模拟信号数字处理方法

第1章时域离散信号和时域离散系统1.1引言1.2时域离散信号1.3时域离散系统1.4时域离散系统的输入输出描述法

——线性常系数差分方程1.5模拟信号数字处理方法11.5模拟信号数字处理方法在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点，因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号。这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。其原理框图如图1.5.1所示。图中的预滤与平滑所起的作用在后面介绍。本节主要介绍采样定理和采样恢复。预滤A/DC数字信号处理D/AC平滑滤波图1.5.1模拟信号数字处理框图xa(t)ya(t)2对模拟信号进行采样可以看做一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次；每次合上的时间为τ<<T；1.5.1采样定理及A/D变换器在电子开关输出端得到其采样信号。该电子开关的作用等效成一宽度为τ，周期为T的矩

形脉冲串pT(t)，采样信号

就是xa(t)与pT(t)相乘

的结果。采样过程如图1.5.2(a)所示。34图1.5.2对模拟信号进行采样如果让电子开关合上时间τ→0，则形成理想采样，此时

上面的脉冲串变成单位冲激串，用pδ(t)表示。pδ(t)中每个单位冲激处在采样点上，强度为1，理想采样

则是xa(t)与pδ(t)相乘的结果，采样过程如图1.5.2(b)所示。5图1.5.2对模拟信号进行采样上式中δ(t)是单位冲激信号，在上式中只有当t=nT时，才可能有非零值，因此写成下式：（1.5.1）（1.5.2）用公式表示为7下面研究理想采样前后信号频谱的变化，从而找出为了使采样信号能不失真地恢复原模拟信号，采样速率Fs(Fs=T－1)与模拟信号最高频率fc之间的关系。

8（1）冲激信号及其抽样特性

预备知识t(1)0d(t)(2)冲激函数序列的傅氏变换......0TtdT(t)0……冲激序列的傅氏变换仍为冲激序列。设式中，Ωs=2π/T，称为采样角频率，单位是rad/s。（1.5.4）12我们知道在傅里叶变换中，两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积，按照（1.5.2）式，推导如下：进行傅里叶变换，得到对（1.5.1）式（1.5.5）13*可见，该频谱为周期性信号，其周期为14图1.5.3采样信号的频谱xa(t)是带限信号，最高频率为Ωc，其频谱为Xa(jΩ)pδ(t)的频谱Pδ(jΩ)的频谱无重叠有重叠图1.5.4采样恢复如果满足Ωs≥2Ωc，即满足Fs≥2fc，基带谱与其它周期延拓形成的谱不重叠。理想低通滤波器G(jΩ)从采样信号中可以不失真地提取原模拟信号，如图1.5.4所示。但如果选择采样频率太低，或者说信号最高截止频率过高，使Fs<2fc,Xa(jΩ)按照采样频率Fs周期延拓时，形成频谱混叠现象，用图1.5.3(d)表示。这种情况下，再用图1.5.4所示的理想低通滤波器对Xa(t)进行滤波，得到的是失真了的模拟信号。下面用公式表示：17（1.5.6）18这里需要说明的是，一般频谱函数是复函数，相加应是复数相加，图1.5.3和图1.5.4仅是示意图。一般称Fs/2为折叠频率，只有当信号最高频率不超过Fs/2时，才不会产生频率混叠现象，否则超过Fs/2的频谱会折叠回来而形成混叠现象，因此频率混叠在Fs/2附近最严重。19总结上述内容，采样定理叙述如下：（1）对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率Ωs为周期进行周期性的延拓形成的，用公式（1.5.5）表示。

20（1.5.5）21（2）设连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为Ωc，如果采样角频率Ωs≥2Ωc，那么让采样信号通过一个增益为T、截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则,Ωs<2Ωc会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。实际中对模拟信号进行采样，需根据模拟信号的截止频率，按照采样定理的要求选择采样频率，即Ωs≥2Ωc，但考虑到理想滤波器G(jΩ)不可实现，要有一定的过渡带，为此可选Ωs=(3~4)Ωc。

另外，可以在采样之前加一抗混叠的低通滤波器，滤去高于Ωs/2的一些无用的高频分量，以及滤除其它的一些杂散信号。这就是在图1.5.1中采样之前加预滤的原因。

上面我们通过对模拟信号进行理想采样分析推导出采样定理。采样定理表示的是采样信号的频谱与原模拟信号xa(t)的频谱之间的关系，以及由采样信号不失真地恢复原模拟信号的条件。22要进一步说明的是，采样信号用（1.5.2）式表示，它是用一串延时的单位冲激加权和表示的。

按照该式，在t=nT时，即在每个采样点上，采样信号的强度（幅度）准确地等于对模拟信号的采样值xa(nT)，而在t≠nT非采样点上采样信号的幅度为零。时域离散信号x(n)只有在n为整数时才有定义，否则无定义，因此采样信号和时域离散信号不相同。23（1.5.2）但如果序列是通过对模拟信号采样得到的，即x(n)=xa(nT)，序列值等于采样信号在t=nT时的幅度，在第2章将通过分析时域离散信号的频谱，得到此时序列的频谱依然是模拟信号频谱的周期延拓，因此由模拟信号通过采样得到序列时，依然要服从采样定理，否则一样也会产生频谱混叠现象。24通过按等间隔T对模拟信号进行采样，得到一串采样点上的样本数据，这一串样本数据可看做时域离散信号（序列）。将模拟信号转换成数字信号由模/数转换器(Analog/DigitalConverter,A/DC）完成，模/数转换器的原理框图如图1.5.5所示。图1.5.5模/数转换器原理框图25设A/DC有M位，那么用M位二进制数表示这一串样本数据，即形成数字信号。因此，采样以后到形成数字信号的这一过程是一个量化编码的过程。例如：模拟信号xa(t)=sin(2πft+π/8)，式中f=50Hz,选采样频率Fs=200Hz，将t=nT代入xa(t)中，得到采样数据：26当

时，得到序列x(n)如下：x(n)={,0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879,}如果A/DC按照M=6进行量化编码，即上面的采样数据均用6位二进制码表示，其中一位为符号位，则数字信号用

={,0.01100,0.11101,1.01100,1.11101,}用十进制数表示的

={,0.37500,0.90625,-0.37500,-0.90625,}显然量化编码以后的和原x(n)不同。这样产生的误差称为量化误差，这种量化误差的影响称为量化效应，这部分内容将在第9章介绍。27我们已经知道模拟信号xa(t)经过理想采样，得到采样信号,xa(t)和之间的关系用（1.5.2）式描述。1.5.2将数字信号转换成模拟信号（1.5.2）选择采样频率Fs满足采样定理，的频谱没有频谱混叠现象，可用一个传输函数为G(jω)的理想低通滤波器不失真地将原模拟信号xa(t)恢复出来，这是一种理想恢复。28下面先分析推导该理想低通滤波器的输入和输出之间的关系，以便了解理想低通滤波器是如何由采样信号恢复原模拟信号的，然后再介绍在实际中数字信号如何转换成模拟信号。（1.5.6）由（1.5.6）式表示的低通滤波器的传输函数G(jΩ）可以推导其单位冲激响应g(t)：29因为Ωs=2πFs=2π/T，因此g(t)也可以用下式表示：（1.5.7）其单位冲激响应g(t)：30理想低想滤波器的输入、输出分别为和ya(t)，将g(t)和

代入ya(t)，得到：31（1.5.8）32由于满足采样定理，ya(t)=xa(t)，因此得到：（1.5.9）式中，当n=

,－1,0,1,2,时，xa(nT)是一串离散的采样值，而xa(t)是模拟信号，t取连续值，g(t)的波形如图1.5.6所示。33

图1.5.6内插函数g(t)波形其特点是:t=0时，g(0)=1;t=nT(n≠0)时，g(t)=0。在（1.5.9）式中，g(t)保证了在各个采样点上，即t=nT时，恢复的xa(t)等于原采样值，而在采样点之间，则是各采样值乘以g(t－nT)的波形伸展叠加而成的,这种伸展波形叠加的情况如图1.5.7所示。

图1.5.7理想恢复g(t)函数所起的作用是在各采样点之间内插，因此称为内插函数，而（1.5.9）式则称为内插公式。T2T3T这种用理想低通滤波器恢复的模拟信号完全等于原模拟信号xa(t)，是一种无失真的恢复。但由于g(t)是非因果的，因此理想低通滤波器是非因果不可实现的。下面介绍实际的数字信号到模拟信号的转换。36图1.5.8

D/AC方框图37实际中采用D/AC（Digital/AnalogConverter）完成数字信号到模拟信号的转换。D/AC包括三部分，即解码器、零阶保持器和平滑滤波器，D/AC方框图如图1.5.8所示。解码器的作用是将数字信号转换成时域离散信号xa(nT)，零阶保持器和平滑滤波器则将xa(nT)变成模拟信号。由时域离散信号xa(nT)恢复模拟信号的过程是在采样点内插的过程。

理想低通滤波的方法是用g(t)函数作内插函数，还可以用一阶线性函数作内插。零阶保持器是将前一个采样值进行保持，一直到下一个采样值来到，再跳到新的采样值并保持，因此相当于进行常数内插。

零阶保持器的单位冲激函数h(t)以及输出波形如图1.5.9所示。38图1.5.9零阶保持器的输出波形39对h(t)进行傅里叶变换，得到其传输函数：（1.5.10）40其幅度特性和相位特性如图1.5.10所示