牛顿莱布尼茨公式

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实用标准文案教学过程1、复习旧知识，引入课题1）复习：定积分的概念及几何意义原函数的概念导数的定义2）课题引入：从上节的例题和习题中可以看到利用定积分的定义计算定积分的值是十分繁琐且易出错的，有时甚至无法计算。下面将通过对定积分与原函数关系的讨论，到出一种计算定积分的简便有效的方法—牛顿-莱布尼茨公式。2、讲解新课2.1 定积分与不定积分的联系若质点以速度v v(t)作变速直线运动，由定积分的定义，质点从时刻a到b所经过的路程为sbv(t)dt。a另一方面，质点从某时刻a到时刻b经过的路程记为s(b)s(a)，则s'(t)v(t)，于是bv(t)dts(b)s(a)sa注意到路程函数 s(t)是速度函数v(t)的原函数，因此把定积分与不定积分联系起来了，这就是下面要介绍的牛顿 -莱布尼茨公式。2.2牛顿-莱布尼茨公式定理：若函数 f(x)在a,b上连续，且存在原函数 Fx,文档大全⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯线⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

实用标准文案即F'(x)f(x)，xa,b，则f(x)在a,b上可积，且b（1）f(x)dxFbFaa则上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式，它也常写成b bf(x)d(x)F(x)a证明：由定积分定义，任给 0，要证明存在 0，当T 时，有nf i xi Fb Fai 1下面证明满足如此要求的 确实是存在的。事实上，对于a,b的任一分割T a x0,x1, ,xn b，在每个小区间xi1,xi 上对Fx使用拉格朗日中值定理，则分别存在i xi1,xi,i 1,2, ,n，使得n nFb Fa Fxi Fxi1 F' i xi（2）i1 i 1因为f(x)在a,b上连续，从而一致连续，所以对上述0，存在0，当x',x''a,b且x'x''时有f(x')fx''ba于是，当xiT时，任取ixi1,xi便有i i ，这就证得nf i xi Fb Fai 1文档大全⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯线⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

实用标准文案nf i f i xi1nfifixii1nbai1xi所以f(x)在a,b上可积，且有公式（1）成立。公式使用说明：bxdx时，f(x)的原函数必须是初（1）在应用公式求fab等函数，否则使用公式求fxdx失效。即f(x)的原函a数Fx可由 fxdx求出。2）定理的条件还可以适当减弱，如：1）对Fx的要求可减弱为：在a,b上连续，在a,b内可导，且F'(x) f(x)，不影响定理的证明。）对f(x)的要求可减弱为：在a,b上可积（不一定连续），这时公式（2）仍成立。2.3 例题讲解例1利用牛顿-莱布尼茨公式计算下列定积分bxndx（n为正整数）（1）abexdx（2）abdx0ab（3）x2a（4）sinxdx0文档大全⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯线⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

实用标准文案2（5） x 4 x2dx0解：其中（1）—（3）即为上节的例题和习题，现在用牛顿-莱布尼茨公式来计算就十分方便了。bxndxxn1b1bn1an1（1）an1an1bexdxxbeba（2）eaeabdx1b11（3）x2xaaba（4）sinxdxcosx020（5）先用不定积分法求出fxx4x2的任一原函数，然后完成定积分计算：2dx14x2d4x214x23x4x23C2212283x4xdx34x300例2利用定积分求极限：lim111Jn1n22nn解：把极限式化为某个积分和的极限式， 并转化为计算定积分。为此作如下变形：n11Jliminni11n不难看出，其中的和式是函数fx1在区间0,1上的x1一个积分和（这里所取得是等分分割，文档大全⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯线⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

实用标准文案xi1,iii1,i,i1,2,,n），所以nnnn111dxln1xln2Jx010当然，也可把J看作fx1在1,2上定积分，同样有211x3ln2Jdxdx1x2x1注意：这类问题的解题思想，是要把所求的极限转化为某个函数fx在某一区间 a,b上的积分和的极限，然后利用牛顿-莱布尼茨公式计算Jbfxdx的值。a3、课堂小结微积分基本公式：若函数f(x)在a,b上连续，且存在原函数Fx,即F'(x)f(x)，xa,b，则f(x)在a,b上可积，且bFaf(x)dxFba4、课后作业习题4-3文档大全实用标准文案文档大全实用标准文案⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯线⋯⋯⋯⋯文档大全⋯⋯⋯实用标准文案⋯⋯⋯文档大全⋯⋯⋯⋯实用标准文案⋯⋯ 文档大全⋯⋯⋯⋯实用标准文案⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯⋯⋯文档大全⋯⋯订实用标准文案⋯山西水利职业技术学院教案纸⋯文档大全⋯⋯⋯⋯实用标准文案⋯山西水利职业技术学院教案纸⋯文档大全