上海中学自主招生数学试题带答案

2014年上海中学“创新素养培育项目”数学测试卷、填空题(8X9=72)11—+11—+—=1.已矢口ab【变式】已知：【变式】已知： -+_=a+b，则ab4 ba_+_= -+_=ab a+b，贝Iab4 ba ——= - =aba+b，贝Iab1 1 4ba2——+—= ——+——=【变式】已知：a2ba2+b，贝Ua2b1 1 4baa—+—=———+【变式】已知：aabaa+b，则aab.有个实数工，可以使得'120一或为整数.【变式】x为1,2,3,……，2014,使得J10。-6为有理数的x有个.【变式】x为1,2,3,……，2014,使得后为有理数的x有个.【变式】有个整数x，可以使得'120―2«为整数..如图，在^ABC中，AB=AC，CD=BF，BD=CE，用含/A的式子表示/EDF，应为/EDF= .DD【变式】如图，在等腰直角AABC中，/A=900,AB=AC，CD=BF，BD=CE，则/EDF .

D【变式】如图，在等腰直角^ABC中，/A=900AB=AC=1,D、E、F分别是边BC、CA^AB上的点，且CD=BF，BD=CE，则SADEF面积最大值为.3y=x2+mx――m2(m>0).在在直角坐标系中，抛物线 4 与x轴交于A、B两点，若A、B两点112- =一到原点的距离分别为OA^OB，且满足OBOA3，则m=.5.定圆A的半径为72,动圆B的半径为r,r<72且r是一个整数，动圆B保持内切于圆A且沿着圆A的圆周滚动一周,若动圆B开始滚动时切点与结束时的切点是同一点，则r共有个可能的值.6.学生若干人租游船若干只，如果每船坐6.学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有人空也不满，则学生共有人.(a，a，7.对于各数互不相等的正整数组Sin是不小于2的正整数)，如果在i<j时有j，则称a与aj是该数组的一个“逆序”，例如数组(2,3,1,4,中有逆序(a，a，7.对于各数互不相等的正整数组“3,1”，其逆序数为4,现若各数互不相同.的正整数组(al，a2,a3,a4,a5,a6)的逆序数为2,则

(%a5,a4a3,气a1)的逆序数为11n10< <-.若n为正整数，则使得关于x的不等式21%+n19有唯一整数解的n的最大值为10<-1910<-19有唯一整数解的n的最小值为< 【变式】若n为正整数，则使得关于x的不等式21x+n二、选择题(4X10=40).已知x2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a的个数为()A.3个 B.4个 C.6个 D.8个10.如图，D10.如图，D、E分别为^ABC的底边所在直线上的两点，DB=EC,过A作直线1，作DM//BA交1于M，作EN//CA交1于N,设AABM面积为S1,AACN面积为$2，则11.设PP2,q1，q2为实数，P1P2=2(q1+q2),若方程，甲:%2+P1X+q1=0,-x2-x2+px+q=0乙：2 2,则( )A.甲必有实根，乙也必有实根C甲、乙至少有一个有实根B.甲没有实根,乙也没有实根D.甲、乙是否总有一个有实根不能确定12223122232a——+ +—+12.设 135近a-b的整数为()10072+ 20131222——十3 532+—+710072+ 2015，则以下四个选项中最接A.252 B.504 ..C.1007D.2013三、解答题（38分，13题18分，14题20分）.直角三角形ABC和直角三角形ADC有公共斜边AC（B、D位于AC的两侧），M、N分别是AC,BD的中点，且M、N不重合，⑴线段MN与BD是否垂直？证明你的结论.（2）若/BAC=300,ZCAD=450，AC=4，求MN的长.B.是否存在m个不全相等的正数01，a2，，Um^7）,使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m值，若不存在，说明理由.a+b1 G+Z?)2 = ,n =1,答案：1aba+babba〃2+枕—+—二 ababG+Z?)2ba〃2+枕—+—二 ababG+Z?)2-lab

abG+Z?)2 -2=l-2=-lab事实上，这道题是一道错题:件就错了，同样结果也错了,a+b

abba一十一ab1G+/?)2~a+b^ab二1,汪思J，2G+Z?)2>Aab已知条2.u,33=9。。4.2,5,11,6.44,7.13.8.220,9.CV6-V2y11 Xa=x,a=y,a=—■>a=—,a=:一,a=—,a=x,a=y,14.【解析】设12 3x4X 5y 6y7 8一个周期为6的数列，Xc 八%=y•一x>0\a=a-ayJ1 2m —S<n<y>0[a=a-ax 1m 1 m-1—=%•—xwy门^m=0(mod6)I J10.B,11C.12. B.13.⑴⑵ 2,显然是(2)当m=l(mod6)a=a・a1 2ma=a-a'm 1 m-1n<xx=y=1x=x-- "、y 与不全相等矛盾;⑶当机三2(mod6)[a=a-a1 2m[a=a-am 1 m-1n^=y-y 1< n%=y=1y=x-x 、—人、…一一与不全相等矛盾;yx=y•一a=a•〃X .1 2m —S<'nx=y=]a=a-aJm 1 m-1—=X-J他、当机三3(mod6)〔X 与不全相等矛盾;[1rx=y•—a=a-aX -1 2mn<nx=y=1a=a'a1ym 1 m-1—=x"—^m=4(mod6)(JJ ,〔XX 与不全相等矛盾;word.(6)当m三5(mod6)a二a-aa-a•am1 m-1x-y•