离散数学第五章第六节

第5-6讲环和域1.环2.具有特殊性质的环3.域4.同态概念的推广5.第5-6讲作业11、环（1）定义1

设<A,,*>是代数系统，如果(1)<A,>是阿贝尔群；(2)<A,*>是半群。(3)运算*对是可分配的。即对任意a,b,cA，有

a*(bc)=(a*b)(a*c)(bc)*a=(b*a)(c*a)则称<A,,*>是环。本节讨论具有两个运算的代数系统<A,,*>。它可视为<A,>和<A,*>组合而成的代数系统。例如实数集上具有加和乘运算的代数系统<R,+,>。例如，<R,+,>。<I,+,>。<Q,+,>都是环。21、环（2）定理1

设<A,+,>是环，则对任意a,b,cA，有(1)a=a=(加法幺元是乘法零元)(2)a(-b)=(-a)b=-(ab)(3)(-a)(-b)=ab(4)a(b-c)=ab-ac(5)(b-c)a=ba-ca为了方便，常称环<A,,*>的第一个运算为加法，并记为+，用表示加法幺元，用-a表示a的加法逆元，将a+(-b)记为a-b；称第二个运算*为乘法，并记为。证明：(1)a=a(+)=a+a

因aA，上式两边同加a的加法逆元-(a)得a=。同理可证a=。31、环（3）定理1

设<A,+,>是环，则对任意a,b,cA，有(2)a(-b)=(-a)b=-(ab)(3)(-a)(-b)=ab(4)a(b-c)=ab-ac(5)(b-c)a=ba-ca证明(续)：(2)

a(-b)=-(ab)可理解为ab的加法逆元是a(-b)。于是可证如下：因ab+a(-b)=a(b-b)=a=，并注意到<A,+>是可换群，所以a(-b)=-(ab)，同理可证a(-b)=(-a)b。(3)由(2)式及P189定理5-3.4，

(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab(4)a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab+(-ac)=ab-ac(5)

同(4)可证42、具有特殊性质的环（1）定义2

设<A,+,>是环，如果<A,>是可交换的，则称<A,+,>是可交换环。如果<A,>含有幺元,则称<A,+,>是含幺环。定义3

设<A,+,>是环，如果存在a,bA，且a,b,使得ab=,则称<A,+,>是含零因子环。a和b称为零因子。定理2

环<A,+,>无零因子与乘法满足可约性等价。证明：设ca=cb且c,则=ca-ca=ca-cb=c(a-b)，若环<A,+,>无零因子，由上式，a-b=。两边加b得a=b。反之，设a，ab=，因加法幺元是乘法零元，可得，ab=a，若消去律成立，得b=。这说明<A,+,>无零因子。52、具有特殊性质的环（2）定义4

设<A,+,>是环，如果(1)<A,>是可交换的；(2)<A,>含有幺元；(3)<A,>无零因子（或满足可约性），则称<A,+,>是整环。例如，<I,+,>是整环，因<I,>可交换，有幺元1，且无零因子（也满足可约性）。63、域（1）定义5设<A,+,>是代数系统，如果(1)<A,+>是阿贝尔群；(2)<A-{},>是阿贝尔群；(3)运算对+是可分配的，则称<A,+,>是域。例如，<R,+,>、<Q,+,>都是域。但<I,+,>是整环而不是域，因<I-{},>不是群，整数除正负1之外，均无乘法逆元。

此例说明整环不一定是域。73、域（2）定理3域是整环。证明：设<A,+,>是域，对任意a,b,cA,若a,那么a有乘法逆元a-1。如果ab=ac，则a-1(ab)=a-1(ac),进而(a-1a)b=(a-1a)c,最后得b=c。这说明<A,>满足可约性，即<A,>无零因子，所以域<A,+,>是整环。定理4有限整环一定是域。证明：设<A,+,>是有限整环，则<A,>是可交换的独异点，要证<A,+,>是域，只须证任意c()A,都有乘法逆元。事实上，若a,bA,且ab，则acbc（否则，因<A,>无零因子，由可约性而导致a=b）。又因A有限，运算封闭，从而有Ac=A。如果用1表示乘法幺元，则存在dA,使得dc=1。故d是c的乘法逆元，这说明<A-{},>是阿贝尔群。84、同态概念的推广可以同态概念推广到具有多个运算的代数系统。

例如，设<A,+,>和<B,,*>是两个代数系统，对任意a,bA,如果映射f：AB满足