立体几何解答题精选(精较版)

立体几何解答题1.（2014天津理 17）如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA 底面ABCD，AD AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点. P（1）证明 ：BE DC；E（2）求直线 BE与平面PBD所成角的正弦值；D（3）若F为棱PC上一点，满足 BF AC，求二面角F- AB-P的余弦值.

A

CB2.（2014浙江理 20）如图，在四棱锥 A BCDE中，平面 ABC 平面BCDE， CDE BED 90，AB CD 2,DE BE 1,AC 2. A（1）证明：DE 平面ACD;求二面角B AD E的大小.D CE B3.（2015山东理17）如图所示，三棱台 DEF ABC中，AB 2DE，G，H分别为AC，BC的中点.（1）求证： BD∥平面FGH；（2）若CF 平面ABC，AB BC，CF DE，BAC 45，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小 .DFECAGHB4.（2015浙江理17）如图所示，在三棱柱ABCABC中，BAC90，ABAC2，AA4，A在底11111面ABC的射影为BC的中点，D为BC的中点.11（1）证明：AD平面ABC；11（2）求二面角A1BDB1的平面角的余弦值.5.（2015重庆理19）如图所示，在三棱锥PABC中，PC平面PABC,PC3，ACBπ.D，E分别为线段AB，BC上的点，2且CDDE2，CE2EB2.（1）证明：DE平面PCD；（2）求二面角APDC的余弦值.CEBAD6.（2016北京理17）如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD5.P（1）求证：PD平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；DA3AM的值；若不B（）在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD?若存在，求APC存在，说明理由 .7.（2017全国 3卷理科 19）如图所示，四面体 ABCD中，△ABC是正三角形， △ACD是直角三角形，ABD CBD，AB BD．（1）求证：平面 ACD 平面ABC；（2）过AC的平面交 BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角 D–AE–C的余弦值．（天津理）如图所示，在三棱锥PABC中，底面ABC，BAC90点D，E，N分别为棱PA，8.201717.PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.（）求证：MN//平面BDE；（）求二面角CEMN的正弦值；1237，求线（）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为21段AH的长.

PDEMAB N C9．（2018新课标1）（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．10（2018新课标2）．（12分）如图，在三棱锥 P﹣ABC中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．1）证明：PO⊥平面ABC；2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．11（2018新课标3）．（12分）如图，边长为 2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，M是 上异于C，D的点．1）证明：平面AMD⊥平面BMC；2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．参考答案1.（1）证明：如图，取 中点 ，连接 ， .由于分别为的中点，故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以.因为PA底面，故PACD，而CDDA，从而CD平面，因为AM平面，于是CD，又，所以BECD.(2)连接，由（Ⅰ）有CD平面，得CDPD，而，故PDEM.又因为，为的中点，故PDAM，可得PDBE，所以PD平面，故平面BEM平面.所以直线在平面内的射影为直线，而BEEM，可得EBM为锐角，故EBM为直线与平面所成的角。依题意，有，而为中点，可得，进而.故在直角三角形中，tanEBMEMAB13.BEBE，因此sinEMB23所以，直线与平面所成角的正弦值为.（方法二 向量法）()(2,2,0)(0,2,0)(0,0,2)依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），可得B1,0,0，C，D，P.由E为棱PC的中点，得E(1,1,1).（Ⅰ）证明：向量BE=(0,1,1)，DC=(2,0,0)，故BE DC 0. 所以，BE DC.BD=(-1,2,0)PB=()（Ⅱ）解：向量，1,0,-2.n=()PBDnBD0x2y0设x,y,z为平面的法向量，则即()nPB0x2z0y=1n=PBD不妨令，可得2,1,1为平面的一个法向量.于是有cosn,BEnBE23.nBE623所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为3.()()3()()BC=CP=-2,-2,2AC=2,2,0AB=（Ⅲ）解：向量1,2,0，，，1,0,0.由点F在棱PC上，设CF=lCP，0＃l1.)BF=BC+CF=BC+lCP=(2l,2-2l,2l故1-.由BF^AC，得BF?AC0，因此，21-2l+22-2l=0，解得3113..即()()l=4BF,,222设n1=(x,y,z)为平面FAB的法向量，则n1AB0x0即113n1BF02xyz0=(0,-3,1)为平面FAB的一个法向量.22不妨令z=1，可得n1取平面ABP的法向量n2=(0,1,0)，则cosn,n=n1×=-3=-310.n212×10′10n1n1易知，二面角F-AB-P是锐角，所以其余弦值为310.102.（I）在直角梯形 BCDE中，由DE BE 1，CD 2得，BDBC2，由AC2,AB2，则AB2AC2BC2，即ACBC，又平面ABC平面BCDE，从而AC平面BCDE，所以ACDE，又DEDC，从而DE平面ACD；（II）方法一：作BFAD，与AD交于点F，过点F作FGDE，与AE交于点G，连结BG，由（I）知，DEAD，则FGAD，，所以BFG是二面角BADE的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2BD2BC2，得BDBC，又平面ABC平面BCDE，得BD平面ABC，从而，BDAB，由于AC平面BCDE，得：ACCD，在RtACD4中，由CD2，AC2，得AD6，AFDCGEB23在RtAED中，DE1，6，得AE7，在RtABD中，2，AB2，，得BF3AF2AD，从而GF2，在ABE,ABG中，利用余弦定理分别可得cosBAE57,BG2，在BFG33143中，cosBFGGF2BF2BG23，所以BFG，即二面角BADE的大小是．2BFGF266方法二：以D为原点，分别以射线DE,DC为x,y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，由题意可知各点坐标如下：D0,0,0,E1,0,0,C0,2,0,A0,2,2,B1,1,0，设平面ADE的法向量为mx1,y1,z1，平面ABD的法向量为nx2,y2,z2，可算得AD0,2,2，DB1,1,0,AE1,2,2，由mAD002y12z100,1,2，由nAD0得，，可取mmAE0x12y12z10nBD0得，02y22z20，可取n1,1,2，于是cosm,nmn3，由题意可知，所求二面角是锐角，y2mnx202故二面角BADE的大小是．6ZADCYE Bx3.解析（1）证法一：连接DG，CD，设CDGFO，连接OH．在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DF//GC，DFGC，F所以四边形DFCG为平行四边形，D则O为CD的中点．EO又H为BC的中点，所以OH//BD．C又OH平面FGH，BD平面FGH，AGH所以BD//平面FGH．B证法二：在三棱台

DEF

ABC

中，由

BC

2EF

，H

为

BC

的中点，可得

BH//EF，

BH

EF，所以四边形

BHFE为平行四边形，可得

BE//HF

．在△ABC中，

G

为

AC

的中点，

H

为

BC的中点，所以

GH//AB．又

GH

HF

H

，所以平面

FGH//

平面

ABED．因为

BD

平面

ABED，所以

BD//平面

FGH．（2）解法一：设

AB

2，则

CF

1．在三棱台

DEF

ABC

中，G

为AC的中点，由DF1ACGC，可得四边形DGCF为平行四边形，因此DG//FC．2又FC平面ABC，所以DG平面ABC．在△ABC中，由ABBC，BAC45，G是AC中点，所以ABBC，GBGC，因此GB，GC，GD两两垂直．以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz，所以G0,0,0，B2,0,0，C0,2,0，D0,0,1，可得H2,2,0，F0,2,1，22z2,2,0F故GH，GF0,2,1．D22E设nx,y,z是平面FGH的一个法向量，xy0CynGH0AG则由，可得z，HnGF02y0B解得平面FGH的一个法向量nx1,1,2．因为GB是平面ACFD的一个法向量，GB2,0,0，所以cosGB,nGBn21GBn22．2所以平面FGH与平面ACFD所成（锐角）的大小为60．解法二：作HMAC于点M，作MNCF于点N，连接NH．由FC平面ABC，得HMFC．DFC，所以HM又FCAC平面ACFD，E因此GFNH，所以MNH即为所求的角．NM1BG2C在△BGC中，MH//BG，MH，AG22H由△GNM∽△GCF，可得MNGM，BFCGF6平面ACFD，MN平面ACFD，从而MN．由HM6得HMMN，因此tanMNHHM3，所以MNH60，MN所以平面FGH与平面ACFD所成（锐角）的大小为60．4.解析（1）设BC的中点为E，连接AE，则A1E平面ABC，所以AEAE.11又AE//AD1，所以AE1AD1．又AB11AC11,所以AD1BC11.而BC11//BC,所以ADBC.又BCAEE，所以AD平面A1BC．111（2）解法一：作A1FBD，垂足为F，连接B1F，如图（1）所示则AEEB2，A1BA1A4．AEB90.1所以ADDB,ABBB，所以△ABD≌△BBD111111.由A1FBD，得B1FBD，因此A1FB1即为二面角A1BDB1的平面角．又DAB90，所以BD32，所以A1FB1F4.13在△AFB中，由余弦定理得，cosA1FB11．118解法二（向量法）：以CB的中点E为原点，分别以射线EAEB,,EA1为x,y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz，如图（2）所示．由题意知各点坐标如下：A1(0,0,14)，B(0,2,0)，D(2,0,14)，B1(2,2,14)．因此A1B(0,2,14)，BD(2,2,14)，DB1(0,2,0)．设平面A1BD的法向量为m(x1,y1,z1)，平面B1BD的法向量为n(x2,y2,z2)．由mA1B0,即2y114z10，可取m(0,7,1)．mBD0,2x12y114z10由nDB10,即2y20，可取n(7,0,1)．nBD0,2x22y214z20于是cosm,nmn1．由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，mn8故二面角A1BDB1的平面角的余弦值为1．8zC1DC1A1B1A1DFB1FCEACEBxAyB图（1）图（2）5.解析 （1）证明：因为 PC 平面ABC，DE 平面ABC，所以PC DE.由CE2，CDDE2得△CDE为等腰直角三角形，故CDDE．又PCCDC，且PC,CD平面PCD，故DE平面PCD．（2）由（1）知，△CDE为等腰直角三角形，DCE4，如图所示，过点D作DF垂直CE于F，易知DFFCFE1，又EB，故FB2．由ACBDFFB212，得DF//AC，ACBC3，故AC3DF3．以点C为坐标原点，22分别以CA，CB，CP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，C0,0,0，P0,0,3，A3,0,0，2E0,2,0，D1,1,0，ED1,1,0，，1，1,02.设平面PAD的法向量为n1x1,y1,z1，z0，n1DA0，P则n1DPx1y13z10，令x12，即1y10x1CFE2y1,z1，故可取1ADBy2,1,1．则x由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为ED，即n21,1,0.则cosn1,n2n1n23，又二面角A﹣PD﹣C为锐二面角，n1n26所以二面角A﹣PD﹣C的余弦值为3．66.解析（1）如题中的图所示，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD,ABAD，得AB平面PAD，所以PDAB.又因为PDPA,PA平面PAB，AB平面PAB，ABPAA，所以PD平面PAB.PNAMDBC2）如图所示，设棱AD的中点是O，由题设可得直线OC,OA,OP两两互相垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.可得O(0,0,0),A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)，所以PC(2,0,1),DP(0,1,1)，PB(1,1,1).设平面PCD的一个法向量是n(x,y,z)，得nPC2xz0，所以可得n(1,2,2).nDPyz0设直线PB与平面PCD所成角的大小为，nPB11212(1)33，可得sin2nPB12(2)222121213333即直线PB与平面PCD所成角的正弦值是.3（3）设棱PA上存在点M(x,y,z)，使得BM平面PCD，并设AM(0剟1)，得AMAP，AP即(x,y1,z)(0,1,1)，即(x,y,z)(0,1,).得M(0,1,),BM(1,,).由BM平面PCD，平面PCD的一个法向量是n(1,2,2)，得nBM(1,2,2)(1,,)1220，解得1平面PCD，所以BM平面PCD..又BM4即在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，且AM1.AP4zPMD

AO yBCx7．解析 ⑴如图所示，取 AC的中点为O，联结BO，DO.因为△ABC为等边三角形，所以 BO AC，AB BC.AB BC由 BD BD ，得△ABD △CBD，所以AD CD，即△ACD为等腰直角三角形，ABD DBC从而 ADC为直角.又O为底边AC中点，所以 DO AC.令ABa，则ABACBCBDa，易得ODa，OB3a，22222DOB，即ODOB.所以ODOBBD，从而由勾股定理的逆定理可得2OD ACOD OB由 AC OB O ，所以OD 平面ABC.AC 平面ABCOB 平面ABC又因为OD平面ADC，由面面垂直的判定定理可得平面ADC平面ABC.DCEOBA⑵由题意可知VDACEVBACE，即B，D到平面ACE的距离相等，即点E为BD的中点.以O为坐标原点，OA为x轴正方向，OB为y轴正方向，OD为z轴正方向，设ACa，建立空间直角坐标系，则O0,0,0，Aa,0,0，D0,0,a，B0,3a,0，E0,3a,a，22244易得AEa,3a,a，ADa,0,a，OAa,0,0.244222设平面的法向量为n1=x1,y1,z1，平面AEC的法向量为n2=x2,y2,z2，AEDAEn103,1,3；AEn20，取n20,1,3.则n1，取n1OAn20AD0设二面角DAEC为，易知为锐角，则cosn1n27.n1n27zDCEOByAx8.解析 如图所示，以 A为坐标原点， AB,AC,AP 为基底，建立如图所示的z空间直角坐标系，依题意可得 A(0，0，0)， B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，PD(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)， N(1，2，0)．DEMB A Cx N y（1）证明：DE 0,2,0，DB 2,0,2.设n (x,y,z)为平面BDE的一个法向量，nDE 0则 ，即nDB 0

2y 0，不妨设z1，可得n (1,0,1) .2x 2z 0又MN1,2,1，可得MNn0，因为MN平面BDE，所以MN//平面BDE．（2）易知n1(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n2(x,y,z)为平面EMN的一个法向量，则n2EM0，因为n2MN0EM(0,2,1)，MN(1,2,1)，所以2yz0x2y.z0不妨设y1，可得n2(4,1,2).因此有cosn1,n2n1n24n1,n215|n1||n2|，于是sin.2121所以二面角CEMN的正弦值为15.21（3）依题意，设AHh0剟h4，则H（0，0，h），进而可得NH(1,2,h)，BE(2,2,2).由已知得|NHBE||2h2|7cosNH,BEh252321|NH||BE|

，整理得10h2 21h 8 0，解得h8或h1.所以线段AH的长为8或1.52529.【解答】（1）证明：由题意，点 E、F分别是AD、BC的中点，则 ， ，由于四边形ABCD为正方形，所以 EF⊥BC．由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF．又因为BF?平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．2）在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，联结DH，由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求 PH，因为DE∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又因为△PDF≌△CDF，所以∠FPD=∠FCD=90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE，=，故VF﹣PDE因为BF∥DA且BF⊥面PEF，所以DA⊥面PEF，所以DE⊥EP．设正方形边长为在△PDE中，

2a，则，

PD=2a，DE=a所以

，故VF﹣PDE=

，又因为

，所以

PH=

=

，所以在△PHD中，sin∠PDH= = ，即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为： ．10