试验设计第2章 单因子试验的设计与分析

第2章单因子试验的设计与分析2.1单因子试验2.2单因子方差分析2.3多重比较2.4效应模型2.5正态性检验2.6方差齐性检验2.1单因子试验指标：叶酸含量，因子：绿茶，水平：产地平衡设计与不平衡设计例2.1.1

茶是世界上最为广泛的一种饮料，任一种茶叶都含有叶酸(folacin),它是一种维他命B.如今已有测定茶叶中叶酸含量的方法.研究各产地绿茶的叶酸含量是否有显著差异.

重复数相等的设计称平衡设计，重复数不等的设称不平衡设计完全随机设计全部试验的试验次序随机安排2.1单因子试验例2.1.1的试验安排随机化

将1~24随机排列，根据随机次序安排试验2.1单因子试验数据的打点图(dotplot)从均值看：A1,A2叶酸含量较高从极差看：A4较小2.1单因子试验单因子试验的数据结构在一个试验中只考察一个因子A及其r个水平A1，A2，…，Ar．在水平Ai下重复mi次试验，总试验次数n=m1+m2+…+mr．记yij是第i个水平下的第j次重复试验的结果，经过随机化后，所得的n个试验结果列于下表表2.2.1单因子试验的数据2.1单因子试验单因子试验的基本假定正态性：yij是来自正态总体的样本方差齐性：r个正态总体的方差相等随机性：所有数据yij是都相互独立相同试验环境随机化2.1单因子试验单因子试验的研究对象

r个水平的均值是否相等?若各均值不全等相等,哪些均值间的差异是重要的？单因子试验模型第i水平下第j次试验结果第i水平均值，是待估计参数第i水平下第j次试验误差相互独立2.1单因子试验各水平均值的估计采用使Q达最小的最小二乘估计2.2单因子方差分析检验假设不全相等偏差平方和及其自由度偏差平方和自由度f平方和中独立偏差的个数2.2单因子方差分析定理2.2.1

若y1,y2,…,yk是来自正态总体N(μ,

σ2)的一个样本，则有

偏差平方和的性质2、每个数据加上同一个常数c,偏差平方和不变3、每个数据乘以同一个常数c,偏差平方和变为原来的c2倍2.2单因子方差分析总平方和的分解公式组内平方和(误差平方和)组间平方和(因子平方和)2.2单因子方差分析各平方和的计算使用T与Ti计算各平方和不会出现舍入误差，可以提高计算精度2.2单因子方差分析各平方和的期望定理2.2.2

在单因子方差分析的三个基本假定下有均方和MSe是σ2的无偏估计MSA是σ2的有偏估计,偏差大小取决于各水平均值间的差异2.2单因子方差分析方差分析表拒绝域为：来源

平方和

自由度

均方和

F比

因子

A

å=-=riiiAyymS12)(

1-=rfA

1-=rSMSAA

eAMSMSF=

误差

e

åå==-=rimjiijeiyyS112)(

rnfe-=

rnSMSee-=

——

和

T

åå==-=rimjijTiyyS112)(

1-=nfT

——

——

2.2单因子方差分析诸水平均值的估计点估计区间估计2.2单因子方差分析例2.2.1

例2.1.2中茶叶叶酸含量在各水平下的是否有显著差异例2.2.2

计算5个数98，100，101，103，108的偏差平方和例2.2.3

比较四种不同牌号的铁锈防护剂的防锈能力.2.3多重比较多重比较问题同时比较任意两个水平均值之间有无显著差异的问题称为多重比较问题同时同时检验如下假设：个)重复数相等情况的T法(Turkey,1953)

考虑r个水平,各水平的重复数均为m拒绝域的形式为：2.3多重比较重复数相等情况的T法(Turkey,1953)

检验统计量：t化极差统计量,可查表获得分位数2.3多重比较重复数相等情况的T法(Turkey,1953)

显著水平为α的临界值：拒绝域：例2.3.1

在显著水平0.05下对例2.2.5做多重比较2.3多重比较重复数不等情况的S法(Scheffe,1953)

成立时，有检验统计量：2.3多重比较重复数不等情况的S法(Scheffe,1953)

拒绝域若则拒绝2.4效应模型效应模型及其分类

效应模型固定效应模型随机效应模型r个水平是特定的r个水平是从诸多水平中随机挑选出来的2.4效应模型固定效应模型数据结构固定效应模型方差分析检验假设不全为0与单因子方差分析等价2.4效应模型固定效应模型参数估计估计总均值μ与诸效应ai,采用最小二乘估计,使在ai的约束条件下达最小，可得2、ai的区间估计为：2.4效应模型固定效应模型参数估计3、μi-μj的区间估计为：例2.4.1

对绿茶叶酸含量问题，求各水平效应的点估计与区间估计2.4效应模型随机效应模型数据结构随机效应模型方差分析检验假设εij与ai相互独立与单因子方差分析与固定效应模型一致方差分量模型2.4效应模型随机效应模型方差分量的估计定理2.4.1

在随机效应模型下,误差平方和Se和因子A的平方和SA的数学期望分别为在等重复情况下有：σ2和σa2的无偏估计为重复数不等时重复数相等(可能小于0)2.4效应模型例2.4.2

绿茶的种类(产地)很多，将例2.1.1中所选的四种绿茶看作从诸多种类绿茶中随机抽取，对其作方差分析,给出方差分量的估计.例2.4.3

纺织厂有很多纺机用来纺织纤维，希望各纺机的纤维强度波动小，一致性好。工程师推测，同一台机器纺出的纤维强度间有差异，各台纺机之间纺出纤维强度亦有差异，随机选取四台纺机，在每台纺机生产的纤维中测定四个强度。这一试验以随机顺序进行，所得数据如表。对该问题作方差分析。2.5正态性检验正态性的图检验法正态概率纸一种的特殊的坐标纸，横坐标等间隔，用来表示观察值的大小，其纵坐标按标准正态分布函数

Φ(x)=P(X≤x)标示，表示观察值不超过x的个数在全部观察值中所占比例2.5正态性检验正态性的图检验法在正态概率纸上任一正态分布函数呈上升直线状任一右偏态分布函数呈上凸曲线状任一左偏态分布函数呈下凸曲线状任意两个方差相等的正态分布函数呈平行直线状2.5正态性检验正态性的图检验法用正态概率纸检验正态性1.将样本数据进行排序,,一般要求m≥82.在点y(j)处的累积概率用修正概率或

去估计，对j=1,2,…,m计算这些估计值3.将m个点逐一点在正态概率纸上4.用目测法去判断：若m个点近似在一直线附近,则认为该样本来自某正态总体若m个点明显不在一直线附近,则认为该样本来自非正态总体2.5正态性检验正态性的图检验法残差概率图当各水平下重复数少于8时，经常会出现明显波动，此时对重复数相等的情况，可用残差把小样本合并成为一个较大样本，再诊断数据是否服从正态分布.三个基本假定下，有即：重复数相等时，诸残差来自同一正态分布，对诸残差按照前面所述方法使用正态概率纸即可。2.5正态性检验例2.5.2

合成纤维(对成品布)的抗拉强度进行试验，工程师的经验表明：某种合成纤维的抗拉强度与棉花在纤维中所占百分比有关。考虑到成品布的其他质量特性，棉花含量在10%~40%之间为宜。对棉花含量这个因子工程师选定五个水平：

A1:15%A2:20%A3:25%A4:30%A5:35%并决定对每个水平各重复进行5次试验，共做25次试验。经过对试验次序随机化共获得25个试验结果如表，对数据作正态性检验并作方差分析.例2.5.3

在某种铁锈防护剂的防锈能力的试验中获得容量为10的一个样本，在显著水平0.05下检验它是否来自正态分布。2.5正态性检验W检验设从总体X中随机抽取容量为n的样本x1,x2,…,xn,检验假设

H0:X服从正态分布在8≤n≤50时,Wilk与Shapiro提出如下W统计量：ai是特定系数（有表可查）,满足：2.5正态性检验W检验

W可看作数对(ai,x(i))的相关系数的平方，H0为真时，W的值接近于1，拒绝域为：(Wα可查表获得)数据的变换已知观察值的分布

观察值是计数数据，不少可认为是泊松分布，可用平方根变换

观察值是分数表达的比例，其分子部分可能服从二项分布，可用反正弦变换

观察值服从对数正态分布，可用对数变换2.5正态性检验未知观察值的分布需要凭经验寻找合适变换，常用变换有例2.5.4

从一批电子元件中随机抽取10只进行寿命试验，获得10个寿命时间(单位：小时)。判断该数据是否来自正态总体，若不是，选择合适数据变换使之近似服从正态分布。2.5正态性检验Box-Cox变换这个变换能改变分布形状,使之成为正态分布,至少是对称分布;当y≥0时，这类变换能保持数据的大小次序;对变换结果可以有个很好的解释;这个变换是λ的连续函数，对其选取带来方便;当ymax/ymin>2时，使用该变换常有效，而ymax/ymin≤2时，使用该变换无效;2.5正态性检验Box-Cox变换λ的选取λ的极大似然估计是使达最小的估计可画Q(λ)曲线读出使其最小的值选出10~20个λ的值，分别计算Q(λ)值，选择使其最小的λ2.6方差齐性检验方差齐性的假设H1:诸不全相等常用检验方法Bartlett检验，适用于样本量不等或相等场合，但每个样本量不得低于5修正的Bartlett检验，在样本量较小或较大、相等或不等场合均可使用Hartley检验，仅适用于样本量相等场合SPSS中使用的levene检验对非正态性数据适用，计算量大一般需要用统计软件计算。2.6方差齐性检验Bartlett检验考虑各样本方差，由几何平均数不超过算术平均数有拒绝域的形式为

Bartlett证明了