数学建模培训-备战数学建模竞赛与论文

2023/2/1数学建模数学建模竞赛讲座1.数学建模竞赛概况2.如何备战数学建模竞赛3.如何选题4.竞赛论文剖析2023/2/1数学建模数学建模竞赛概况1全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）1990年上海市开始组织数学类专业的数学建模竞赛，1991年扩大到其他各专业；1992年开始组织全国联赛，1994年正式由教育部、中国工业与应用数学学会（CSIAM）共同主办并组织全国的评阅学生三人一组在三天之内合作完成一个实际问题参赛者包括全国各重点大学，一般院校和专科学校我校从1992年开始组织学生参加CUMCM2023/2/1数学建模2部分CUMCM题目投资的收益和风险问题（1998A)电力市场的输电阻塞管理问题（2004B)钻井布局优化问题（1999B)DNA序列分类问题(2000A)血管的三维重建问题(2001A)公交车调度问题(2001B)彩票中的数学问题(2002B)SARS的传播问题(2003A)奥运会临时超市网点设计问题(2004A)长江水质的评价和预测问题(2005A)2023/2/1数学建模2部分CUMCM题目中国人口增长预测（2007A)乘公交，看奥运（2007B)出版社的资源配置（2006A)艾滋病疗法的评价及疗效的预测(2006B)DVD在线租赁(2005B)长江水质的评价和预测问题(2005A)车灯线光源的优化设计(2002A)钢管订购和运输(2000B)自动化车床管理(1999A)灾情巡视路线(1998B)2023/2/1数学建模3CUMCM命题思路

实际背景/时代特征（实用性/时代性/趣味性）：

综合性：开拓知识结构，不是单一数学问题

开放性：较大的灵活性，供参赛者发挥其创造能力少涉及专业知识；适中的数学知识；学生能得到训练

可区分性一定的亲和力/社会热点问题；激发学生思考问题基础性(可接受性)2023/2/1数学建模4CUMCM命题思路

中美赛题的比较：开放程度差别还较大两个竞赛的区别：CUMCM的开放程度要适中（或一题开放些，一题封闭些）A题–

连续模型，B题–

离散模型；但不局限于此2004年5月：CUMCM命题研讨会（上海）

设立命题研究课题，开拓题源好的赛题是提高竞赛水平的关键之一2023/2/1数学建模如何准备0基本技能训练研读历届的优秀论文,里面涉及的知识,绘图,计算等是否具备.快速查阅和搜集整理所需背景材料,参考资料.数据处理、统计分析、绘图和文字处理图形,表格,文字表达队员之间良好的沟通与合作参赛学生经验谈一参赛学生经验谈二2023/2/1数学建模如何组队1成功的参赛队应具备问题分析清晰，逻辑性强较强的建立数学模型、解决数学问题并清楚表述的能力在数值分析、统计分析、绘图和文字处理方面的较强技能文字表达能力强队员之间良好的沟通与合作2023/2/1数学建模2组队的一种方法分解责任，提高效率一个队员负责写论文，保证写作从一开始就进行，可以有充足的时间进行修改完善，而不是到最后一天才匆匆写作，丢三落四，错漏连篇效果可想而知。一个队员负责编程，有的题目需要大量的计算，至少应有一人能正确熟练的编写程序。想想，你担任什么角色？怎么进行最好的准备？如何组队2023/2/1数学建模3编程队员任何一个成功的参赛队都要做大量编程。熟悉MATLAB,Lindo,Lingo,或c/c++,Excel如何读入数据?如何写数据?如何绘各种类型的图形？如何产生服从各种概率分布的随机数？如何解方程、方程组以及微分方程？如何求复杂函数的积分、（数值）微分，如何做插值、拟合、回归？如何做统计计算和分析？如何求解优化问题？做灵敏度分析？…参看历届的竞赛优秀论文，总结里面涉及哪些技能，最好能熟练地实施。2023/2/1数学建模4写作的队员论文是提交给专家评阅的唯一材料要保证文章非常清晰、简单而准确,切忌把东西复杂化；最好能提前一天完成初稿，所有队员都要对文章的各部分提出修改意见，反复修改完善。多看历届的竞赛优秀论文,学习表达方式、技巧。(/cmewebhome)。熟悉文字处理软件（word或Latex)，公式编辑，绘图，排版.多练习，勤实践。2023/2/1数学建模5第三队员查资料，寻求能建模和解决问题的方法，建立模型等帮助写作，确保论文清晰、流畅、可读性强，当然，不要只做一个读者；会编程，帮助编程队员运行程序，准备数据等，将结果整理到论文中，工作量大时也可编写调试程序。如何组队2023/2/1数学建模6团队一个成功的参赛队一定是每个人每分钟都花在真正重要的事情上；时刻记住你们是一个团队，不要想一个人做所有重要的事情，要善于分解分配任务，充分发挥每个队员的能力。如何组队2023/2/1数学建模竞赛论文剖析论文一般应包括

（1）摘要；（2）问题重述；（3）模型的基本假设；（4）

符号说明（5）问题的分析；（６）模型的建立（7）模型的求解；（８）结果及其分析（9）模型的检验与推广；（10）模型评价（11）参考文献;(12)附录如:2004B.doc如何选题

直接影响竞赛答卷水平的一个重要问题是，参赛者不能正确面对竞赛题目。1、以为赛题就是某领域中的一个“原原本本”的实际问题，因而生搬硬套该领域的专门资料；

2、心存侥幸，想“找捷径”——从网上下载自认为是直接解答赛题的参考资料；

3、沾沾自喜，认为赛题撞到枪口上——用自己所学的专业知识就能拿下；4、误以为在答卷中所用的数学知识越高深、计算方法越新潮，才越有水平；

5、仅仅从字面上理解赛题对参赛者的要求以致该做的没做、应答的未答；

6、不注意揣摩命题人的意图，忽视赛题具有的灵活性。CUMCM章程的第二条：“竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过高等学校的数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。……”

结合历年的赛题，分四个方面谈谈如何面对CUMCM赛题一、沉着面对。二、深入理解。三、准确把握。四、正确选题。

一、沉着面对竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面尚未解决至少是尚未完全解决的实际问题。

一般不存在现成的解答。同时，竞赛题目是经过了适当简化加工的实际问题，并不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，也不会让某类专业的参赛者“近水楼台先得月”

。

经验告诉我们，完成CUMCM的赛题，并不要求参赛者预先掌握深入的专门知识。既然赛题已将复杂的实际问题大大简化（这是前进），那么，参赛者就不要反过来“将简化后的赛题复杂化”（这是倒退）。参赛者凭已学过的基础知识、已积累起来的常识，再加上赛前培训补充的相关知识，通常就可以将赛题“拿下”了。

面对赛题应当沉着，既不要“望题生畏”，也不要“心存侥幸”。试想，如果有这么一道赛题，众多的参赛学生都无法下手；或者有那么一道赛题，会使少数专业的参赛学生大沾其光。那只能说明出题者没水平或组委会失职。我可以负责地告诉大家，在CUMCM中，过去、现在以及未来都不可能发生这样的事。

一道好的赛题所需要的专门知识不一定广，所涉及的数学知识不一定深。做这样的赛题更应当强调的是“面向实际”的指导思想。基本知识扎实固然重要，而在建立模型、设计算法、计算机实现、分析计算结果以及撰写论文等环节都能紧密结合所要解决的实际问题，才是最需要练就的本领(也是谋生的本领）。

参赛时最好能记住：你们是在做一件事，而不是在完成一道练习题。

二、深入理解

参赛者对赛题理解的透彻程度，直接关系到所交答卷的质量水平。评阅者根据什么来判断参赛者对赛题的理解是否透彻呢？我认为主要看“基本假设”、“建模及求解思路”等部分。

首先，“基本假设”起着举足轻重的作用。根据不同的假设有可能得出不同的模型；不同深度的假设会导致不同水平的模型；不合理的假设显然偏离原题。例2.1CUMCM-2003B题(露天矿生产的车辆安排)

有一个至关重要的假设：“只考虑同一条路线上的车辆不发生等待，并且不进行排时讨论”。这是因为，如果连这一点都做不到，那么等待就是“必然”的；而做到了这一点之后，不同路线上的车辆在某一装点（或卸点）是否出现等待将是“随机”的。

例（乘公交，看奥运）

该题的背景是城市公交路径查询系统的研制。该题仅提出“应该从实际情况出发，满足查询者的各种不同要求”，并没有对“什么样的路径为最优”提出明确的要求，需要参赛者自己去思考。虽然体现了开放性，但是并不难。

稍加思考便能找出三种主要的要求：换乘次数最少，行程总时间最短，乘车总费用最省。显而易见此题是一个多目标优化问题。然而怎样对待查询者的各种不同要求呢？过分强调某一目标（如换乘次数），或者把三个目标通过加权合成转化为单目标，都是不合理的，因为不符合实际。

应当按不同目标的各种字典序，分别建立不同的优化模型。

三、准确把握赛题通常由背景、问题、信息这三部分组成。

要领会赛题对参赛者的要求，不能只看赛题的“问题”部分，一定要看赛题的从标题到附件的全部内容；如果仅仅从字面上去理解赛题对参赛者的要求那是不够的。好的参赛队还应当注意揣摩命题人的意图，利用赛题具有的灵活性，发挥出本队的优势。

准确把握赛题的意图，就是要明确：“这道题要参赛者做什么事？”“在该题的答卷中需要回答哪些问题？”简洁地说，就是明确

做什么？答什么？“只做所问”、“有问必答”不见得就容易。例3.1CUMCM-2007B题(乘公交，看奥运)

该题前两问应当就题目给定的6对站点分别不同要求（按换乘次数最少，行程总时间最短，乘车总费用最省），给出具体的乘车路径以及相应的换乘次数、行程总时间和乘车总费用。我认为必须给出行程总时间最短的路径（哪怕增加换乘次数、增大乘车总费用）。

令人遗憾的是，像这样的答卷寥寥无几。原因是，绝大多数参赛队处理公交线路、公交站点信息的方式不当，而且编程的能力不过硬，以致最多能换乘两次之后就再也算不出什么结果了。而优秀答卷换乘三次、四次如同换乘一、两次那样轻松。

四、正确选题数学建模竞赛的赛题都是将某一领域的实际问题经过简化加工而形成的，是该领域尚未解决或尚未完全解决的问题。赛题通常包括背景、问题和信息三个部分。其中信息可能是若干参数或一些数据（甚至是“海量”数据），也可能是图形（包括数字化图形）。

从赛题的数学归属来看，离散型、非确定型、非线性、大计算量等特点比较明显。

就赛题的“开放程度”或赛题与数学的“距离”而言。有的赛题开放性相当强，让人觉得很难与数学联系上；有的赛题开放性比较弱或者说较为规范，几乎一看便知该题有可能涉及哪些数学知识。

美国大学生数学建模竞赛（MCM）和中国大学生数学建模竞赛（CUMCM）都是从两个赛题中任选一个，中国研究生数学建模竞赛是从四个赛题中任选一个。

参赛时选哪个题？选难度较低的赛题，未必能做出水平，你认为做得挺好，其实别人可能做得更好。选难度较高的赛题，未必就做不出水平，这种题富有挑战性，更能激发你的创造性，你认为做得不怎么样，其实别人不一定能超过你。

数学建模竞赛的评卷不是“过等级”而是“排座次”。在做同一个赛题的所有答卷中，对难度较低的赛题而言往往是“从高的里面挑更高的”；对难度较高的赛题而言往往是“在低的里面找较高的”。中国研究生数学建模竞赛特别强调，评卷时将向难度较大的赛题倾斜。

因此，“避重就轻”或“宁重勿轻”都是不明智的。

应当从本队成员的实际情况出发，以有利于发挥三个人的综合优势为原则，选择赛题。2023/2/1数学建模例:长江水质的评价和预测(2005A)摘要1.问题重述2.模型的基本假设3.符号说明4.长江水质的综合评价

4.1问题的分析

4.2理论分析与算法步骤

1)数据的归一化和综合

2)单个观测点水质评估向量和长江全流域水质的综合评价

4.3水质等级标准的确定

4.4长江水质的综合评价竞赛论文剖析2023/2/1数学建模5.长江污染源的判定

5.1差分方程反演模型的建立与求界

5.2微分方程反演模型对污染源的判定

5.3含支流的微分方程反演模型6.回归模型对水质的预测分析

6.1回归模型对问题的求解

6.2.模型的改进和预测结果7.基于回归模型的预测控制

7.1理论分析

7.2回归模型对污水处理量的预测

7.3二元线性回归模型的建立与求解8模型的检验与推广9模型的评价10参考文献11附录2023/2/1数学建模竞赛论文剖析1摘要应包括：

（1）用1、2句话说明原题中要求解决的问题；（2）建立了什么模型（在数学上属于什么类型），建模的思想（思路），模型特点；（3）算法思想（求解思路），特色；（4）

主要结果（数值结果，结论）；（5）模型优点，模型检验，灵敏度分析，有无改进、推广。2023/2/1数学建模竞赛论文剖析1摘要特色和创新之处必须在这里强调（稍夸张地）。长度：理想长度很难说，必须包括上述要点，但简洁也非常重要。一般掌握在半页至2/3页左右。是文章最重要的部分。要保证准确、简明、条理清晰，突出特色和创新点。注：全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。2023/2/1数学建模例如：彩票中的数学问题(2002B)

本问题要求我们建立一种优选的评价准则去评估各种彩票方案的合理性，还要求设计出更好的方案，对管理部门给出合理化建议。对问题一，我们首先分别对“传统型”、“乐透单项型”、“乐透复合型”给出了不同的概率计算方法，计算出了各类彩票方案中各种奖项的中奖率并统计中奖概率总和；其次，通过综合分析建立了评价彩票发行方案合理性的目标函数——合理度,它是度量各种因素对彩民吸引力程度的函数。本文通过层次分析法得到模型中涉及到的各因素的权重值，利用题目所给的数据通过向量的标准化得到各种因素的标准值，利用Matlab软件编程对大量的数据进行了处理。得出序号为4的方案为“传统型”的最优方案，序号为7的方案为“乐透型”的最优方案。对问题二，应用问题一中计算出的权重值，建立了合理的彩票发行方案的优化模型，通过Matlab软件编程计算得到：在不同彩票发行类型不同中奖概率和前提下的彩票发行最优方案，如表所示：由表可知，适当提高的浮动区间，彩票的发行方案更合理，“更好”。浮动区间[0.01，0.03][0.03，0.04][0.04，0.05]单项式复合式单项式复合式单项式复合式最优方案7/317＋1/208/256+1/217/276+1/200.11140.10000.12530.12760.15580.15122023/2/1数学建模又如：奥运会临时超市网点设计问题(2004A)

我们对2008年即将在北京举行的第29届奥运会比赛主场馆周边地区的临时迷你超市网点进行了设计与优化。将该问题归结为一个带有约束条件的优化问题。首先就问题一，首先根据奥运会预演数据，分别找出并逐步细化全体观众在出行、用餐及购物方面的基本特点，及其随不同性别和年龄的变化所反映的规律。对问题二，把人流量看成由入场时的人流量和出场时的人流量两部分组成，入场时的人流是由交通工具停靠点到达各看台经过的路径产生，出场时的人流是由看台到达各用餐地点所经过的路径产生。求解时采用Floyd算法找出由任意交通工具停靠点和到达看台及看台到任意就餐地点的最短路径，求解出每条路径上20个商区的人流分量，然后对每个商区的人流分量进行求和，得到每个商区总的人流量，并计算出人流量分布的百分比。对问题三即迷你超市的设计方案，先建立购物欲望的数学模型，同时为了兼顾人流量和购物欲望两方面，我们提出消费人流量的概念。然后把最大商业赢利作为目标函数，以消费人流量作为约束条件，建立整数线性规划模型，用Lindo软件可很快求解出各商区不同大小比例的MS个数，即合理的临时迷你超市网点设计方案。最后就问题四，我们从建立的购物欲望模型的正确性、购物欲望模型中的衰减因子、大小MS容量的比例以及2004年雅典奥运会的具体情况出发，讨论其科学性。还根据雅典奥运会的一些基本信息对北京奥运会的迷你超市的设计提出一些建设性的参考意见。模型主要使用了Lindo和Matlab两个数学软件来求解。

2023/2/1数学建模又如：电力市场的输电阻塞管理问题（2004B)

本文研究了电力市场输电阻塞的管理问题。为了能在发生输电阻塞时制定出既安全又经济的调度计划，本文定义了安全度函数和堵塞费用函数（两者都是关于机组出力的函数），并设计了合理简明的堵塞费用计算方法。本文还从安全和经济角度出发，构造了综合安全度和堵塞费用的目标函数，从而把一个多目标规划问题转化为了以机组出力为决策变量的单目标非线性规划问题，并分别利用MATLAB优化工具箱函数和模拟退火算法对问题进行了求解。对于问题１，本文利用SPSS软件采用多元回归分析的逐步回归方法，算出各机组出力与相应线路有功潮流的线性关系表达式及其系数矩阵，并通过方差分析，回归系数分析对模型进行了检验。对于问题2，本文设计的堵塞费用，除考虑电力市场规则外，对序内、序外容量出力部分均较公平地进行了部分补偿。对于问题3，本文建立了相应的优化模型，计算出各机组的出力分配方案和相应的清算价格，当负荷需求为982.4MW时清算价格为305元/MWh，负荷需求为1052.8MW时清算价格为356元/MWh，初始分配预案见问题4、5的第一种方案。问题4,5是本文研究的核心，即讨论当出现输电堵塞时的各种处理对策，在解决问题4时，本文的一大特色是引入了常数，该值表示在出力分配预案未进行调整时由安全隐患带来的经济损失，它刻画了网方对线路安全的重视程度，通过调节值的大小可以找到安全度不同的调节方案（见下表）。最终能使调整后的出力方案不再发生堵塞，较好的解决了问题4；对于问题5，无论怎样调整方案均不能使堵塞完全消失，根据输电堵塞原则(2)进行调整（方案见下表），最终使每条线路上潮流的绝对值超过限值的百分比达到尽可能的小。根据本文的模型，第4、5问均未出现需要拉闸限电的情况。

2023/2/1数学建模电力市场的输电阻塞管理问题（续)

最后对问题5进行了延伸，讨论了当不得不拉闸限电时如何调节出力分配，使模型有更广的使用范围。

问题4的调节方案

机组1机组2机组3机组4机组5机组6机组7机组8综合安全阻塞费用分配预案1507918099.512514095113.90.6840安全经济134.877.41190.399.48152113.574140.90.997122278元偏重安全11768.1322892.3815211074140.9135944元问题5的调节方案安全经济

机组1机组2机组3机组4机组5机组6机组7机组8综合安全阻塞费用分配预案15081218.299.5135150102.11170.081390偏重安全147.3585.369232.9180162120.0781.11440.677431033147.7580.99822580.086162131.8781.11440.61371257212023/2/1数学建模竞赛论文剖析2问题重述不是题目的完整拷贝根据自己的理解，用自己的语言清楚简明地阐述背景、条件和要求。例：奥运会临时超市网点设计问题在2008年北京奥运会全面设计和实施阶段，需要我们对比赛主场馆的周边区域（即图中所标示的A1-A10、B1-B6、C1-C4区域）设置临时商业网点，即迷你超市MS网，以满足各类人员在奥运会期间的购物需求。为了得到奥运期间人流量的规律，可以通过对某运动场预演的运动会做问卷调查，从而了解观众在出行、用餐、购物方面的需求规律。要求：找出观众出行、用餐和购物的规律。根据每位观众平均每天采取最短路径一次进出场馆一次出入餐饮，测算上述20个区域的人流量分布。给出具体的MS设计方案，要满足奥运会期间购物的需求，超市分布均衡且能赢利。结果要贴近实际，最后阐明所用方法的科学性。

到2004A.doc2023/2/1数学建模竞赛论文剖析3模型假设假设要合理且全面，但不欣赏罗列大量无关紧要的假设，关键性假设不能缺。根据全国组委会确定的评阅原则，基本假设的合理性很重要。（1）根据题目中条件作出假设（2）根据题目中要求作出假设

合理假设的作用：简化问题，明确问题，限定模型的适用范围

2023/2/1数学建模竞赛论文剖析4建立模型——最重要的部分之一模型的主要类型：

初等模型、微分方程模型、差分方程模型、概率模型、统计预测模型、优化模型、决策模型、图论模型等几类常见建模目的:（1）描述或解释现实世界的各类现象，常采用机理分析的方法,探索研究对象的内在规律性)（2）预测感兴趣的事件是否会发生,或者事物的发展趋势，常采用数理统计或模拟的方法（3）优化管理、决策或者控制事物，需合理地定义可量化的评价指标及评价方法.

2023/2/1数学建模4建立模型建模过程中的几个要点：

模型的整体设计、合理的假设、建立数学结构、建立数学表达式数学模型最好明确、合理、简洁，具有一般性；有些论文不给出明确的模型，只是就赛题所给的特殊情况，用“凑”的方法给出结果，虽然结果大致对，但缺乏一般性，不是数学建模的正确思路鼓励创新，特别欣赏独树一帜、标新立异，但要合理。避免出现罗列一系列模型，又不作评价的现象2023/2/1数学建模竞赛论文剖析5模型求解——最重要的部分之一

算法设计或选择，

算法思想依据，步骤；引用或建立必要的数学命题和定理；在不能求出精确解的情况下，需要给出不只一种解法（算法），并进行测试比较，给出评价。为了说明你的算法好，你需要有一个参照与之比较，你可以从最简单、最易得到的算法开始，逐步改进直到得到你的最好解。通常对于离散问题，最简单的解可能只是做随机选择，然后用你的算法得到的解与它比较。2023/2/1数学建模竞赛论文剖析6结果表示、结果分析、检验

最终数值结果的正确性或合理性是第一位的

；

结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析

▲数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式▲求解方案，用图示更好。对数值结果或模拟结果进行必要的检验▲题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出；2023/2/1数学建模7模型评价优点突出，缺点不回避8.参考文献8.参考文献只列出论文中确实应用了其中的方法或结论的文献；正文中最好标出后面的文献序号2023/2/1数学建模

详细的结果，详细的数据表格，可在此列出。但不要错，错的宁可不列。主要结果数据，应在正文中列出，不怕重复程序

9.附录2023/2/1数学建模写作竞赛论文注意事项1小标题很重要

只读各级标题，就能知道整篇论文的概要；多设置标题。避免大段大段的文字，不见一个标题，正文至少要设置两级标题，（1，1.1），使每一小节都有一个清晰的目的目标。每小节不要超过两段。例如：奥运会临时超市网点设计问题摘要1．问题的重述2．模型的基本假设3．符号说明2023/2/1数学建模例如：奥运会临时超市网点设计问题摘要1．问题的重述2．模型的基本假设3．符号说明4．问题的分析及模型的建立4.1问题一的数据分析和模型建立4.2问题一的求解4.2.1观众整体在选择某一特征时的概率（1）每个人选择不同出行方式的概率（2）每个人选择不同用餐方式的概率（3）有不同购物需求的人的概率4.2.2不同群体的观众所反映的规律：（1）考虑不同年龄段的观众所反映的规律（2）考虑不同性别的观众所反映的规律2023/2/1数学建模4.3问题二的分析和模型的建立4.3.1各商场入场观众的总流量4.3.2各商场出场观众的流量4.3.3各商场总的人流量及其百分比4.4问题二模型的求解4.5问题三的分析和模型的建立

4.5.1确定人的购物欲望的模型

4.5.2确定各商区的消费人流量4.6问题三模型的求解4.6.1求解各个商区的消费人流量4.6.2求解商区的超市设计方案4.7问题四的解答4.7.1对观众购物欲望变化规律的讨论4.7.2对购物欲望变化系数的讨论4.7.3对模型中和的取值的合理性讨论

2023/2/1数学建模4.7.4用雅典奥运会的一些数据对北京奥运会进行预测和对北京奥运会超市方案设计的建议（1）对比较奥运会超市利润的预测（2）我们的建议5.模型的评价6．模型的改进和推广参考文献附录