大一微积分复习资料

10—1110—11学年第一学期大学的考试比较简单，主要以书本为主，下面的复习指导可作提引作用。“微积分”期末复习指导第一章函数本章重点复合函数及分解，初等函数的概念。复习要求1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。2、 理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。3、 牢记常函数、幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中⑴.对于对数函数y=Inx不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数y=ex互为反函数的关系，能熟练将幕指函数作如下代数运算：uv=evmu⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。5、 知道分段函数，隐函数的概念。.三.例题选解例1.试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？⑴.y=esin2xz1、⑵.y=arctan（i—-^）分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。解：⑴.y=eu,u=v2,v=sinx

⑵.y=arctanu,u=—,v=x2+1.例2.y=arccotx的定义域、值域各是什么？arccotl=?答：y=arccotx是y=cotx,xe（0,冗）的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知y=arccotx的定义域是Df=（一8,+8），值域为Z=（0,兀）.arccotl=—4四.练习题及参考答案f（x）=arctanx则f（x）定义域为，值域为f（1）=;f（0）=:f（x）=arcsinx分解下列函数为简单函数的复合：⑴.y=e-3x⑵.y=ln(x3-1)答案：1.(-8+8),1.(-8+8),(-号，9,与，02 2,42.L1,1],冗冗—t,—冗冗,—,—L2 2」23.3.⑴.y=eu,u-=—3X1—cosa(X)a2(x)(参见教材P79)(2).y=lnu,u=x3一1.自我复习：习题一.(A)55.⑴、⑵、⑶;习题一.(B).11.第二章极限与连续本章重点极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。复习要求了解变量极限的概念，掌握函数f(x)在琮点有极限的充要条件是：函数在X。点的左右极限都存在且相等。理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如：limxsin—=0,lim血X=0XT0 X XT8X会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有：当a(X)0时，有：sina(x)〜a(x)； tana(x)〜a(x)ea(x)—1〜a(x)；ln(1+a(x))〜a(x)；掌握两个重要极限：sinxyTOC\o"1-5"\h\z.lim =1XT0X1 —.lim(1+)x=e=lim(1+x)x\o"CurrentDocument"XT8 X XT0记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限(I)的如下扩展形式求1④型未定式极限：k 1lim(1+)x=ek=lim(1+kx)xXT8 X XT0.， k、 ., ■、上lim(1一)x=e-k=lim(1—kx)xXT8 X XT0掌握函数连续的概念，知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f(x)在分段点X0处连续的充要条是：函数在x0点极限存在且等于f(X0)，即：limf(x)=f(x)、 0xTx0当分段函数在分段点X0的左右两边表达式不相同时，函数f(x)在分段点X0处连续的充要条件则是：limf(x)=limf(x)=f(x).XTX— XTX+ 00 0掌握函数间断点及类型的判定。函数的不连续点称为间断点，函数f(x)在x0点间断，必至少有下列三种情况之一发生:⑴、f(x)在X0点无定义；

⑵、limf(x)不存在；xTX0⑶、存在limf(x)，但limf(x)。f(x).X* xTx0 0若x0为f(x)的间断点，当lim/(x)及xTX0+limf(x)都存在时，称xo为f(x)的第一类间断xTX0点，特别limf(x)=limf(x)时(即limf(x)XTX°+ xTx°_ xTxo存在时)，称xo为f(x)的可去间断点；limf(x)丰limf(x)时称x°为f(x)的跳XTx+ xTx-00跃间断点。不是第一类间断点的都称为第二类间断点。了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质，特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式(2.6)；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。记f(x)= ,xtanx则f⑴=1ta；xlimf(x)=limTOC\o"1-5"\h\zxT0+ xT0+tanx =1limf(x)=lim即x=-1。limtanx =1xT0- xT0- x xT0+即D也不对，剩下的B就是正确答案。⑵.由于: 2x21+2x2一1代换2 x2lim =lim=lim——=1xT0 sin2x xT0x2 xT0x2应选择D.例3.求极限：ln(1-x2)⑴lim xT01一cosx三.例题选解三.例题选解⑵lim(x—2)x

xT8x一5例1.单项选择题⑴下列极限中正确的是()「sinxA.lim =1B.xT8.1sin—lim―1^xT3_xC.sinx2_lim =1xT0 x「tanx」D.lim =1xT0x⑵当xT0时，顼1+2x2-1是sin2x的( )A.低阶无穷小； B.高阶无穷小；同阶无穷小，但不是等价无穷小;等价无穷小；分析与解：⑴.A与C显然都不对，对于D,解：⑴此极限为0型•.•当xT0时，有ln(1一x2)〜(-x2)， 1一cosx-ln(1-x2) -x2...lim =lim =-2xT01-COSx xT0xL万⑵此极限为18型，可用重要极限(II)。lim(_-)x=lim(1+ —)xxT8x一5 xT8x-53 x—5_J_=lim(1+——)3-x—5』xs x—5-xx-xx-5xs3 x—5=lim(1+—)3x一5=e3.(lim—-—-x=lim=3)xsx—5 xsx—5四.练习题及参考答案填空⑴.当xT0时，(gx—1)sin2x与x2—9 ,>、,例2.判断函数y= 的间断点x2—x—6G1+x—1)ln(1+2x)相比，是 无穷小；判断其类型。x2—9 (x—3)(x+3)解：由于y=x2—x—6(x—3)(x+2)⑵.lim(xT8f(xf(x)=<⑴.A.limxT0tanxWx=3,x=—2是函数y无定义的点，因而是函数y的间断点。(x—3)(x+3) x+36...lim =lim=xF(x-3)(x+2)xt3x+2 5.x=3为函数y的可去间断点；(x—3)(x+3) x+3■/lim =lim=8x.—2(x—3)(x+2)xT—2x+2x=—2为函数y的第二类(无穷型)间断。例3.函数—cos— 2x2k在点x=0处连续，求常数k.分析与解：由于分段函数f(x)在分段点x=0的x[cos(3x)一1]tan—⑶.lim =xT0(g2x—1)ln(1+5x2)单项选择题下面说法正确的是点x=—3,x=2都是可去间断点；点x=2是跳跃间断点，点x=3是无穷间断点；点x=2是可去间断点，点x=3是无穷间断点；点x=2是可去间断点，点x=3是跳跃间断点；⑵.下面正确的是... ・1cBlimxsin—=0；x左右两边表达式相同，因此f(x)在x=0连续的充要条件是limf(x)=f(0)=k.xT0C.limxT0|tanx

x不存在;tanxD.limxT0x3答案:1.⑴.同阶而不等价的；(2).g-2；(3).—.20x x21—coslimf(x)=lim 2代换lim-8xT0 xT0 x2 xT0x2⑴.C;⑵.B.自我复习.习题二(A)11.(4).24.⑴,(4),⑺.27.⑴.(4).28.⑴，⑵.30.⑵.37.⑴，⑶.习题二(B).14.第三章导数与微分本章重点.导数的概念，导数及微分的计算.复习要求掌握函数/(X)在七处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。导数是一个逐点概念，/(x)在X0处的导数的定义式常用的有如下三种形式：f(七+Ax)-，(七)TOC\o"1-5"\h\zf(X)—11^0 0 0—。AxF AXf(X+h)-f(x)—lim o o—ht0 hf(X)一f(Xn)—lim o—.XtX0 X-X0知道导数的几何意义，会求/G)在x0处的切线方程。熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法，并能熟练应用它们求函数的导数：⑴运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导；⑵复合函数求导法；⑶隐函数求导法；⑷取对数求导法。理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。掌握函数可微,可导及连续的关系。例题选解例1.求下列函数的导数：⑴.y—f(1+x2)，求yf,y”.⑵.y=X3X,求y'..⑶.设y=eyx，求dy⑷.y—1n(1+x3)，求y"解：⑴、本题为抽象函数求导，由复合函数求导法，得：y—r(i+X2)(i+x2)—f'(1+X2).2x—2x.f'(1+x2).y〃=2尸(1+x2)+2xf"(1+x2).2x—2ff(1+x2)+4x2f〃(1+x2)⑵本题为幕指函数求导，必须用取对数求导法原方程两边取对数：1ny=、3x.1nx上式两边对x求导，视y为中间变量：y' 3 1=—.1nx+%3x-—y2w3x Xy=暧[2血x+1_—x板*[2血x+1—”3x具-2哗+1)注：本题除此方法外，也可以:y—e3x*lnxy'=e3x-lnx(——-3-lnX+v3X•—)2%'3x x⑶.•/y'=etanx.(tanx)'=etanx•sec2x:.dy=etanx•sec2xdx⑷.y'=〃6x(1+x3)一3x2-3x2 3x(2一x3)y= = (1+x3)2 (1+x3)2例2.设/(x)在x=1处可导，且/'(1)=2.求lim/(4-3x)-/⑴TOC\o"1-5"\h\zxT1 x-1分析:将/(x)在x=1处的导数的定义式理解为结构式：

r ，Ye-x2—1例4、设f(x)=，—x— x壬00x=0试讨论f(x)在x=0处的连续性及可导性。分析与解：由已知，f(0)=0;(1)讨论f(x)在x=0处的连续性。/(1)=lim/(1+)一/⑴T0其中□为Ax=x口1或Ax的函数.且当Ax—0时，T0即可.口limxT0代换e-x2—1f(x)=lim xT0x—x2lim—=0=f(0).xT0x解:f(x)在x=0处连续。W(4-3x)-/⑴xT1 x-1(2)讨论f(x)在x=0处的可导性。=limxT1/[I-3(x-1)]-/⑴-3(x-1)-(-3)=-3f'(1)=-6分段函数在分段点的导数必须用定义求f(。)=lim代x)-f(0)xT0x一0例3.求曲线x3+y3-3axy=a3在点(0,a)处的切线方程。解：显然，点(0,a)在曲线上，现求切线的斜率，即y'(0,a)曲线方程两边对X求导：3x2+3y2-y9-3ay-3axy，=0

e-x2-!-0=lim―xT0 x-0=lim竺W警lim壬=-1xT0x2 xT0x2即存在f'(0)=-1.练习题及参考答案单项选择题"穴，ay-x2解得y= y2-ax.设f(x)=〈ln(1-x2)y'(0,a)=1x2切线方程为：y一a=x

下面说法正确的是( ).A.f(x)在x=0不连续;1(1(X-1)2fhn(1-x)].f(X)在X=0连续，但不可导；f(x)在x=0可导，且f'(0)=-1；f(x)在X=0可导，且f'(0)=0.填空题f(X)在X=X0处可导，且ff(X0)=一1,则⑴ f(X+h)一/(X-h)(1)lim 0 0 = hT0 h求函数的导数或微分：1⑴y=Xx,求yf⑵y=fR(1-x)] (xv1),求y',y"⑶.y=In寸x2—1，求dy.设y3=x+cos(xy)确定y是x的函数，求当，并求出函数在点(0,1)的切线方程。dx证明：(1)若/(x)是偶函数且可导，那么/'(x)是奇函数，(2)若/(x)是奇函数且可导，那么ff(x)是偶函数，答案：1.D. 2.-23.⑴.y'=xx-2(1-lnx)(2).y，=Ef[ln(1-X)]；x-1y"=―1一f"R(1-x)](x-1)2Jx⑶).dy= dx.x2-14dy=1-ysin(x).dx3y2+xsin(xy)'切线方程：3y-x=3.自我复习:习题三(A)13;21,⑹，⑼；24.⑴，⑵;25;26.⑴，⑺;27.⑸；29.⑵，⑹，⑺；47.⑴，⑵.54.习题三(B)1；3；11.第四章中值定理与导数的应用本章重点求未定式极限的洛必达法则；应用导数判定函数的单调性，求函数的极值和最值；应用导数确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析；复习要求1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,会求定理中的&，掌握拉格朗日定理推论的意义。熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。注意:⑴洛必达法则只能直接用于求“0”型或“-”0 8型未定式的极限，对于其他类型的未定式极限，必须将其转化为“0”型或“8”型未定式才能使0 8用法则。⑵洛必达法则可以连续使用，当再次使用法则时，一定要检验法则的条件是否成立，当条件不满足时必须停止使用，改用其他求极限的方法计算.⑶).在求未定式极限时，将洛必达法则和等价无穷小代换等其它方法结合使用，可使运算更简便。掌握用一阶导数判定函数单调性的方法，并能利用函数的单调性证明不等式。掌握函数极值的概念及求函数极值方法.掌握最值的概念及其与极值的关系，能熟练求闭区间上连续函数的最大、最小值；会求经济应用问题的最值.如求最大总收入，最大总利润等.掌握函数的凹向,拐点的概念及求曲线凹向，拐点的方法.三.例题选解例1.求下列极限ex+sinx一2x一1(1).lim——xt0 xln(1+x)(2).limx2sinxxT0+2洛lim与xT0+一1x2=lim(-2x)=0. 原式=e0=1xT0+-1 1 1 f(3)lim—— 3—8型)xt0xln(1+x)(3).lim—-x ln(1+x)=limln(1+x)一x

xT0xln(1+x)（通分化为0型）xT0解:解:ln(1+x)-x /,、«、lim (代换)xT0 x-xex+sinx-2x-1⑴lim——xT0 xln(1+x)(0)嬖limex+sinx一2x-11=lim1xT0 2x（洛必达）=lim

xT0一x2x(1+x)TOC\o"1-5"\h\z洛 ex+cosx一2 ,0、—lim ()xT0 2x 0—limex一:inx (不是未定式)xT0 2二1_2.

x例2.求函数y= 的单调区间和极值，凹凸区1+x2间和拐点。x解：函数y= 的定义域为（一8,+8）1+x2(1(1+x2)2(2)原式为幕指型不定式(0。型)，利用代数变换：Uv=evlnu，得：limx2sinx=lime2sinx-lnxxT0+ xT0+-lim2sinx-lnx=exT0+(1+x2)-2x-x 1-x2y= = / ' (1+x2)2，„(-2x)-(1+x2)2-2(1+x2)-2x-(1-x2)y= (1+x2)4x(x2-3)

(1+x2)3TOC\o"1-5"\h\z其中lim2sinx-lnx (0・8)xT0+=lim2x-lnx (代换)XT0+2lnx 8=lim (—)xT0+— 8x

令y,=(1-x)(1+x)=0，得驻点x=-1,(1+x2)2x=L无不可导点。两驻点分定义域为三个子区间，列表讨论如下:x(-8,-1)-1(-1,1)1(1,+8)y'一0+0—y极小极大令yff=2x(xf3)(x+、3)=0即证在x>0时，f(x)单减。(1+x2)31+x■/f(x)=ln(1+x)+ —x—11+x=ln(1+x)一xx(—8,—③-3(-75>0)0(0酒(焰,+8)y'-0+0-0+yn拐点U拐点n拐点U得x=0，x=±T3，无y不存在的点。曲线的凹向及拐点列表讨论如下：由上面的讨论看出：f(x)<f(0)=0f〃(x)= 1--1=--^<01+x1+xx>。时，f(x)单减，有•••f(x)也单减，有f(x)<f(0)=0证毕。x函数y= 的单减区间为(一8，—1)u(1，+8)；1+X2例4.证明：对任意x>L有1单增区间为［_1，1］。极小值是y(—1)=—，21极大值是y(1)=。2arctan、x2—1+arcsin—=—x2分析：本题为恒等式的证明。我们设_ .1F(x)=arctan扣x2—1+arcsinx由拉格朗日定理的推论，若能证明曲线y= x—的凸区间是(—8，一t'3)u(0,w：'3)1+X2凹区间是(—。3,0)u(u3,+8)。x ■-国曲线y=的拐点有三个：(一、3,— )，1+X2 4(0,0)，6若)。例3.证明不等式(1+x)ln(1+x)<—x2+x (x>0)2分析与证：证明不等式的方法很多，利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。这里用单调性来证明。即令1f(x)=(1+x)ln(1+x)——x2—x2则问题转化为证f(x)<0=f(0) (x>0)F'(x)=0则nF(x)=c，再确定兀c=3即可。2证：当x>1时，F'(x)=——广 -32—1)'+1+(寸x2—1)2(bx1-(1)2x — x\x2—1x<x2—1兀-F(1)=arctan0+arcsin1=—2冗•-C=-，证毕！例5求出函数y=x5-5x4+5x3+1在区间[-2,1]上的最大、最小值。解：显然函数y=x5-5x4+5x3+1在闭区间[-2，1]