高考数学总复习：第6章《不等式、推理与证明》【2】

第二节一元二次不等式及其解法[主干知识梳理]一元二次不等式的解集二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集的关系，可归纳为：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有两相异实根有两相同实根无实根x＝x1或x＝x2x＝x1若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c>0(a>0)ax2＋bx＋c<0(a>0){x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}R{x|x1<x<x2}∅∅4．(2012·天津高考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝__________，n＝________． 解析因为|x＋2|<3，即－5<x<1， 所以A＝(－5，1)，又A∩B≠∅，所以m<1，B＝(m，2)， 由A∩B＝(－1，n)得m＝－1，n＝1.

答案－1

15．(教材习题改编)若不等式－x2＋2x－m＞0，在x∈[－1，0]上恒成立，则m的取值范围是__________． 解析由m＜－x2＋2x知m只需小于u＝－x2＋2x，

x∈[－1，0]的最小值即m＜umin.

又u在[－1，0]上递增， ∴umin＝－1－2＝－3. ∴m＜－3.

答案(－∞，－3)[关键要点点拨]解一元二次不等式应注意的问题：(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数．(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况．(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号．(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同．

[典题导入]

解下列不等式：(1)0＜x2－x－2≤4；(2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．一元二次不等式的解法

[规律方法]1．解一元二次不等式的一般步骤：

(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；

(2)计算相应的判别式；

(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；

(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．

[典题导入]

已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．[听课记录]解法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.一元二次不等式恒成立问题

要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，a

的取值范围为[－3，1]．

[规律方法]1．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．2．一元二次不等式恒成立的条件：

(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)(x∈R)恒成立的充要条件是：

a＞0且b2－4ac＜0. (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)(x∈R)恒成立的充要条件是：

a＜0且b2－4ac＜0.

[跟踪训练]2．若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________． 解析由Δ1<0，即a2－4(－a)<0，得－4<a<0； 由Δ2≥0，即a2－4(3－a)≥0，得a≤－6或a≥2.

答案(－4，0)

(－∞，－6]∪[2，＋∞)一元二次不等式的应用

[规律方法]解不等式应用题，一般可按如下四步进行：(1)认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3)解不等式；(4)回答实际问题．

[跟踪训练]3．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？【思路导析】

利用新定义化简出f(x)，并作出图象分析．【高手支招】

“三个二次”间关系，其实质是抓住二次函数y＝ax2＋