直角和圆位置关系第三课时

24.2.2直线和圆的位置关系(第三课时)典型例题精析

例1如图24-2-41，过半径为6cm的⊙O外一点P引圆的切线PA、PB，连接PO交⊙O于点F，过点F作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E.如果PO=10cm，∠APB=40°.典型例题精析

解：连接AO、BO，则OA⊥PA，∴PA==8(cm).∵PA、PB为切线，A、B为切点，EF、EB、DF、DA与⊙O相切，∴PA=PB，DF=DA，EF=EB，∴△PDE的周长=PD+DF+PE+EF=PD+DA+PE+EB=PA+PB=2PA=16cm. (2)求∠DOE的度数.根据切线长定理知∠ADO=∠FDO，∠OEB=∠OEF，∴∠1=∠2=∠AOF，∠FOE=∠BOE=∠BOF，∴∠DOE=∠2+∠FOE=∠AOB.∵∠AOB+∠APB=180°，∴∠DOE=(180°-∠APB)=×(180°-40°)=70°.1．图24-2-42，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，

OP交⊙O于点C.下列结论中错误的是() A．∠APO＝∠BPOB．PA＝PBC．AB⊥OPD．PC＝OC变式练习D2．如图24-2-43，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于点A、B，C是AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E两点.若△PDE的周长为12，则PA的长为_________．63．如图24-2-44，在四边形ABCD中，AB∥CD， ⊙O为内切圆，E为切点. (1)求∠AOD的度数；解：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°.∵⊙O内切于梯形ABCD，∴AO平分∠BAD，DO平分∠ADC，∴∠DAO＝∠BAD，∠ADO＝∠ADC.∴∠DAO＋∠ADO＝(∠BAD＋∠ADC)＝90°.∴∠AOD＝180°－(∠DAO＋∠ADO)＝90°. (2)若AO＝8cm，DO＝6cm，求OE的长.解：∵在Rt△AOD中，AO＝8cm，DO＝6cm,∴由勾股定理，得AD＝＝10cm.∵E为切点，∴OE⊥AD.∴AD·OE=OA·OD，即OE==48cm.例2如图24-2-45，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别切于点D、E、F，∠C=90°,AB=c, BC=a,CA=b,⊙O的半径为r.求证：r=证明：连接OD、OE、OF、OA.∵⊙O内切于△ABC，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.又∵∠C=90°,∴四边形OECF是正方形，∴CE=CF=r.在Rt△AOD和Rt△AOF中，∴Rt△AOD≌Rt△AOF(HL)，∴AD=AF.同理BD=BE，∴BD=BE=a-r,AD=AF=b-r.又∵BD+AD=c,∴a-r+b-r=c,∴r=4．如图24-2-46，点O是△ABC的内切圆的圆心.若∠BAC=80°，则∠BOC等于()A．130°B．100°C．50°D．65°变式练习A5．2016咸宁)如图24-2-47，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE.若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为________．122°6．如图24-2-48，在△ABC中，内切圆⊙I和边BC、CA、AB分别切于点D、E、F．

(1)若AB＝6,AC＝8,BC＝10,试求内切圆的面积；解：显然6、8、10是一组勾股数，则△ABC是直角三角形．∴S△ABC=AB·AC=24．连接BI、AI、CI、FI、EI、DI，则由内切圆的性质知，IF、ID、IE分别是△ABI、△BCI、△ACI的高，设内切圆的半径为r，则S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACI=·AB·r+·CB·r+·AC·r=r·(AB+BC+AC)=12r．∴12r=24,解得r=2,故⊙I的面积为4π. (2)若∠A＝88°,试求∠EDF的度数，并探求∠A与∠EDF有何关系？解：∵⊙I内切于△ABC，∴IF⊥AB，IE⊥AC，∴在四边形AEIF中，∠A＋∠EIF＝180°．而∠EDF是∠EIF所对弧的圆周角，∴∴当∠A＝88°时，有∠EDF＝46°．故两角之间的关系为∠EDF＝90°-. (3)△DEF一定是锐角三角形吗？为什么？解：由(2)知∠EDF=90°-∠A＜90°,则∠EDF一定是锐角．同理可得，△DEF其余两个内角也是锐角，∴△DEF是锐角三角形．1．△ABC的内切圆⊙O分别与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的() A．三条中线的交点B．三条高线的交点C．三条内角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点基础过关精练D2．(2016荆州)如图24-2-49，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是()A．15° B．20°C．25°D．30°C3．(2016德州)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”

()A．3步B．5步C．6步D．8步C4．如图24-2-51，O是△ABC的内心，过点O作

EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则()A．EF＞AE+BFB．EF＜AE+BFC．EF=AE+BFD．EF≤AE+BF【提示】连接OA、OB．∵O是△ABC的内心，∴OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO.∵EF∥AB，∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF.∴AE=OE，OF=BF，∴EF=AE+BF．C5．(2016株洲)如图24-2-52，△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，∠A=75°，∠B=45°，则圆心角∠EOF=__________．120°6．(2016攀枝花)如图24-2-53，△ABC中，∠C= 90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__________．7．如图24-2-54，在△ABC中，AB=AC，内切圆⊙O与边BC、AC、AB分别切于点D、E、F．

(1)求证：BF=CE；证明:∵AB、AC分别与⊙O相切于点F、E，∴AE=AF.∵AB=AC，∴BF=CE. (2)若∠C=30°，CE=2，求AC的长．解：连接AD.∵AB=AC，BC切⊙O于点D，∴AD⊥BC，∴AD=AC.∵BC、AC、AB与⊙O分别相切于点D、E、F，∴CE=CD=2，∴由勾股定理得AD2+DC2=AC2，解得AC=4或AC=-4(不合题意，舍去)，∴AC=4.8．如图24-2-55，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是劣弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线DE，分别交PA、PB于点D、E.已知△PDE的周长为8，∠DOE=70°，点M、N分别在PB、PA的延长线上，MN与⊙O相切于点F，且DN、EM的长是方程x2-10x+k=0的两根. (1)求∠P的度数；解：连接OA、OB、OC.∵PA、DE、PB为⊙O的切线，∴∠PAO=∠DCO=∠PBO=90°，易得∠AOD=∠COD，∠COE=∠BOE，∴∠AOB=2∠DOE=140°.又∵∠P+∠AOB=180°,∴∠P=40°. (2)求PA的长；解：∵△PDE的周长=PD+PE+DE=PD+CD+CE+PE=PD+AD+PE+BE=PA+PB=2PA=8，∴PA=4. (3)求四边形DEMN的周长.解：由切线长定理可知DA=DC，NA=NF，MF=MB，EB=EC.∵DN、EM的长是方程x2-10x+k=0的两根，∴DN+EM=10，∴四边形DEMN的周长=DN+DE+ME+MN=DA+DC+NA+NF+MF+MB+EB+EC=2DA+2AN+2BE+2MB=2(DN+ME)=20.9．(2016遵义)如图24-2-56，矩形ABCD中，AB=4，

BC=3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是() A．B．C．D．能力拓展演练B【提示】∵四边形ABCD为矩形，∴△ACD≌△CAB，∴⊙P和⊙Q的半径相等．在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，∴AC=5，∴⊙P的半径r==1．连接PQ，过点Q作QE∥BC，过点P作PE∥AB交QE于点E，则∠QEP=90°，如图所示．在Rt△QEP中，QE=BC-2r=1，EP=AB-2r=2，∴PQ=10．在△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是___________．135°【提示】如图，∵CD为AB边上的高，∴∠ADC=90°,∴∠BAC+∠ACD=90°.又∵I为△ACD的内切圆圆心，∴AI、CI分别是∠BAC和∠ACD的平分线，∴∠IAC+∠ICA=45°，∴∠AIC=135°.又∵AB=AC，∠BAI=∠CAI，AI=AI，∴△AIB≌△AIC(SAS)，∴∠AIB=∠AIC=135°．11．如图24-2-57，已知AB为⊙O的直径，

AB=2，AD和BE是⊙O的两条切线，

A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的 切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM=__________．12．如图24-2-58①，直线y=-x+3与x