弹塑性断裂力学基础

第七章弹塑性断裂力学线弹性断裂力学

脆性材料或高强度钢所发生的脆性断裂小范围屈服：塑性区的尺寸远小于裂纹尺寸弹塑性断裂力学

大范围屈服：端部的塑性区尺寸接近或超过裂纹尺寸。如，中低强度钢制成的构件全面屈服：材料处于全面屈服阶段。如，压力容器的接管部位

弹塑性断裂力学的任务：在大范围屈服下，确定能定量描述裂纹尖端区域弹塑性应力、应变场强度的参量。以便利用理论建立起这些参量与裂纹几何特性、外加载荷之间的关系，通过试验来测定它们，并最后建立便于工程应用的断裂准则。主要包括COD理论和J积分理论一、COD

COD(CrackOpeningDisplacement)：裂纹张开位移裂纹体受载后，裂纹尖端附近的塑性区导致裂纹尖端表面张开量——裂纹张开位移。表达材料抵抗延性断裂能力。—COD准则裂纹失稳扩展的临界值COD准则需解决的3个问题：

的计算公式;的测定;COD准则的工程应用第一节COD准则二、小范围屈服条件下的CTOD准则1、平面应力的Irwin解—小范围屈服时的CTOD计算公式KI4KIKIKI2CTOD：裂纹尖端张开位移Dugdale模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹尖端两端延伸呈尖劈带状。塑性区的材料为理想塑性状态，整个裂纹和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围。塑性区与弹性区交界面上作用有均匀分布的屈服应力。假想：挖去塑性区在弹性区与塑性区的界面上加上均匀拉应力线弹性问题2、平面应力的Dugdale解2aCODxyo2aeff=2a+2rpCTODs

平面应力条件下，在全面屈服之前净/ys<1，Dugdale给出裂尖张开位移与间的关系为：)]2ln[sec(8ssEaspspsd=

如果/ys<<1，则可将上式中sec项展开后略去高次项，得到：1222]81ln[sssp)]2ln[sec(ssps-=-2222228)]8(1ln[sssspssp=+=)]2ln[sec(ssps得到：

注意到当x<<1时有：11-x1+x1-x2=≈1+x;ln(1+x)≈x

故在小范围屈服时，平面应力的CTOD成为：EKEasssspsd212==

在发生断裂的临界状态下，K1=K1c，=c。故上式给出了平面应力情况下，小范围屈服时c与材料断裂韧性K1c的换算关系。

写为一般式：=1，平面应力；=(1-2)/2，平面应变。

由和)]2ln[sec(8ssEaspspsd=2228sssp=)]2ln[sec(sspsEKssbd21=Dugdale模型不适用于全面屈服（）。有限元计算表明：对小范围屈服或大范围屈服。当时，上式的预测是令人满意的。Dugdale模型是一个无限大板含中心穿透裂纹的平面应力问题。它消除了裂纹尖端的奇异性，实质上是一个线弹性化的模型。当塑性区较小时，COD参量与线弹性参量Ｋ之间有着一致性。将按级数展开欧文小范围屈服时的结果Dugdale模型的适用条件

平面应力情况下的无限大平板含中心穿透裂纹

引入弹性化假设后，分析比较简单，适用于

塑性区内假定材料为理想塑性（没有考虑材料强化）三、全面屈服条件下的COD

高应力集中区及残余应力集中区，使裂纹处于塑性区的包围中全面屈服。

对于全面屈服问题，载荷的微小变化都会引起应变和COD的很大变形。在大应变情况下不宜用应力作为断裂分析的依据。而需要寻求裂尖张开位移与应变，即裂纹的几何和材料性能之间的关系。

用含中心穿透裂纹的宽板拉伸试验，得到无量纲的COD

与标称应变的关系曲线。经验设计曲线我国CVAD（压力容器缺陷评定规范）设计曲线规定：四、COD准则的工程应用实验测定结果：平板穿透裂纹实际工程构件：压力容器、管道等必须加以修正1、鼓胀效应修正

压力容器表面穿透裂纹，由于内压作用，使裂纹向外鼓胀，而在裂纹端部产生附加的弯矩。附加弯矩产生附加应力，使有效作用应力增加，按平板公式进行计算时，应在工作应力中引入膨胀效应系数Ｍ。Folias分析得到：

取值如下：当圆筒的轴向裂纹时取1.61，当圆筒环向裂纹时取0.32，球形容器裂纹时取1.93。2、裂纹长度修正压力容器的表面裂纹和深埋裂纹应换算为等效的穿透裂纹。非贯穿裂纹无限大板中心穿透裂纹

令非贯穿裂纹与无限大板中心穿透裂纹的相等，则等效穿透裂纹的长度为3、材料加工硬化的修正

考虑材料加工硬化，当时，低碳钢取代替。其中为流变应力。为材料的抗拉强度。综合考虑上述3部分内容Dugdale模型的计算公式

解：受内压薄壁壳体中的最大应力是环向应力，且：

=pd/2t=80.5/(22.510-3)=800MPa例题：直径d=500mm，壁厚t=2.5mm的圆筒，已知E=200GPa,=0.3,ys=1200MPa，c=0.05mm。壳体的最大设计内压为p=8MPa,试计算其可容许的最大缺陷尺寸。最危险的缺陷是纵向裂纹，方向垂直于环向应力。pPtdNszzzzNsPcccsss=2scz

由于d>>t，可忽略筒体曲率的影响。视为无限大中心裂纹板，且为平面应力。)]2ln[sec(8ssEaspspsd=)]12008002ln[sec(1020014.3120083=pa=0.0106a由DugdaleCTOD计算式：ss

在临界状态下有：=0.0106acc

得到：

ac0.05/0.0106=4.71mm

故可以容许的缺陷总长度为2a=9.42mm。

讨论：假设按小范围屈服计算，由(7-11)式有：EKssd21=

可容许的缺陷总长度为2a=11.94mm。

故当/ys较大时，小范围屈服假设将引入较大的误差，且结果偏危险。

对于本题则断裂判据写为：

即:或写为Easspsd2=cscEadspsd£=214.380080010200120005.032=£pssdEayscc=5.97mm一、J积分的定义和特性COD准则的优点：

测定方法简单经验公式能有效地解决中、低强度强度钢焊接结构及压力容器断裂分析问题缺点：

不是一个直接而严密的裂纹尖端弹、塑性应变场的表征参量。Rice于1968年提出J积分概念，J积分主要应用于发电工业，特别是核动力装置中材料的断裂准则。第二节J积分J积分的两种定义：

回路积分：即围绕裂纹尖端周围区域的应力应变和位移所组成的围线积分。J积分具有场强度的性质。不仅适用于线弹性，而且适用于弹塑性。

形变功率定义：外加载荷通过施力点位移对试样所做的形变功率给出。

根据塑性力学的全量理论，这两种定义是等效的。

有两个几何形状和受力完全相同的单位厚度板，各含有一个缺口，板1中缺口长为，此板的总势能为；板II中缺口长为，此板的总势能为。二板总势能之差为：。这个差值是由引起的。

1、形变功率定义

定义：是缺口长度不同造成的势能差别率。这就是J的形变功定义。可以看到：1）J的定义对材料的应力-应变关系没有任何要求，所以J积分适用于弹性体（线弹性体和非线性弹性体）和塑性体的单调加载（无卸载）情况。

非线性弹性体和塑性体的曲线在加载时没有区别，但卸载时塑性体不沿加载曲线回零（塑性变形不可逆），差的能量成热能放出。因此J只可用于塑性体单调加载的情况。2）由于不允许卸载，J不再具有裂纹扩展能量释放率的物理意义，而是功的吸收率。

3）从J的定义可见，在线弹性范围即J与G等价。所以J是G合理的延伸，是一种既适用于线弹性又适用于弹塑性的较一般的参数。

设一均质板，板上有一穿透裂纹、裂纹表面无力作用，但外力使裂纹周围产生二维的应力、应变场。围绕裂纹尖端取回路下。始于裂纹下表面、终于裂纹上表面。按逆时针方向转动应变能密度作用于路程边界上的力路程边界上的位移矢量与积分路径无关的常数。即具有守恒性。

2、线积分定义

其中：为从缺口下表面上任一点沿逆时针方向绕过缺口的顶端，而止于缺口上表面上任一点的曲线；为带缺口变形体的形变功密度，包括弹性应变能和塑性形变功；：回路上对应的“表面力”矢量；：回路上各点的位移矢量；ds：回路的线元。

J的一个重要性质，就是J积分与积分路径无关（Path-independent）。这称为J积分的守恒性。

J积分守恒性的前提是：①不允许卸载；②变形为小变形；③没有体积力。由于J与路径无关，所以可选择一条容易求积分的路径（例如沿试样的周边，可能只有弹性应力和应变），简单地求得J。

与靠近裂纹尖端处行为相关的奇异场解是断裂力学发展中的核心问题。1968年Rice提出J积分概念后，Hutchinson、Rice等人，导出了弹塑性材料裂尖应力应变场的表达式，即HRR理论，使断裂力学从线弹性发展到了弹塑性。二、弹塑性裂纹尖端的应力场1、采用以下基本公式，导出应力函数的控制方程1）Airy公式：2）几何方程：

3）物理方程：

n为硬化指数：n大硬化能力大；n小，硬化能力小。 无量纲应力：；无量纲应变：， E：材料弹性模量。导出的应力函数的控制方程为：

边界条件取： （这时裂纹表面无外荷载作用）与上式对应的多轴本构关系是

其中

2、裂尖解的结构如能从上式中解出j

，则问题得解。但目前解不出该方程。故要抓主要矛盾，予以简化：

（1）设出j的形式：由于裂纹总是从裂尖向外扩展，所以裂尖附近是我们最关心的。在线弹性断裂力学中，当r→0时，裂尖应力→∞，而弹塑性解当n=1时，就应该是线弹性解。因此，比照Williams级数，可以设想上式的解是一个无穷级数，级数的第一项有奇异性。

当只考虑裂尖附近行为时，r小到一定范围，级数的第一项由于有奇性，比起其它项都大得多，其它项的值都可忽略不计。所以，当r

相当小时，可以取：其中K为修正幅值的系数，它决定了应力场的强度。（2）简化方程：分析方程中各项

r

的幂次：双调和项中r的幂次为（S-4），后面非线性诸项r

幂次为[(S-2)n-2]。而要使应力分量有奇异性，必须S<2，又n>1故

因此，当时，方程中非线性诸项值增大的速度比双调和项快，这时非线性项是方程的主要部分，所以可以把式中双调和项略去。从物理意义上说，对任意S<2，总能选择一个充分小的裂尖邻域，使此区域中弹性变形能与塑性变形功相比任意地微小，这样就可以把式中代表弹性部分的双调和项略去。

因此，方程简化为：

将的裂尖解形式代入上式，得到关于S

和的微分方程为：其中“~”表示对应量的角度部分。边界条件有二：

i、处。这要求

ii、本问题关于x轴对称，所以在处 ，，。这要求

解上述方程是一个微分方程的边值问题。一般说对于任意S

，满足边界条件的微分方程解不存在。只有当S

取某些定值时，方程才有解。因此上述方程是一个关于

S

的特征方程。（3）S的取值范围：

i、∵从得到的应力场应具有奇异性 ∴ S<2

ii、用从得到的应力应变场算出的余能必须有界，则因此

用数值迭代法在S

的取值范围内解此边值问题，求出n为整数时同时算出、、和的值（见图），图中曲线是将的最大值归为1时的相对值。这样，导出裂尖附近塑性解的结构是：3、常数K的确定

在裂尖塑性奇异解有效的区域内，以裂尖为圆心，作一半径为r

的圆形积分路径，进行J积分，则

从而其中

由于J积分的路径无关性，J与圆路径半径r无关，所以计算出的J表达式中无r

。

是n

的函数，可以由数值方法解出，其值为n35913平面应力In3.863.413.032.87平面应变In5.515.014.604.40将上式代入裂尖解，得到

裂纹尖端附近应力、应变场的平面应变解与平面应力解相同。

弹塑性裂纹尖端应力应变场的解是在1968年由Hutchinson,Rice和Rosenfild导出的，所以称为HRR应力应变场。

当裂尖附近材料符合幂乘硬化律时，裂尖应力场具有阶奇性，裂尖应变场具有阶奇性，裂尖位移场没有奇性。

当时，，，就是线弹性裂尖场。三、J判据

从HRR场应力解可见，反映裂尖附近不同点处应力的相对大小，与外载无关；而该应力场的总体强度是由单参数J

唯一决定的，J

与外载有关。

对任何已知的，裂纹尖端处应力、应变与J有唯一的关系。而正是裂尖处的应力、应变决定着裂纹的起裂与扩展。于是可以断定，正如线弹性断裂可以用K描述一样，弹塑性断裂这种受裂尖行为控制的事件，必能用J描述。因此，在小变形范围内，在很接近裂纹尖端的地方，由于应力及应变场和J之间的一一对应关系，J是靠近裂纹尖端处行为的唯一有意义的量度。这就对弹塑性裂纹尖端处的行为，提出了合理的单参数表达。

从J

控制裂纹扩展这一概念出发，可以引出一系列重要的推论，例如J

控制区概念，裂纹扩展的J

判据概念等等。

弹塑性裂纹的启裂，可以用单参数J来描述，对I型裂纹，J写成。是一个与外载和裂纹长度有关的参数。当一定时，随外载增加，增大。当达到该材料的临界值时，裂纹开始扩展。临界值称为延性断裂韧度，它是一个材料常数，可以通过实验测出。这样，弹塑性裂纹启裂的条件是：

与K控制一样，J控制也是有条件的。为了清楚地讨论，现引进参数R来表示奇异场J主导区域的尺寸或半径。R的数值随平面应力、平面应变情况、载荷、硬化指数、几何等因素而变化。找J控制的适用范围，就是找R的上下限。1、HRR理论在有限应变区内不能用，R的下限

HRR场的推导中用了小变形和比例加载条件，而弹塑性裂尖塑性区内有一小区域（有限应变区）内的变形很大，还有卸载发生，不满足上述条件，J在该小区域内失效。因此有限应变区边界是J控制区的下限。1977年，McMeeking对小范围屈服I型平面应变问题，分析了大应变（有限应变）裂尖数值解和小应变（比例应变）裂尖数值解的结果，发现当时，有限应变效应就可以忽略不计。上式中为材料的流变应力。因此，对I型平面应变问题，J主导区的下界为：

2、HRR理论在J主导区外不能用，R的上限在裂尖塑性应变比例变化区内，用以全量理论为基础的HRR裂尖奇异解代替级数全解描述裂尖应力应变场有一定误差，这个误差随计算点距裂尖的距离R的增加而增大。当该误差增大到工程应用上不能接受的程度时，就达到了J主导区的上限。

1979年Shih和German将用增量理论的数值计算结果作为全解与HRR奇异解进行了对比，发现对弯曲型试样，两种解吻合区的最大尺寸为0.07c，c为试样的韧带长度。对拉伸型试样，吻合区的最大尺寸为0.01c。

因此，对弯曲型试样，J主导区的上界为：

故J控制区的有效范围为由

可得

如c小于此值，J控制区的上下限重合，实际上就不存在J控制区。