分式和分式方程题型分类讲义

分式方程及其应用一、基本概念.分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程..解分式方程的一般步骤：(1)去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去..用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答..分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：(1)检验所求的解是否是所列;(2)检验所求的解是否 .二、题型分类考点一：分式方程题型(一)分式方程去分母2x+201、解分式方程-7+--二3时，去分母后变形为（）。x-11-xA.2+（x+2）=3（x-1） b.2-x+2=3（x-1） C.2~（x+2）=3（1-x） d.2~（x+2）=3（x-1）2、下列方程是分式方程的是（ ）A.x2-2x-3=0 B.x=x-1 C.—=x D.X_2=13 x 兀1/17

题型（二）解分式方程用常规方法解下列分式方程：（1心+—=1；（2）—匚+—=1；%%—3 2%—55—2%题型（三）分式方程的解1.已知方程a%2A.3=1的解与方程6=3的解相同，则a等于（xB.一3C.2D.一266%+22.方程%2+3%+22%2+6%+43%+1 -5=0的解是(A.无解C.-3D.0,±33.如果%—1 %+2 (%—1)(%+2)那么A-B的值是（4A.一35B.一3C.D.24（C）关于%的方程%+=c+的两个解是%2一,则关于%的方程%c22+ =a+ %—1a—1的两个D.D.B.a-1,—

a—1题型（四）用换元法解分式方程一”，乙，।_%2—510%—101用换元法解分式方程J+K=7时,如果设二1二y，那么原方程可化为（2/17101A.y+—二7B.y+ /yy2.解方程（1）（-—)2-5(—)+6=0；x—2x—2C.10y+1=7

yD.y+10y2=7(2)解方程2x2+3x—4= 52x2+3x题型（五）解分式方程组1_1_1x—y-31.解方程组：'/c1,二xy9题型（六）增根xm+1x+1.若解分式方程e-e=—产生增根，则m的值是（ ）A.-1或-2 B.-1或2 C.1或2 D.1或-2.若方程-2=一工会产生增根，试求k的值x-3x一33/17题型（七）求待定常数的值或取值范围.关于X的分式方程m-+「一二1的解为正数，求m的取值范围;x-11一X2k-a..若关于x的分式方程 的解为非负数，则a的取值范围是（ ）A.a>1 B.a>1 C.a>1且a，4 D.a>1且a，4.若分式方程式二望无解,求m的值。4/17

TOC\o"1-5"\h\z.设a、b、c是三个互不相同的正数，如果［c=-cT=-，那么（ ）.ba+baA. 3b=2c B. 3a=2b C. 2b =c D. 2a =b.一 1 4 3 23,变式1：已知———= =-一；，则—（y—x）的值是 .x+2yy—x2x+1 3d£-的值是- 7 7 b 4d—7b+1 7（d-1） d£-的值是变式2：已知a、b、c、d为正整数，且一= ,——二=——-，则一的值是acaca对应练习：一、选择题. . 2x+a.一…,一一】、关于x的方程丁丁二1的解是正数,则a的取值范围是（）A.a>—1 B.a>—1且a，0 C.a<—1 D.a<—1且a*—22x m+1x+12.若解分式方程 -o=产生增根，则m的值是（ ）x+1x2+xxA.-1或-2B.-1或2 C.1或2D.1或-2TOC\o"1-5"\h\z1 5 b a l3、已知一+—= ,则U+—的值是（ ）a b a+b a bD、A、5 B、7 C、D、4、若x取整数，则使分式6x^的值为整数的x值有（ ）2x-1B4个 C6个 D8个5/17

x—3 AB5、已知不一二 +一，其中A、B为常数，那么A+B的值为（ ）X2—XX一1XA、一2 B、2 C、一4 D、4二、填空题4x_m AB 2x+31、若分式方程---5=-一无解，那么m的值应为 ，若已知--+--= （其中A、x-2 2-X x+1x-1X2-1B为常数），则A=,B=；1 1c 2x+3xy—2y a一2bb一2cc一2a2、已知x—y=3，则分式丁与石丁的值等于 若k===，且a+b+c于0则Uk的值为.3、方程+2=42的解是 已知关于x的方程4-里一一一汽e只有整数解，则整数a的值为TOC\o"1-5"\h\z, ，,…b4d一7b+17（d一1） c, d,4、已知a、b、c、d为正整数，且—— , - ，贝U—的值是 ；7的值是acac a b5、设m>n>0，m2+n2=4mn，则竺*的值为 若^~~与1（x+4）互为倒数，则x= mn 2x-1 3三、解答题1、解下列分式方程1 3 2 1(1)——3；(2)—--1—0；

x一1x x一3x2、解下列方程(1)(1)(2)x+7x+9x+10x+6 + - + x+6x+8x+9x+56/173、若关于"的分式方程三二1-言有增根,求m的值.4、若分式方程=-1的解是正数,求。的取值范围.5、解关于x的方程"——=—（c+d中0）提示：（1）a,b,c,d是已知数；（2）c+d丰0.b-xd6、若分式方程;2=2mx无解，求利的值。7、若关于x的方程"+k2=x不会产生增根，求k的值。x—1x2—1X+18、若关于x分式方程上十号=总有增根,求k的值。9、若关于x的方程+-k^5=a有增根x=1，求k的值。x1—xx2+xx2—17/17

2mx310、m为何值时,关于x的方程不2+目二E会产生增根？当a为何值时，x一1x-2 2x+a的解是负数?的解是负数?x-2x+1(x-2)(x+1)考点二：分式方程的实际应用题型（一）行程问题（1）一般行程问题.某次列车平均提速20km/h,用相同的时间，列车提速前行驶400km,提速后比提速前多行驶100km,设提速前列车的平均速度为xkm/h,下列方程正确的是（ ）4QQ+1Q0 4QQ400~100，+B工x-20皿也 D,些=如”1。°k-20 工x+20.从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。（2）水流问题1、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。8/17

2、一船自甲地顺流航行至乙地，用2.5小时，再由乙地返航至距甲地尚差2千米处，已用了3小时，若水流速度每小时2千米，求船在静水中的速度.题型（二）工程问题1.施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米.设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（）=2:2辿:2=2:2”22、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%,结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？3、某车间加工1200个零件，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？题型（三）利润（成本、产量、价格、合格）问题例1、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人9/17这个八年级的学生总数在什么范围内？若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人?.某校为了进一步开展“阳光体育〃活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍.(1)若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；(2)若购买的两种球拍数一样，求x2.某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。.某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d%,请用p表示d。10/17.一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？题型四：其他类型1、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数X人，那么X应满足怎样的方程？2、某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂的合格率乙厂高5%，求甲厂的合格率？3、对甲乙两班学生进行体育达标检查，结果甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班高5%，求甲班的合格率？4、重量相同的两种商品，分别价值900元和1500元,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300元,分别求这两种商品每千克的价值。11/175、某甲有25元，这些钱是甲、乙两人总数的20%。乙有多少钱?对应练习：1、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？12/172、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。3、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。4、假日工人到离厂25千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发1小时20分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的3倍，求汽车和自行车速度5、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。6、甲乙两地相距360千米，新修的高叔公路开通后，在甲乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%，而从甲到乙的时间缩短了2小时，求原来的平均速度13/177、一船自甲地顺流航行至乙地，用2.5小时，再由乙地返航至距甲地尚差2千米处，已用了3小时，若水流速度每小时2千米，求船在静水中的速度.8、一个两位数，个位上的数比十位上的数大4,用个位上的数去除这个两位数商是3,求这个两位数.9、大小两部抽水机给一块地浇水，两部合浇2小时后，由小抽水机继续工作1小时完成.已知小抽水机独浇这,1块地所需时间等于大抽水机独浇这块地所需时间的1$倍，求单独浇这块地各需多少时间？乙10、某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵，工人为支援建设，每天比原计划增产25%，可提前10天完成任务，问原计划日产多少台？11、现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。求原来每天装配的机器数.14/1712、某车间需加工1500个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的21倍，所以加工完比原计划少用9小乙时，求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝？13、打字员甲的工作效率比乙高25%，甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟，求甲乙二人每分钟各打多少字？14、块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000Kg和15000陋,已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少3000Kg,分别求这块试验田每公顷的产量。15、某农场原有水田400公顷，旱田1