2022衡水中学地理内部学习资料专题05 焦点三角形（新高考地区专用）（解析版）

专题05焦点三角形技巧导图技巧导图技巧详讲技巧详讲一．技巧内容椭圆双曲线图形周长2a+2c22离心率二．技巧推导过程1.2.椭圆中焦点三角形的面积公式椭圆中的离心率4.5.双曲线中焦点三角形的面积公式6.双曲线中的离心率例题举证例题举证技巧1焦点三角形的周长【例1】（2020·黑龙江）已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（）A．20 B．16 C．18 D．14【答案】C【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C.【举一反三】1．（2020·西藏南木林县第一中学高三月考）若椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】椭圆（其中a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，可得2a+2c=16，椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，可得，解得a=5，c=3，则b=4，所以椭圆C的方程为：．故选D．2．（2019·广西南宁）定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆的焦距为，焦点三角形的周长为，则椭圆的方程是__________．【答案】【解析】设椭圆的半焦距为，由题意得，，所以，故椭圆的方程是.技巧2焦点三角形的面积【例2-1】（2020·安徽省定远中学）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则__________．【答案】3【解析】（技巧法）（常规法）因为的面积为9，所以因为，所以即故答案为：3【例2-2】（2020·山西大同）已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则的面积为【答案】【解析】（技巧法）（常规法）双曲线，则，所以，则，平方得，且，由余弦定理，即，解得，则.【举一反三】1．（2020·云南陆良）已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】（技巧法）（常规法）由双曲线的定义得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故选B．2（2020·广东汕头）若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为()A．36 B．16 C．20 D．24【答案】B【解析】（常规法）设则,即,又,故选B.3．（2020·上海普陀·高三三模）设为双曲线（）的上一点，，（为左、右焦点），则的面积等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】（技巧法）（常规法）双曲线，则不妨设是双曲线的右支上一点，则由双曲线的定义，得则,所以所以，即所以所以故选：C技巧3焦点三角形的离心率【例3-1】设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,,,则的离心率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】(技巧法），选D。（常规法）设，，则，即，，，选D。【例3-2】（2020·河北衡水中学）已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】（常规法））由椭圆上存在点，使可得以原点为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点，∴，∴，∴∴．由，∴，即椭圆离心率的取值范围为．选B．【举一反三】1．（2020·沙坪坝·重庆一中高三月考（理））已知点P在以为左，右焦点的椭圆上，在中，若，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】2．（2020·安徽合肥·高三二模（文））记，为椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则实数取值范围是()A． B．C． D．【答案】A【解析】（常规法）当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝1，m＞1，由对称性可知当M为上下顶点时，∠F1MF2最大，因为，∴∠F1MF2，∠F1MO，所以tan∠F1MO1，即1，解得m≥2；当焦点在y轴上时，a2＝1，b2＝m，0＜m＜1，当M为左右顶点时，∠F1MF2最大，因为，∠F1MF2，∠F1MO，所以tan∠F1MO1，即1，解得0＜m，故选：A．技巧强化技巧强化1．（2020·全国高三单元测试）已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解析】技巧法：△AF1B的周长公式4a=16,第三边等于16-10=6常规法：因为根据已知条件可知，椭圆＋＝1中16>9,说明焦点在x轴上，同时a=4,b=3,而过点F2的直线交椭圆于A，B两点，则点A到F2，F1的距离和为2a=8,点B到F2，F1的距离和为2a=8，结合椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a=16.在结合三角形的周长公式可知，其中两边之和为10，则另一边的长度为16-10=6故选A.2．（2020·广西钦州一中）设椭圆C：(a>0，b>0)的左､右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且⊥.若的面积为4，则a=（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】（技巧法）（常规法），，由椭圆定义，，由⊥得，的面积为4，则，即，，即,解得，即，故选：C.3．（2020·河南高三其他（文））椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上的点满足：，且，则（）A．1 B．C． D．2【答案】C【解析】设，，则，又（1），（2），（1）式平方减去（2）式得：，得：.故选：C.4．（2020·黑龙江绥化·高三其他（理））已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若，则有成立，现已知椭圆上存在一点P，，为其焦点，在中，，，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得：，所以，所以，解得.故选：C5．（2020·山西临汾）已知椭圆的左，右焦点分别为，若上的点到的距离为，则△的面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意知，，，所以，因为，且，所以，在△中，，因为，所以，所以△的面积为.故选：C.6．（2020·陆川中学）已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】（常规法）由题设可知点在以为直径端点的圆上，由此可得该圆的半径，即，也即，故应选答案A．7．（2020·全国高三一模（文））设椭圆的两焦点为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当是椭圆的上下顶点时，最大，∴，∴，∴，，，∴，则椭圆的离心率的最小值为.故选：C.8．（2019·江西南昌十中））已知点F1，F2分别是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且，若，则e1的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,焦点坐标为，不妨设P为第一象限的点，做出示意图如下图所示，由椭圆与双曲线的定义得，所以得，又因为，由余弦定理得，所以得所以得即，所以，因为，所以，，，所以，所以，所以，所以，故选：D.9．（2020·伊美区第二中学）设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（）A． B．C．24 D．48【答案】C【解析】双曲线的实轴长为2,焦距为.根据题意和双曲线的定义知,所以,,所以,所以.所以.故选：C10．（2020·四川青羊·树德中学高二月考（文））设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由双曲线的定义得，又，，即，因此，即，则，解得，（舍去），因此，该双曲线的离心率为.故选：B.11．（2020·吉林松原·高三其他（文））已知点是双曲线上一点，，分别为双曲线的左､右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（）A．15 B．16 C．18 D．20【答案】B【解析】（技巧法）依题意，.在三角形中，，由正弦定理得，即，由于为锐角，所以.（常规法）依题意，.在三角形中，，由正弦定理得，即，由于为锐角，所以.根据双曲线的定义得.在三角形中，由余弦定理得，即，即，即，所以.故选：B12．（2020·陕西省丹凤中学高三一模（理））设，分别是双曲线的左右焦点.若点在双曲线上，且，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，.故选：D13．（2020·陕西高三其他（文））已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，，，所以，所以的取值范围是.（常规法）设，，，则由余弦定理得.又，则，解得，所以.因为，所以，，，所以，所以的取值范围是.故选：B.14．（2020·河北张家口·高三期末（理））已知双曲线的焦点为，，点为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，，解得，，故选D.15．（2020·全国高三一模（理））已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，MF1与轴垂直，sin,则E的离心率为（）A． B．C． D．2【答案】A【解析】由已知可得，故选A.16．（2019·平罗中学高三二模（理））已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则双曲线E的离心率为A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】（常规法））与x轴垂直，，设，则，由双曲线的定义得，即，得，在直角三角形中，，即，即，即，则，则，故选A．17．（2020·陕西西安·高三其他（理））已知椭圆的两个焦点是、，点是椭圆上一点，且，则的面积是______.【答案】4【解