，它实际上是一种求周期解的解析方法[21][37]。但当三角级数的项数较多时，谐波平衡法将得到一组多线性代数方程组，需用数值的关系，已被证明等价于谐波平衡Newton-Raphson方法[21,79]，并在弹性系统的大幅度振动[80]、Duffing[81]等系统中得到应用，给出了系统的分岔曲线。在多值、跳跃现象发生处及波平衡延拓法，并求得修正的Holmes-Duffing方程的一系列周期解，其中一些未见前人报Newton-RaphsonJacobi矩阵。当系统中含有间隙、预紧约束、干摩擦等非算Jacobi矩阵，通过系统瞬态响应来预测周期运动。对于非光滑动力系统周期响应，胡[87]提出了一种对短时间历程动响应进行曲线息，使计算效率得到大幅提高，收敛性能亦大为改善。文[88]将分块Newmark方法与打靶Newmark法的预估—校正—局部迭代方法与Smale意义下的混沌。对二维扰Hamilton系统Melnikov函数法去估计混沌出现的阈值[28]。对扰动Haimilton系统亦有一些推广[36]；②KAM定理表明，在非条件下，近Hamilton系统运动的定性图象与未受扰系统基本相同；此时除少数的随机运动外，绝大KAMKAM定理的条件不满足时，KAM环面的破坏会导常微分方程描述的系统的混沌和吸特性的研究[92][93,94]。动的重要方法。基于数值实验，传统上研究系统混沌特性的方法主要有[56：①根据数值计吸续Poncaé果Poincapnv指数是pnvuv吸值方法计算；⑦胞映射法在动态分岔，尤其是在混沌研究中也是一种很有效的方法[77]。由于现在人们对混沌概念尚未取得完全的共识，而且有时用不同方法判断所得的结论是有差别的，因此最好同时采用多种方法进行研究。次Hopf分岔就导致混沌。另一种是“准周期运动→锁频（周期）运动→混沌”的道路。③阵发轴承非稳态油膜力近似公式。文献[111,113]采用给出的的油膜力模型研究转子系统的分岔和混沌行为。除了采用解析表达式描述油膜力外，人们还通过直接数值计算方法解Reynolds好、计算效率高[115]。等人[116]讨论了滑动轴承的稳态转子系统动态计算时的有限元建模一直是国内外学者非常关注的课题。张正松和[117][118]提出油膜失稳涡动极限环特性的Hopf分岔分析法。恕等人在文献[119]中研究了考虑湍流因素的滑动轴承油膜力作用下转Jeffcott转子系统进行分岔研究，得到了分岔转迁集并分析了润滑油粘度的变化对系系统的稳定性和油膜失稳运动(自激振动)特性，并分析了冲击对系统稳定性的影响规律。GardnerM.等用多尺度法分析了长轴承和短轴承近似下转子系统线性失稳后的弱非线性运动，研究了平衡点失稳后的次临界和超临界分叉[123]。RussoM.RussoR.研究了湍流对同频涡动性”或“稳定性储备”是指系统对抗各种恒定减稳因素的能力[125]。文献[126]探讨了Lyapunov稳定性意义下转子—滑动轴承系统的稳定问题。给出了系统稳定的定义，稳态运动的稳定性。刘桓等[128]提出了非线性动力系统全局稳定性分析的PCM法，对平性油膜力的Jeffcott转子轴承系统进行了全局分析，绘制了系统分岔后的全局吸引域图。型，分析了支承结构特性对转子系统非线性特性的影响。、朱均[134]等人探讨了应用大系转子系统最严重而又最难及时发现的故障，对转子系统安全运行会产生巨大。变系数微分方程，Floquet理论正是研究该类系统周期运动稳定性的有力工具。Papadopoulos和Dimarogonas[138]研究了横向纵向耦合振动的裂纹转子系统的稳定性，发现由于耦合振动系型的使用范围和优缺点；归纳出裂纹转子的不稳定区间、参数、开闭效应和裂纹效应的表不稳定转速大大降低而且粘性阻尼对不稳定转速的影响大于滞后阻尼（hystereticdam。文中还研究了含有两条转轴裂纹的转子系统的稳定性。等[142,143]使用线弹簧模型，转轴Runge-KuttaFloquet理论确定系统的不稳定区。讨论了裂纹深度、裂纹位置、圆盘位置、质量比对系统稳定区大小的影响。文献[145]用切比多项式方法分析了颈轴承支承的裂纹Sommerfeld数对裂纹引起的不稳定区的影响。速附近有不稳定转速区并且裂纹角对系统的稳定性有很大影响。文献[147148]分析非线性涡小波变换与Poincare映射相结Poincare映射确定周期用谐波小波变换区分拟周期响间隙和摩擦的存在强化了转子系统的非线性。科学家EhrichF.F.[150-153]线性振子模拟转子与定子之间存在非对称径向间隙（进而产生局部接触）的Jeffcott转子系统在不平衡激励下的非线性振动，并用实验验证了部分数值计算结果，但是Ehrich的支配方没有包含切向摩擦力。Choi,Y.S.和Noah,S.T[154]了一个含轴承间隙因而在运转时发生碰摩的刚性轴单圆盘转子系统，基于谐波平衡法、DFTIDFT分析了其次谐波振动、同频谐波振动和超谐波振动，并讨论了摩擦系数、偏心率阻尼和交叉刚度等参数的影响。文献[155]用FPA(Fixed-pointalgorithm)研究了含轴承间隙的Jeffcott转子系统的非线性动力学行为，在激励频率—激励幅值参数平面给出了系统行为复杂的模态锁合结构，并揭示了倍周期分岔、Hopf分岔和鞍结分岔以及“硬式”突跳等非线性动力现象。JunJiangHeinzUlbrich156]讨论了有别以转速和阻尼系数为控制参数，了转子运动进入和离开混沌的路径。在文献[161]研究系统的周期解并结合Floquet理论分析解的稳定性。航空航天大学的陆启韶教授等人建立Poincare映射来研究分段光滑系统描述的转子—机壳碰摩系统运动[162]，研究了系统运动的一般特点、转子碰摩运动随碰度变化发生分叉的规律和系统运动性态变化的规分岔情况。文献63Poincare映射研究非光滑碰摩系统，主要研究了单点边运动时的解随系统参数变化的分岔情形。文献[64利用同样的方法讨论了一类与定子几何不对中的转子的碰摩模型。文献采用新的短轴承非稳态油膜力公式和非稳态油膜轴承-转的分岔和沌特性并稳态油膜模型进行较。[66]针对仅考虑质量偏心的ecott转子碰摩的动力学方程，研究了整圈碰摩的稳定性得出了分叉解的振幅及稳定性判据，并且将分叉解与动力学方程的数值解作了比较。臣等17分析了高速对称刚性转子圆柱形和碰摩运动的稳定性问题。旋转机械的基础松动故障主要是由于安装质量不好或者是系统的长期振动等原因造成的odnP等8对具有支座松动故障转子的同频、倍频及分频等非线性振动现象进行了分析研究，文献[169]中gnesMusznkaPauloldanZ.i等01—的现讨论了转速变化时系统的多种形式的周期、拟周期和混沌运动。文献[172]由Flout13利分并通过实验验证了分析方法的有效性。文献[174]提出用关联维数来定量描述旋转机械支承系统的工作状态并利用关联维数对系统进行故障诊断的方法。耦合故障又是很普遍的，比如转轴横向裂纹较深的转子系统会由于振动量过大产生转静子碰t方程，并用数值方法分析系统的分叉与混沌等非线性动力学特性。采用短轴承Runge-Kutta直接数值积分方法对系统的分岔混沌行为进行了研究，文中结论为故障转子研究了求解非线性非自治系统周期解及判断其稳定性、分岔的延拓打靶算法，并编制 -转速、碰摩间隙-转速参数域内研究系统的周期运动及其分岔失稳等动力学行为，得运动的稳定性及其失稳规律，并用单跨Jeffcott转子试验台验证了主要的理论结果。--2.2.1设f是n1维Euclid空间Rn1中区域UR到nRn的光滑映射，则该映射定义了与时间相关的向量场fxt和微分方程组x&fx,,t xRn,R,t 称之为非自治系统，式中：为参数，fRRRnRn是一个确定的非线性函数，即给定的当存在T0，使得对所有tR，方程(2.1)x0点的解满足fx0tfx0tT时称其为周期T假设动力系统存在稳态解xt，如果给xt施加以小摄动，这种摄动随时间而增强，则xt是不稳定的，如果它在以后的时间内逐渐衰减xt是对小摄动稳定的，即Lyapunov意性项可以忽略不计，假设xt是动力系统（2.1）的一个稳态解，xt的一个小摄&fx,,tfx,,t当0时，即摄动趋于无限小，那么式（2.2）&limfx,,tfx,,tfx,,t

x式（2.3）xt的摄动方程xt的线性化系统，当xRnfx,tnnx设Rn是某个n1维超曲面的一部分，如果对于任意的x的法向矢nx满足fxnTxfx0，则称fxPoincare截面。任取xp（为周期闭轨），做一个足够小的Poincare截面，使得与仅相交于xp。根据微分方程解关于初始条件的连续性定理xp的邻Xxp，使得从任xX出发的相轨线可以回到PX，该映射又称之为Poincare映射。显然，如果以txxX出发的相轨线在tPxxx,xX，其中，下标x为xX起到首次返回所需的时间。显然若xpT，且PxpTxpxp则说明是闭轨，等价于xpPoincare映射的不动点。因此研究连续动力系统的闭轨的及其的相轨线等价于研究Poincare映射的不动点及其映射点的设URnPUU是Cr

2.1PoincareFig.2.1PoincaremapandfixedPk，kZZ为整数集)是上的Cr阶离散动力系统，其中P0IPkPPk1，PkP1k将映射点序列PkxxUkZZ为整数集，称作离散动力系统Px的相轨线。特别地，如果在正整数mPmxpxp，则称

P的周期点，使上式成立的最小mx的义全局的Poincare映射。非自治系统可以通过下面的变换将其转化为自治系统。

相空间是流形S1Rn可以定义一个全局超曲面uS1Rn所有的解x,都与xUPoincarePU0Pxux,T 0Poincare映射系统的方法有所不同，但它们的表达形式是完全相同的，可以不加区分的将Poincare映射记为：xk1PxkxPx

k 系统（2.2）的不动点x，有xk1Pxkxk1PxPxkxPxk

k1Pxk 式（2.9）是离散形式的摄动方程。Lyapunov证明了摄动方程所得的结论在考虑非线性项2.3.1对于动力系统式（2.1，如果给定其参数，则可以表xtxtTxtxtT

式中T为而言 以及

x,tmodt,T GxxPx x 对于式（2.10）的周期解xPoincare截面的xPoincare映射的不动点，满足算（2.13（2.10 xGxGxxPxI1Pxx k k k式中：Gxxk是G在给xk处的Jacobin矩阵，xP是Poincare映射的给定点xk处Jacobin矩阵，该求解过程先将近似不动点xk映射为Pxk，然后根据误差Pxkxk做修正，在tTxk1xT

x

在tT时刻的解PxxkΦT。由于ΦT可以按列分别计算相当于求解n个初值问题，为Newton-Raphson迭代，设n线性方程组的一般形式为：fix1,x2,L,xN0,i1,2,L 1 Xx1x2,LxNTfxff,L,fT，x*为fx的解向量，将fxxk处一fxkfxkx*xkfx*若fxk非奇异，则得到Newton-Raphson迭代格

k0,1, xk1xkfxk k0,1, jJfxkJacobin矩阵，其第ijJijfixj在Newton-Raphson每次迭代过，都需要计算Jacobin矩阵的值，一般通过求解n元线法，针对非线性方程组而言，Broyden给出一种不需要精确计算fX的Jacobin矩阵的拟Broyden1的方法[180]。这种方法具有超线性的收敛速度。kxk1xkA1Fxk k0,1, k取上式Ak1满

xk1xkFxk1Fxk 对于非线性方程组，Ak1需要通过下式求Ak1Ak 令AuvT,uvRnvsxk1xkyFxk1Fxk将其带入上式 k k A 1yAs k

A1yAs k k 其中，初始值x0A0可以Fx0或单位INewton-Raphson算法的另一个缺陷在于受迭代初值的影响很大，更确切地说，只有当初Newton-Raphson法，即所谓的下山方法。在算法中引入阻尼因子形成改进的迭代Xk1Xk XGJ是雅 矩阵。定义标量函数fX，

0 12fX GX 12kXfXNewton-Raphson法，具有二阶收敛速度；若不然，则逐步减小f下降的速度相当，利用下式判断Xk1是否是fkk k f )f(X)k k 应取一个很小的正数，一般选104

纯形算法，具有大范围收敛性和较简单的收敛条件等等。在实际计算过，Broyden秩1的2.3.2确定迭代初始值的延拓研究非线性不平衡转子轴承系统周期解随参数变化时其稳定性及分岔规律，这意味着在大量不同的参数下用迭代求解周期解，而这涉及到在每一个参数下估计一个迭代初数下的解预估，从而很好地解决了法初始值的确定问题。对于非线性方程组（2.13）的曲线xx（将参数看作方程组的未知数）称为dGx,=Gx,dxGx,d xG,x1G,xi

i xIP,xP,x i i1ix式中xi是i参数下通过打靶法求得的周期解，同时Gi,xi在打靶过 类似的，将Pi,xi求解问题归结为如下形式的常微分方程的初值问题，x&f,xf, 在tTPxkT。这样就可以对i1Poincare映射不动点进行预测，再用式（2.14）对不动点进行校正，这样在参数期解的稳定性分岔规律更具有现实意义。Floquet理论基于经典稳定性理论从摄动方程零解稳2.4.1Floquet于一个给定的参数0及其稳态周xtxtT线性化关系（摄动方程）式（2.4）可 ν,tRn AtAtT是周期为Tnn阶的矩阵函数Floquet定理[27]Vt是方程（2.14）的一个基本解矩阵，则必存在一个非奇T周期变系数矩阵ZtZtT和一个常矩阵DVtZt又因为式（2.14）AtAtT是一个T周期变系数矩阵，故有V&tTAtTVtTAtVtTVtT也是式（2.14）的一个基本解矩阵，根据式（2.16）VtTZtTetTD=ZtetDeTD=Vt令CeTD，式（2.17）

VtTVt 常矩阵CD存在一组相似的常矩阵，它们的特征值与所给的初始条件和基础解矩阵的选取无关，分别定义CD为式（2.14）的离散和连续的状态转移矩阵，定义CD的特征值,分别为Floquet乘子和Floquet指数[27]。FloquetFloquet1外，其余的模（1（Floquet指数有正实部Floquet1（Floquet0），则为临界情况。非自治系统式（2.1）及自治系统式（2.7）的周期解的稳定性是随外参数变化的，当参数超过临界值c时，周期解失稳，周期解的失稳有几种不同的方式，对应着不同的分岔，通过Floquet乘子随参数变化的过程，可以判断周期解分岔的形式，主要表现为三种方式，1）如图2.2，有一个最大的Floquet乘子由实轴的正方向穿出复平面单位圆即临界情况(c)1时，周期解发生鞍结分岔，叉形

N-S分 岔2.2Floquet倍周期分 鞍结分2.2FloquetFig.2.2ThreemodesofFloquetmultipliersleavingunitcircle

2.2Floquet乘子以(c)虚部不为0时，周期解发生Naimark-Sacker分岔。通过打靶法可以求得系统周期解的Poincare映射的不动点u以及在u上Poincare映FloquetFloquetPuu的特征值来求得。

4阶Runge-Kutta法直接数值积分得到了在系统参数0.1681.0，初始值为0,0时，以f为分岔参数的系统的分岔图，如图2.3所示。由图可以看出，当0.150,0.1771f大于0.177f0.177,0.1952运动，之后系统发生一系列的倍周2.4DuffingFloquetf变化的f0.177Floquet1Floquetf0.177Floquet乘子及其模，由表可知，f0.177Floquet乘子由-1穿出单位圆，系统的周期运动发xx

f2.3DuffingFig.2.3Thebifurcation f2.4周期解的FloquetFig.2.4CurveoftheFloquet2.6Poincare截面上周期解穿越点位移和速度的预测值和真实值f0.121效率。实际计算过发现，在相同的参数条件和相同的分岔步长情况下，与定步长42.1周期解的最大FloquetTable alFloquetf1,f1,0.119-0.577-i-i-i-i-0.715+0.000-i-0.775+0.000-i-0.825+0.000-i-0.869+0.000-ia为系统的倍周期分岔集。由图可见，当系统的值不断增大，系统的倍周期分岔值f也不断xx f位移预测值真预测值真xx f速度2.5Fig.2.5Contrastbetweenpredictivevalueandtrue预测值真预测值真xx---

x2.6Fig.2.6Thesystemperiodicaa f2.7在γ-f

Fig.2.7Theperioddoublingbifurcationsetinγ-fDuffing方程为例，由该算法给出了系统在γ-f参近年来，许多学者对碰摩转子轴承系统的非线性动力学特性进行了大量的研究。Ehrich[150-153]。871在ot基ning56文献[161]lotopf35]中心，O2为转子几何中心，O3kc为定子刚度，k为弹性轴刚度，c1为转子在轴承处阻尼系数，c2m1，在圆盘处的等效集中质量为m2，转子圆盘与轴承之间为无质量弹性轴。1b所示。图中PN为径向碰撞力，PT为切向摩擦力，为碰摩点的法向与x轴的夹角。ω为转子转动角速度，e为转子位移。转定子间的摩擦系数为f，间隙为，则碰摩力的表达 fx(eP f 1 PxPy (e0 [(x2y)2(y2x)2]13xV(x,y,)sinG(x,y,)2cosS(x,y,)2

x 1x2 3yV(x,y,)cosG(x,y,)2sinS(x,y,V(x,y,)2(ycosxsin)G(x,y,1x2S(x,y,) xcosy1(xcosysinG(x,y,)

(1x2(1x2y2)

ycosxsin(1x(1x2y2) arctgy2xsigny2xsign(y x2 2 x2y 2 其中：R为轴承半径，Lx1y1x2y2。则系统的运动微分方 1 1 m&y&cy&k(yy)fm1 1 m&x&cx&2k(xx)P(x,y)b2 2 x 21111

x& (xx)

f(x,y,x&, m 2 c2 x111

c1c

k1(yy)

2

f(x,y,x&,y&) m12 cmy111

Px(x2,y2 (xx) 2 cm

b

P(2x,y &y&2y& (yy)y22bsin 2 cm 度，P为圆盘重量的一半，L为轴承长度，R为轴承半径，为Sommerfeld修正数。RLR2L c2R

。b为无量纲偏心，tyyN(a)碰摩转子简图 (b)局部碰摩模型图3.1碰摩转子-轴承系统力学模型Fig.3.1Mechanicalmodelofrotorbearingsystemwithrub-系统在不同参数域内周期运动的分岔及其稳定性规律。设系统的基本参数为：m2=32.1kg,R=25mm,L=12mm, c2=2100Nsm,k=25×107Nm1

Pas,f=0.1,c1=1050Ns/m别为系统不平衡量（与平均油膜厚度之比）b0.03，转速700rads时系统响应的时域波形、轨迹、Poincare截面和幅值谱图，由图可以看出，此时系统的不平衡响应是同步周期(统不平衡量b0.03，转速800rad/s时系统响应的时域波形、轨迹、Poincare截面和动。图3.3给出了系统同步周期解的Floquet乘子-转速变化曲线，表3.1为无量纲偏心b=0.03时系统同频周期运动对应的Floquet乘子，由图3.3和表3.1776radsFloquet乘子以一对共轭复数方式穿出单位圆，根据第二章所Floquet理论可知系统发生Hopf进一步利用四阶定步长Runge-Kutta法直接数值积分得到了系统在b0.03时的分岔图，如图3.4(a)所示，其结果与延拓打靶法得到的一致。但是x1x1

340360380t时域

y1-y1--

轨

y1-y1--

x-0.8-0.40.00.4x1

幅值x1x1800850900950t

y1-y1--x- x1

-x-x-x-0.2-0.10.00.1x1

11 频率 (f)轨迹 (g)Poincare截面 (h)幅值谱图图3.2b0.03时系统响应的时域波形、轨迹、Poincare截面和幅值谱图Fig.3.2Timewaveplot,trajectory,Poincaremapsandamplitudespectrawhenb

图 b0.03同步周期解的Floquet乘子-转速变化曲Fig.3.3CurveoftheFloquetmultipliersforsynchronousperiodicmotionvsrotationalspeedwhenbx1x1

偏心量b

x1x1

偏心量b图 b0.03,b0.05时系统运动的分岔Fig.3.4Thebifurcationdiagramswhenb0.03,b3.1b=0.03时周期解的最大FloquetTable alFloquetmultiplierswhen1,1,-0.382-0.220-0.888±0.433-0.777+0.000-0.894±0.451-0.713-0.112-0.895±0.454-0.864±0.376-0.897±0.459-0.878±0.406-0.904±0.4833.2b=0.05时周期解的最大FloquetTable alFloquetmultiplierswhen1,1,-0.818+0.000-1.001+0.000-0.877+0.000-1.007+0.000-0.906+0.000-1.019+0.000-0.934+0.000-1.048+0.000-0.962+0.000-1.104+0.000b0.05，图3.5(a)-(d)分别为系统不平衡量b0.05，转速650rads时系统响应的时域波响应。当转速700rad/s时系统运动的时域波形、轨迹、Poincare截面和幅值谱图如图Floquet3.53.2可知，当系统转速662radsRunge-Kutta法直接数值积分得到的系统在b0.05时的分岔图验证了延拓打靶法得A为倍周期分岔集，B为拟周期分岔集。(1)区内系统做与转速同频的周期运动，(2)区为系统同频周期运动经倍周期分岔产生的倍周期解参数区，(3)Hopf分岔产生拟周期解参数区。可以看到，当转子的偏心量小于0.042时，系统周期运动失稳产生统周期运动的稳定性越来越差。需要说明的是。在(2)(3)区内可能还包括其他复杂的高倍周x1x1- t

y1y1--- 0.01

y1y1

x-1.0-0.50.0x1

(a)时域波 (b)轨 (d)幅值谱 x1x1-300350400450t

y1y1--

x-0.5 x1

-y1-y1-x- - x1

x1x1 (e)时域波形 (f)轨迹 (g)Poincare截面 (h)幅值谱图图3.5b0.05时系统响应的时域波形、轨迹、Poincare截面和幅值谱图Fig.3.5Timewaveplot,trajectory,Poincaremapsandamplitudespectrawhenb 3.6b0.05同步周期解的Floquet乘子-Fig.3.6CurveoftheFloquetmultipliersforsynchronousperiodicmotionvsrotationalspeedwhenbbb 3.7系统的不平衡量-Fig.3.7Thebifurcationsetinmasseccentricity-rotationalspeedparameters00.8时系统的分岔图，图3.9b0.05，无量纲碰摩间隙00.8时系统同步周期解的PoincareFloquet1，当系统的转周期分岔前后转速分别为550rad/s和650rad/s时系统周期运动的系统响应的时域波形、轨迹、Poincare截面和幅值谱图，由图可以清楚的看到，550rad/s时系统响应的Poincare截面为一个点，从幅值谱图上可以看到，系统只有与转速同频的频率成分，可知系统的运动为同频周期运动；而当系统转速550rad/s时，系x1x1 3.8b=0.05Fig.3.8Thebifurcationdiagramswhenb 3.9b0.05同步周期解的Floquet乘子-Fig.3.9CurveoftheFloquetmultipliersforsynchronousperiodicmotionvsrotationalspeedwhenbx1x1 t时域

11y-y-x-0.30.00.30.6x1轨y1y1---

-y1-y1-------

-0.8-0.40.00.4

x1x1x1x1

频率幅值xt -0.8-0.40.00.4x1

-0.6-0.4-0.20.0x1x

频率 (f)轨迹 (g)Poincare截面 (h)幅值谱图图3.10b0.05时系统响应的时域波形、轨迹、Poincare截面和幅值谱图Fig.3.10Timewaveplot,trajectory,Poincaremapsandamplitudespectrawhenb进一步研究系统在较大参数域内的周期运动的稳定性及分岔规律，给出了在碰摩间隙-转1A1区内系统做同频周期运动，(2区为系统同频周期运动经倍周期分岔产生的倍周期解参数区。由图可00

3.11系统的碰摩间隙-Fig.3.11Thebifurcationsetinrotor/statorclearance-rotationalspeedparameters表.3.3b=0.08时周期解的FloquetTable3.3TheFloquetmultiplierswhen-0.511431+0.000-0.994899+0.000-0.704478+0.000-1.004465+0.000-0.796485+0.000-1.012110+0.000-0.869079+0.000-1.020685+0.000-0.933568+0.000-1.027303+0.000-0.986392+0.000-1.056614+0.000系统非线性动力学行为实验研究[193-实验装置 3.12碰摩实验装置Fig.3.12Theexperimentalsketchmapoftherub-impactbetweenrotorandΩΩABV64套(a)转定子碰摩监视装置 (b)转定子碰摩装置图3.13转定子碰摩及其监视示意图Fig.3.13Thesketch-mapofrub-impactanditsmonitoring3.12(a)、(b)所示。图（b）1是直流电机，额定转感器，81根转轴、112个轴承上。圆盘重0.468kg，上面有24个平衡螺栓，增加和减少平衡螺栓的个数可以调整转子的偏心16:100的锥形铜套，它能沿转轴中心线来回移动，使转定子0～2mm2个电涡流位移传感器测量转子水平和垂直方向的弯曲振动，1个光电传感器测量转子转速以及1个碰摩监视传感器。采用东方所DASP6.18和信号处理系统。整个系统由一直流电机驱动，电机和转子系统采用柔性为了能有效地系统运转过转定子的碰摩情况，实验中设计了如图3.13所示的碰AB端为低电平，若转定子没有发生碰摩，电路断开，指示灯不亮，AB为高电平。AB间的电25mm25.18mm8mm30#透平油，称这种轴3.12所示。为了比较油膜力对系统的影响，在实验中还采用了光轴，即轴在 图3.14无碰摩时转子升速过程的三维谱阵Fig.3.14Spectrumcascadeplotofthespeedascendprocessoftherotorwithoutrub-3.14为3.14（a）是普通轴的升速过程。从图中可见，系统只3.152个通道记录转子水平和垂直方向上的位移，3通道记录碰摩装置到的信号，图中水平段为无碰摩时的高电平信号，碰摩发3.15a-d依次为碰摩逐渐加重的时域波形信号，随着转速的提高，(a)碰发 (b)碰摩加 (d)碰摩较严重图3.15碰摩转子的时域波形图Fig.3.15Timewaveplotsoftherotorwithimpact- 碰摩再加 (d)碰摩较严3.16Fig.3.16Amplitudespectrumplotswhenimpact-ruboccursbeforeoil(a)碰发 (b)碰摩加 (c)碰摩再加 (d)碰摩较严Fig.3.17Amplitudespectrumplotswhenimpact-ruboccursafteroilFig.3.18Spectrumcascadeplotofthespeedascendprocessoftherotorthatrub-impactoccuresafteroil3.16所示（图中有黑点标记的谱峰3.16（b，3.16（c（d后，出现非常明显的亚谐运动，其峰值甚至超过工频的峰值。图3.17为油膜轴在油膜涡动发生后再碰摩的试验情况。图3.17（a）是系统发生油膜涡动时的幅值谱图，可以明显看到0.5倍3.17（b剧后，在低于半频的频率区域内出现了很小的峰值3.17（c（d）所示，而且有高频成分 根据碰摩转子轴承系统的非线性动力学方程，利用求解非自治非线性动力系统周期解的延 据加利福尼亚电力统计，从1970年至1982年，透平发电机组23起事故中有8起是低压转子轴和发电机转子横向裂纹的，占故障总数的35%[196]。例如，1972年海南电厂的一台600MW汽轮发电机组在试运行过发生异常振动，长达51米的主轴断裂飞逸，整台机组全部损坏。同年ve电站，GE790MW双轴机组，发电机与励磁机之间的主发电机集流环处的主轴突然断裂，研究表明，它是由电气系统和机械系统产生，净负阻尼使系统大型旋转机械的转子在铸造和机械加工过形成的缺陷在交变的机械应力和热应力的，着]Folquet理论分析了系统运动的稳定性和稳定度。文献[145]用切比多项式方法，分析了颈轴承支承的设转轴半径为R，长度为L1的无质量弹性圆轴，在转轴有一深度为a的弓形横向裂裂纹局部产生附加角位移。设在、方向弯矩作用下的无量纲局部柔度系数分别为[197]：ttaty图4.1裂纹截面示意 图4.2柔度与无量纲裂纹深度关Fig.4.1Cracksectionofthe Fig.4.2Variationofflexibilitywiththecrack R3 b/R/ 2 (12)cb/R 32[1(/R)](/R)F2(/h)d(/R)d(/ R3E (12) R2式中，为泊松比，E为杨氏模量，局部裂纹深度()aRR2R2h R2

2h/tan(/2h){0.9230.199[1sin()]4}/cos(/2h/tan(/2h){0.7522.02(/h)0.37[1sin()]3}/cos(/

、a1 2RLRLR1

L R3.0(12L1为两端支承间轴的长度，R为轴颈，.2.2裂纹转子-f滑动轴承支撑，滑动轴承直径为D，长度为L。两轴承之间为一无质量弹性轴，其半径为R，长度为L1，转轴刚度为k，转轴有一质量为m2的圆盘，以及深度为a的弓形横向裂纹。O1为轴承内瓦几何中心，O3为转子质心，O2为转子几何中心。在轴承处的等效集中质量为m1，c1为转子在轴承处的结构阻尼，c2为转子在圆盘处的结构阻尼，简化后转子-轴承系统力学模型如图ff4.3裂纹转子-Fig.4.3Mechanicalmodeloftherotor-bearingsystemwithatransverse1 1 x111 1

y111 F](xx)F[(xx)cos2t(yy)sin2t]m2e2 2

2m22c2y&22k[12F](y2y1)F[(x2x1)sin2t(y2y1)cos2t]m2esintm21111

x&

F](xx)kF[(xx)cos2(yy)sin2]

mc m 2 2m cm2x111

F](yy)

[(xx)sin2(yy)cos2]

f(x,y,x&,y&) mc m 2 2m cm2y111

c2x& F](xx)kF[(xx)cos2(yy)sin2] m m m c22 c22

F](yy)

k [(xx)sin2(yy)cos2]k m m 2 m

arctgy，为裂纹方向与偏心之间的夹角，为初相位，这里设=0f RLR2

L 为无量纲非线性油膜力，如式(3.2)所示，为Sommerfeld修正数， c2RbbD=50mm,L=12mmc=0.11mm=0.018Pas,β=3π4c1=1050N·s/mc2=2100N·s/mk=25×107N/m1.2.13. bb

4.4系统的不平衡量-Fig.4.4Thebifurcationsetinmasseccentricity-rotationalspeedparameters裂纹转子轴承系统稳态解随系统转速和偏心量b的分布变化规律示于图4.4，设定系统的无量纲裂纹深度（与转轴半径之比）A=06。图中a集，称之为倍周期分岔集。由倍周期分岔集将所研究的参数平面划分为两个区域：1)区为系24.4可知，随着转子偏心量的不同，系统周期运动的失稳转速表现为逐渐变小，然后46Floquet4.44.5能够知Floquet4.1可知，当转速573rads时，系统同频周期Floquet乘子由-1穿出单位圆，证明系统的同步周期解发生了倍周期分岔。图4.7进一定步长四阶Runge-Kutta法给出了这一过系统分岔前后的稳态运动的时域波650rad/s时系统稳态运动的时域波形、轨迹、Poincare截面和幅值谱图，由图4.7则x1x1----

200300400500600700

-y2-y2--- 图4.5b0.06，d0.6系统运动的分岔图Fig.4.5Thebifurcationdiagramswhenb0.06，d图4. b0.06，d0.6同步周期解的Floquet乘子-转速变化曲Fig.4.6CurveoftheFloquetmultipliersforsynchronousperiodicmotionvs.rotationalspeedwhenb0.06，d0.6900930960t

11y-y-x-0.3 x1

-y1-y1--

-0.8-0.40.00.4

（a）时域波 （b）轨 （c）Poincare截 （d）幅值谱x1y1x1y1900930960t

---x-0.8-0.40.00.4x1

--y1-y1--

-0.6-0.4-0.20.0

（g）Poincare截面 图4.7 b0.06，d0.6时系统轴颈处响应的时域波形、轨迹、Poincare截面和幅值谱图Fig.4.7Trajectory,Poincaremapsandamplitudespectraatthebearingwhenb0.06，d900930960t

y2y2---x- x2

----

x-1.0-0.50.0x2

x2x2 频率（a）时域波 （b）轨 （c）Poincare截 （d）幅值谱x2x2900930960t

y2y2---x-08-0.40.00.4x2

y2y2

-0.6-0.4-0.20.00.2

x2x2

（g）Poincare截面 图4.8 b0.06，d0.6时系统圆盘处响应的时域波形、轨迹、Poincare截面和幅值谱图Fig.4.8Trajectory,Poincaremapsandamplitudespectraatthediskwhenb0.06，d转速迅速降低当转子的偏心量b0.034时，系统的失稳转速达到一个局部极小值565rads，继续升高系统的偏心量，失稳转速有所增加，当b0.044时，系统失稳转速有局部极大值621rads，再次增加系统的偏心量，周期运动的失稳转速再次降低，在偏心量b0.056时由达到一个局部极小值567rads，此后随着偏心量的增加，系统的失稳转速逐4.1系统周期解的最大FloquetTable alFloquet-0.222+0.000-0.984+0.000-0.188-0.061-0.997+0.000-0.055-0.379-1.011+0.000-0.595+0.000-1.023+0.000-0.795+0.000-1.036+0.000-0.957+0.