《弧度制》教案（Word版）

《弧度制》教学设计教学目标1．根据函数概念中强调函数必须是实数集到实数集的对应，体会弧度制引入的背景及必要性，明白同一个量可以用不同的单位制来度量．2．在半径不同但圆心角相同的的扇形中，利用初中所学的扇形的弧长公式能够发现弧长与半径之比不变，从而体会用该比值作为弧度制定义的合理性，加深弧度制概念的理解．在此过程中，学生可以感悟数学抽象的层次性及逻辑推理的严谨性．3．体会弧度制是度量角的一种方式，并能利用180°＝πrad进行弧度制与角度制的互化，利用单位圆中弧长等于半径的圆心角，直观感受用长度度量1弧度的大小，能证明并灵活运用一些关于扇形的公式，同时能理解角与实数之间的一一对应关系．教学重难点教学重点：在了解弧度制引入的背景下，理解弧度制的概念，能进行角度制与弧度制的互化．教学难点：弧度制概念的理解．课前准备计算器、PPT课件．教学过程（一）创设情境问题1：我们知道：篮球明星姚明的身高是米，但在NBA官方数据中却是英尺，为什么？你还知道哪些量有不同的度量制？举例说明．预设的师生活动：学生针对老师提出的问题进行思考与回答．预设答案：因为用了不同的单位．再如，度量重量可以用千克、斤、磅等不同的单位制，度量体积可以用立方米、升等不同的单位制．设计意图：通过生活中的发现，度量长度可以用米、尺、码等不同的单位制，让学生体会度量一样东西可以有多种度量制．（二）新知探究1．弧度制图1问题2：度量角除了角度制，还有什么单位制呢？图1追问1：如图1，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α．在旋转过程中，射线OA上的点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α．设α=n°，OP=r，点P所形成的圆弧的长为l．回忆初中所学知识，弧长l如何用圆心角α来表示？图1预设的师生活动：学生经过观察、讨论得出结论．图1图2预设答案：．图2追问2：如图2，在射线OA上任取一点Q（不同于点O和P），OQ=r1．在旋转过程中，点Q所形成的的圆弧的长为l1，那么l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论？预设的师生活动：学生经过观察、讨论得出结论．预设答案：；圆心角所对的弧长与半径的比值，与半径的大小无关，只与的大小有关，也就是说，这个比值随的确定而唯一确定．因此可以用弧长和半径的比值表示圆心角．设计意图：通过复习初中所学知识可知，使学生得到弧长与半径的比只与角的大小有关，推广到一般也成立，因此我们可以利用这个比值来度量角，引出新概念，使学生明白新概念的由来和定义的合理性．追问3：结合上面的探索过程，你能试着说一说什么是1弧度角吗？预设的师生活动：学生用自己的语言表述清楚即可，教师在学生表述的基础上进行完善．预设答案：我们规定：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．设计意图：引导学生得出定义，体会定义产生的背景、原由及过程．追问4：（1）我们把半径为1的圆叫做单位圆．既然角的大小与半径无关，那么在单位圆中如何确定1rad的角呢？（2）在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角α的弧度数是多少？（3）角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？图3预设的师生活动：学生思考后回答．图3图3预设答案：得出单位圆中长度为1的弧所对的圆心角就是1rad（如图3）；在半径为的圆中；类比角度制，的正负由角的终边的旋转方向决定．图3设计意图：深化理解弧度的定义．在单位圆中，直观感受1rad的角的大小，体会1rad角的几何表示；进一步能在一般圆中求得角的弧度数，使学生通过图形获取对新概念的直观印象，培养学生数形结合的能力．追问5：请你说说弧度制与角度制有哪些不同？预设的师生活动：学生展开讨论之后总结提炼．预设答案：第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”；第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制；第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°的角是周角的；第四，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值，等等．设计意图：概念辨析，深化理解．2．角度制与弧度制的换算问题3既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它们之间如何换算？你认为在换算的过程中最为关键的是什么？预设的师生活动：学生思考后回答，得出答案．预设答案：这两种角度度量制之间的关系是：360°＝2πrad．其中，最为基础也是最为关键的是180°＝πrad，即1°＝rad，1rad＝≈°．设计意图：通过思考，让学生掌握弧度和角度换算的方法．体会同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间的内在联系．认识这种联系性是数学研究的重要内容之一．例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：（1）精确值；（2）精确到的近似值．预设的师生活动：学生自行完成并回答问题．预设答案：（1）因为67°30′=，所以67°30′=×rad=πrad．（2）利用计算器有．因此，67°30′≈rad．设计意图：在换算中学会根据要求的精度不同，选择不同的计算方式．例2将rad换算成角度（用度数表示，精确到）．预设的师生活动：使用计算器完成．预设答案：利用计算器有．因此，rad≈°．设计意图：学会利用计算器完成这种繁杂的计算问题．追问：（1）67°30′能直接化成弧度吗？你是怎么做的？应该注意什么问题？（2）相互交流一下，如何使用计算机完成弧度制与角度制的换算？预设的师生活动：学生独立完成角度制与弧度制的换算的精确值，之后交流展示用计算机完成弧度制与角度制换算的近似值．设计意图：通过简单应用，熟悉弧度制、熟悉弧度制与角度制的换算．学生可能出现的问题：第一，进行角度制与弧度制的换算不够熟练；第二，角度转化弧度时需要把含分或秒的角度统一为度的单位；第三，计算机完成弧度制与角度制换算的近似值时，操作需要一个熟悉的过程．练习填写特殊角的角度数与弧度数的对应表（课本174页）．度0°30°45°120°135°150°360°弧度π预设的师生活动：快问快答，进行训练．预设答案：度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π2π设计意图：这些角是今后常用的特殊角，不仅要求学生会换算，而且要让学生记住这些特殊角的度数与弧度数的对应值．另外，熟练角度和弧度的换算，进一步加深对180°=πrad的理解和掌握．同时进一步体会角的概念推广后，无论用角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一一对应关系．例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式：（1）l=αR；（2）S=αR2；（3）S=lR．其中R是圆的半径，α（0＜α＜π）为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．预设的师生活动：学生学生利用弧度制证明关于扇形的公式，教师进行点评及板书．预设答案：（1）由公式|α|=可得l=αR．下面证明（2）（3）．由于半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是l=，S=，将n°转换为弧度，得α=，于是S=αR2．将l=αR代入上式，即得S=lR．设计意图：体会弧度制下的扇形弧长、面积公式的简洁美，这是引入弧度制的一个理由．（三）归纳小结问题4通过本节课的学习，你学会用弧度制度量角了吗？追问：你觉得这样定义弧度制合理吗？在度量角的时候你觉得需要注意哪些问题？你现在觉得用弧度制度量角有什么好处？为什么会出现这种情况？你能画一个知识结构图来反映本节课的研究内容与路径吗？预设的师生活动：学生自主总结，并作出回答．预设答案：圆心角α所对的弧长与半径的比值随α的确定而唯一确定，因此，利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角的是合理的；在度量角的时候需要注意：联系两种度量制的桥梁是360°=2rad；要注意防止出现角的两种度量制混用的现象，等等；用弧度制度量角的好处：弧度制下的扇形弧长、面积公式非常简单，这是引入弧度制带来的一个便利．实际上，角度制下角的度量制是六十进制，与长度、面积的度量进位制不一样，于是在公式中要有“换算因子”．而弧度制下角度与长度、面积一样，都是十进制，就可以去掉这个“换算因子”了．背景背景引入弧度制的必要性定义的合理性弧度制定义表示关系应用设计意图：帮助学生梳理所学知识，并让学生清楚引入弧度制的必要性，以及这样定义的合理性，逐步提升学生逻辑推理的核心素养．（四）布置作业：1．第175页练习；2．第175页习题组1—9题．（五）目标检测设计1．把下列角度化成弧度：（1）22°3