立体几何中地向量方法

适用学科适用区域知识点教学目标教学重点教学难点

实用标准立体几何中的向量方法高中数学 适用年级 高中二年级通用 课时时长（分钟） 90用空间向量处理平行垂直问题；用空间向量处理夹角问题 .理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法的作用．用向量方法解决立体几何中的有关问题用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题文档实用标准教学过程一、课堂导入空间平行垂直问题．两条直线平行与垂直；２．直线与平面平行与垂直；３．两个平面平行与垂直；空间夹角问题．两直线所成角；２．直线和平面所成角；３．二面角的概念；空间距离问题文档实用标准二、复习预习rr（１）空间向量的直角坐标运算律：设a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，则rrrrrab(a1b1,a2b2,a3b3)，ab(a1b1,a2b2,a3b3)，a(a1,a2,a3)(R)，rrrrrraba1b1a2b2a3b3，a//ba1b1,a2b2,a3b3(R)，aba1b1a2b2a3b30．uuurz1)．（2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB(x2x1,y2y1,z2一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．rrrr222(a1,a2,a3)，则|a|aaa1a2a3（3）模长公式：若a．rrcosrra1b1a2b2a3b3abrabr22|a||b|2222（4）夹角公式：a1a2a3b1b2b3．（5）两点间的距离公式：若 A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则22(y1y2)2(z1z2)2．ABAB(x1x2)文档实用标准三、知识讲解考点1 平面法向量的求法r0，在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设n(x,y,z)，它和平面内的两个不共线的向量垂直，数量积为建立两个关于 x,y,z的方程，再对其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量．还有几种求平面法向量的办法也比较简便．求法一：先来看一个引理：若平面ABC与空间直角坐标系 x轴、y轴、z轴的交点分别为 A(a，0，0)、B(0，b，0)、C(0，0，c)，定义三点分别在x轴、y轴、z轴上的坐标值xA＝a，yB＝b，zC＝c（a,b,c均不为0），则平面ABC的法向量为r1,1,1)(0)．参数的值可根据实际需要选取．n(abc文档实用标准zCOyBAx证明：→＝→AB(－a,b,0),AC＝(－a,0,c),ruuurruuur∴nAB0,nAC0,r111∴n(,,)是平面ABC的法向量．abc这种方法非常简便，但要注意几个问题：（1）若平面和某个坐标轴平行，则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为 ，法向量对应于该轴的坐标为 0．比如若和x轴平行（交点坐标值为r1,1)；若平面和x,y），和y轴、z轴交点坐标值分别为b、c，则平面法向量为n(0,bc文档实用标准r1)．轴平行，和z轴交点的坐标值为c，则平面法向量为n(0,0,c（2）若平面过坐标原点 O，则可适当平移平面．求法二：求出平面方程，得到法向量．我们先求过点P0(x0,y0,z0)及以n＝A,B,C为法向量的平面的方程．设P(x,y,z)是平面上的动点，于是有 P0Pn＝0，即A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0整理得 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0) 0令D Ax0 By0 Cz0，有Ax By Cz D 0这就是平面的一般方程.平面的方程可用三元一次方程来表示．且 x,y,z的系数组成该平面的法向量．注意：(1)有了平面的方程 Ax By Cz D 0，就能得到平面的法向量 A,B,C，可用平面内不共线的三点求出平面的方程．文档实用标准一些特殊情形的平面，方程会更简捷：通过原点的平面，D0，方程为AxByCz0；平行于x轴的平面，A0，方程为ByCzD0；通过x轴的平面，A0,D0，方程为ByCz0；既平行于x轴又平行于y轴的平面也就是一个平行于xoy坐标面的平面，方程为CzD0；,类似地，可讨论其它特殊情形．(3)两平面：A1xB1yC1zD10与A2xB2yC2zD20平行的充要条件是A1:A2B1:B2C1:C2D1:D2求法三：用行列式求得法向量．若n1x1,y1,z1，n2x2,y2,z2是平面内两个不共线向量，ijk计算行列式x1y1z1＝aibjck，x2y2z2文档实用标准则平面的法向量为 n a,b,c．文档实用标准考点2 用空间向量求解二面角（一）用法向量解二面角用法向量求解二面角时遇到一个难题：二面角的取值范围是 [0, ]，而两个向量的夹角取值范围也是 [0, ]，那用向量法算出的角是二面角的平面角呢还是它的补角？如果是求解异面直线所成的角或直线与平面所成的角，只要取不超过的那个角即可，但对二面角却是个难题 .笔者经过思考，总结出一个简单可行的方法，供读者参考 .2uurn2uurn1图一用法向量解二面角首先要解决的问题就是：两个法向量所夹的角在什么情况下与二面角大小一致？其次，如何去判断得到的法向量是否是我们需要的那个方向？uruur对第一个问题，我们用一个垂直于二面角棱的平面去截二面角（如图一） ，两个平面的法向量 n1,n2则应分别垂直于文档实用标准uruur该平面角的两边.易知，当n1,n2同为逆时针方向或同为顺时针方向时，它们所夹的解即为 .所以，我们只需要沿着二面角棱的方向观察，选取旋转方向相同的两个法向量即可 .或者可以通俗地理解，起点在半平面上的法向量，如果指向另一个半平面，则称为“向内”的方向；否则称为“向外”的方向 .两个法向量所夹的角与二面角大小相等当且仅当这两个法向量方向一个“向内”，而另一个“向外”.zrnO yx图二对第二个问题，我们需要选取一个参照物.在空间直角坐标系中，我们可以选择其中一个坐标轴（如z轴），通过前面的办法，可以确定法向量的方向，再观察该法向量与xOy平面的关系，是自下而上穿过xOy平面呢，还是自上而下r→z坐标为正即可；若是第二种情形，穿过xOy平面？若是第一种情形，则n与OZ所夹的角是锐角，只需取法向量的文档实用标准r→z坐标为负即可．若法向量与xOy平面平行，则可以选取其它如yOz平则n与OZ所夹的角是钝角，只需取法向量的面、zOx平面观察．（二）用半平面内的向量解二面角由二面角的平面角定义，由棱上一点分别在两个半平面内作棱的垂线，这样构成的角即为二面角的平面角．如果分别在两个半平面内作两个向量（如图） ，起点在棱上且均垂直于棱，可以看出，这两个向量所夹的角，与二面角的大小是相等的．这种方法与用法向量解二面角相比，其优点是向量的方向已经固定，不必考虑向量的不同方向给二面角大小带来的影响．文档实用标准考点3 空间直线与空间平面的向量形式在平面解析几何中，曲线上的动点可以用坐标表示，通过对变量的运算达到求值、证明的目的．在立体几何中借用向量，直线、平面上的点也可以用参数来表示，通过对参数的运算，同样可以达到求值、证明的目的．1．空间直线：如果l为经过已知点 A且方向向量为a的直线，那么点P在直线l上的充要条件是存在实数 t，满足uuur r等式AP ta，或对任一点 O（通常取坐标原点），有uuur uuur rOP OA ta这是空间直线的向量形式．2．空间平面：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对s、t，使uuuruuuruuurMPsMAtMB,或对空间任一定点O（通常取坐标原点），有uuuruuuuruuuruuurOPOMsMAtMB.这是空间平面的向量形式．文档实用标准文档实用标准四、例题精析【例题１】如图，在四棱锥 S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱 SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；(Ⅱ)设SD＝2CD，求二面角A－EF－D的大小；SFD CA BE文档实用标准【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系 D xyz．设A(a，0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)，aab，uuurb．，，，，，EF，0，2222zSG FHDCyAEBxb，则uuurb．，，AG，0，22uuuruuur平面SAD，EF平面SAD，EFAG，EF∥AG，AG文档实用标准所以EF∥平面SAD．，，，，，，，，，1F1，，，，，．22ur平面AEFG与x轴、z轴的交点分别为A(1,0,0)、G(0,0,1)，与y轴无交点，则法向量n1(1,0,1)，在CD延长线上取点H，使DH＝AE，则DH∥AE，所以AH∥ED，由（1）可知AG∥EF，所以平面AHG∥平面EFD，平面AHG与x轴、y轴、z轴的交点分别为A(1,0,0)、H(0,－1uur(1,2,1)，设二面角A－EF－D的大小为,0)、G(0,0,1)，则法向量n22，则uruurn1n23，即二面角－－的大小为3cosuruurarccos．n1n23AEFD3文档实用标准【例题２】 已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点.（1）求二面角CAM B的大小；（2）求二面角AMC B的大小.文档实用标准→【解析】如图建立空间直角坐标系，则对二面角 CAM B而言， AD是平面AMB的法向量（向内），易知平面ACM符合“向外”方向的法向量是自下而上穿过xOy选取上述法向量，则为“向外”的方向，平面正向所夹的角是钝角.

→所夹的角是锐角.对二面角AMCB而言，平面ACM平面，所以与AZBCM就应选取“向内”的方向，此时是自上而下穿过xOy平面，与z轴zPMAByDCxur（1）如图，以AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则平面AMB的法向量为n1＝(1,0,0),设uur平面ACM的法向量为n2＝(x,y,z).文档实用标准由已知C（1,1,0),P(0,0,1),B(0,2,0)，则M(0,1,1),2→→1).∴AC＝(1,1,0),AM＝(0,1,2uuruuurxy0,n2AC0,取y＝1，则x＝1,z＝2，由uuruuuury1z0.n2AM0.2uur1,2).uur→）.∴n2＝(1,（满足n2·AZ>0uruur设二面角CAMB的大小为，则cosn1n21＝uruur,n1n26∴所求二面角的大小为arccos6.6uur（2）选取（1）中平面ACM的法向量n2＝(1,1,2)，设平面BCM的法向量为uurn3＝(x,y,z).→1,0),→1),BC＝(1,BM＝(0,1,2文档实用标准uuruuurxy0,n3BC0,1由uuruuuurn3BM0.yz0.2uuruuruur取z＝－2，则y＝－1,x＝－1，n3＝(－1,－1,－2)，则n2，n3所夹的角大小即为二面角A－MC－B的大小，uuruur设为，cos＝n2n36，uuruur3n2n36∴所求二面角的大小为－arccos.3文档实用标准【例题３】 如图，已知长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是BB1的中点．（1）求二面角E－AC1－B的大小；（2）求二面角C1－AE－B的大小．文档实用标准→→→→→【解析】在第（1）题中，只需在AC1上找到两点G、H，使得GB、HE均与AC1垂直，则GB、HE的夹角即uuuruuuuruuuruuuruuuruuuuruuur→为所求二面角的大小．如何确定G、H的位置呢？可设GAAC1，GBGAABAC1AB，这样向量GB就用参→→→H点．第（2）题方法类似．数表示出来了，再由GB·AC1＝0求出的值，则向量GB即可确定，同理可定出以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),B1(0,0,2),C1(1,0,2),→＝(1,→E(0,0,1)．AC1－1,2),AB＝(0,－1,0).uuuruuuur（1）设GAAC1(,,2)，则zuuuruuuruuur(,1,2),GBGAAB→→＝0＋(＋1)＋4＝0，由GB·AC1H解得：1，x6G→151y∴＝(GB,,).663文档实用标准→11→→图六同理可得：＝0．HE＝(,,0)，HE·AC122→ →GB、HE的夹角等于二面角 E－AC1－B的平面角．→→cos<GB,HE>＝uuuruuuruuuruuur1515GBHE6GB2HE,uuuruuuruuuruuur3025GBHE6GB2HE∴二面角E－AC1－B的大小为arccos15.5→在AE上取点M、（2）AE＝(0,－1,1),uuuruuur(0,,)，MAAEuuuruuuruuur(0,1,),则MBMAAB→→＝0得：＋1＋＝0，解得：y由MB·AE1(0,,).2

z，设NxM＝1→＝，∴MB图七2文档实用标准同理可求得：→＝(1,11→→NC1,),NC1·AE＝0.22→→∴MB、NC1的夹角等于二面角C1－AE－B的平面角．uuuruuuur11→→>＝MBNC1443cos<MB,NC1uuuruuuur,MBNC113322∴二面角C1－AE－B的大小为arccos(3).3文档实用标准五、课堂运用【基础】１.在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(1，1，2)．若S1，S2，S3分别是三棱锥D-ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()A．S1＝S2＝S3．S2＝S1且S2≠S3BC．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1文档实用标准【解析】设顶点D在三个坐标平面 xOy、yOz、zOx上的正投影分别为 D1、D2、D3，则AD1＝BD1＝2，AB＝2，111∴S1＝×2×2＝2，S2＝SOCD2＝×2×2＝2，S3＝SOAD3＝×2×2＝2．222∴选D．【答案】D文档实用标准２.求过点M1(2,0,1),M2(1,1,0),M3(0,1,1)的平面的法向量．文档实用标准【解析】方法一：由给定平面上的三个点的坐标，可知平面上的两个向量M1M21,1,1，M1M32,1,0，设平面的法向量为nx,y,z，由M1M2n0，得xyz0，M1M3n02xy0令x1，得平面的一个法向量n1,2,1．方法二：设过点M1(2,0,1),M2(1,1,0),M3(0,1,1)的平面的方程为AxByCzD0，AD2ACD032代入点的坐标，得ABD0，解之B2D，即DDzD0，xDyBCD03333CD3所以平面的方程为x2yz30，所以平面的一个法向量n1,2,1．方法三：由给定平面上的三个点的坐标，可知平面上的两个向量M1M21,1,1，M1M32,1,0，ijk因为这两个向量不平行，计算111i2jk．故所求平面的一个法向量n1,2,1．210文档实用标准３．已知正方体AC1的棱长为a，E是CC1的中点，O是对角线BD1的中点，（1）求证：OE是异面直线CC1和BD1的公垂线； （2）求异面直线CC1和BD1的距离．文档实用标准【解析】（1）解法一：延长EO交A1A于F，则F为A1A的中点，∴EF//AC，D1 C1A1B1EOD CA B∵CC1AC，∴C1CEF，连结D1E,BE，则D1EBE，又O是BD1的中点，∴OEBD1，∴OE是异面直线CC1和BD1的公垂线．解法二：以D为原点，分别以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，于是有D1000000aaa0a，(,,a),C(,a,),C1(,a,a),B(a,a,),O(,,2),E(,a,)222文档实用标准BD1(a,a,a)，1(0,0,a)，EO(a,a,0)，CC22BD1EO0，CC1EO0，所以OE是异面直线CC1和BD1的公垂线．（2）由（1）知，OE为异面直线CC1和BD1的距离．所以OEEOa2a22a．442文档实用标准【巩固】１．已知正方体ABCD1111的棱长为a，求B1C与BD间的距离．ABCDD1 C1A1 B1D COA B文档实用标准【解析】解法一：（转化为B1C到过BD且与B1C平行的平面的距离）连结A1D，则A1D//B1C，∴B1C//平面A1DB，连AC1，可证得AC1BD，AC1AD，∴AC1平面A1DB，∴平面AC1平面A1DB，且两平面的交线为A1O，过C作CEAO1，垂足为E，则CE即为B1C与平面A1DB的距离，也即B1C与BD间的距离，在A1OC中，1OCA1A1CEAO1，∴CE3a．故B1C与BD间的距离3a．2233解法二：以D为原点，分别以DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0)，B1(a,a,a),A1(a,0,a),D(0,0,0)，由（解法一）求点C到平面A1DB的距离CE，设E(x,y,z)，∵E在平面A1DB上，uuuuruuuuruuura,y,za)(a,0,a)(0,a,a)，∴A1EA1DA1B，即(x文档实用标准xaauuuruuuuruuuruuur(x,y2,z)(a,0,a)0∴ya，∵CEA1D,CEBD，∴(x,y2,z)(a,a,0)，zaaa0uuur1a,1a,1a)，∴CE3a．解得：2，∴CE(33333解法三：直接求B1C与BD间的距离．设B1C与BD的公垂线为OO1，且O1B1C,OBD，uuuruuur设O(x,y,z)，设DOBD，xa则(x,y,z)(a,a,0)，∴ya，∴a,a,0)，O(z0同理O1(a,a,a)，uuuuruuuuruuuruuuuruuuuruuuuruuuruuuuruuuur∴OO1(()a,aa,a)，∴OO1BD,OO1B1C，∴OO1BD0,OO1B1C0，2,uuuur1a,uuuur3a．解得：1，OO1(1a,1a)，|OO1|333333文档实用标准２．如图所示，三棱柱 ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC12.(1)证明：AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为 3，求二面角A1-AB-C的大小．文档实用标准文档实用标准【解析】方法一：(1)证明：因为A1D⊥平面ABC，A1D?平面AA1C1C，故平面AA1C1C⊥平面ABC.又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C．连接A1C，因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1⊥A1C．由三垂线定理得 AC1⊥A1B．(2)BC⊥平面AA1C1C，BC?平面BCC1B1，故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1.作A1E⊥CC1，E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1.又直线AA1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E＝ 3.因为A1C为∠ACC1的平分线，所以 A1D＝A1E＝ 3．作DF⊥AB，F为垂足，连接A1F．由三垂线定理得 A1F⊥AB，故∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角．由AD＝AA21－A1D2＝1，得D为AC中点，5A1D1DF＝，tan∠A1FD＝＝15，所以cos∠A1FD＝．5DF4文档实用标准1所以二面角A1-AB-C的大小为arccos ．4方法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内．(1)证明：设A1(a，0，c)．由题设有a≤2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，→，1，0)→，0，0)→→→→→＝(a，－1，则AB＝(－2，AC＝(－2，AA1＝(a－2，0，c)，AC1＝AC＋AA1＝(a－4，0，c)，BA1文档实用标准c)．→（a－2）2＋c2＝2，即a2－4a＋c2＝0.①由|AA1|＝2，得→→⊥A1B．又AC1·BA1＝a2－4a＋c2＝0，所以AC1→→→→→(2)设平面BCC1B1的法向量m＝(x，y，z)，则m⊥CB，m⊥BB1，即m·CB＝0，m·BB1＝0.因为CB＝(0，1，0)，→→，c)，所以y＝0且(a－2)x＋cz＝0．BB1＝AA1＝(a－2，0令x＝c，则z＝2－a，所以m＝(c，0，2－a)，→→→2c故点A到平面BCC1B1|CA·m|＝c．的距离为|CA|·|cos〈m，CA〉|＝＝|m|c2＋（2－a）2又依题设，A到平面BCC1B1的距离为3，所以c＝3，→，3)．代入①，解得a＝3(舍去)或a＝1，于是AA1＝(－1，0设平面ABA1的法向量n＝(p，q，r)，→→→→3r＝0，且－2p＋q＝0.则n⊥AA1，n⊥AB，即n·AA1＝0，n·AB＝0，－p＋文档实用标准令p＝3，则q＝23，r＝1，所以n＝(3，23，1)．又p＝(0，0，1)为平面ABC的法向量，故n·p1cos〈n，p〉＝＝．|n||p|4所以二面角A1-AB-1C的大小为arccos．4文档实用标准【拔高】１．如图，已知ABCD为边长是4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且 GC＝２，求点B到平面EFG的距离．zＧxＤＣＦＡＥＢy文档实用标准→→→【解析】分别以CD、CB、CG为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2),B(0,4,0).∴→－2,0),→－4,2),EF＝(2,EG＝(－2,设P是平面EFG上的动点，则存在实数s,t，使得→→→→CP＝CE＋sEF＋tEG(2,4,0)＋s(2,－2,0)＋t(－2,－4,2)(2s－2t＋2,4－2s－4t,2t),P(2s－2t＋2,4－2s－4t,2t),→BP＝(2s－2t＋2,－2s－4t,2t).当且仅当BP⊥EF且BP⊥EG时，BP⊥平面EFG，BP即为所求的点B到平面EFG的距离．文档实用标准→→s=-72(2s-2t+2)–11由→→-2(2s-2t+2)，解得：．–4(-2s-4t)+4t=0t=3BP·EG=011∴→226BP＝(,,),111111∴点B到平面EFG的距离即为→211|BP|＝.11解法二：因为平面EFG的竖截距为2，可设平面EFG的方程为zAx By 1，将E(2,4,0),F(4,2,0)的坐标分别代入，得212A4B1Axyz，解之6，所以平面EFG的方程为14A2B11662B6即xy3z60文档实用标准点B(0,4,0)0406211．到平面EFG的距离为119＝11文档实用标准２．如图，正三棱柱 ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）求二面角 A－A1D－B的大小；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．AA1CD C1BB1文档实用标准【解析】（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．Q△ABC为正三角形，AO⊥BC．Q在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，AO平面BCC1B1．zAA1FCODC1O1yBB1xuuuruuuuruuur取B1C1中点O1，以O为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(10，，0)，文档实用标准D(11，，0)，A1(0，2，3)，A(0，0，3)，B1(12，，0)，uuur，，uuur(2，1，0)，uuur，，．3)，BDBA1(AB1(12123)AB1BD＝－2＋2＋0＝0，AB1BA1＝－1＋4－3＝0，∴AB1BD，AB1BA1，AB1⊥平面A1BD．uuuur（Ⅱ）设P是直线A1D上的动点，由（Ⅰ）可得DA1(1,1,3)，则存在tR，使得uuuruuuruuuurOPODtDA1(1,1,0)t(1,1,3)(t1,t1,3t)，∴P(t1,tuuur(t1,t1,33t)。1,3t),PAuuuruuuur3．当PA⊥DA1时