截面上的应力

教学内容：§横截面和斜截面上的应力教学要求：1、理解正应力、切应力的概念，掌握拉压杆横截面和斜截面上的应力计算公式。§拉压杆的变形及虎克定律2、理解应变、泊松比，掌握虎克定律及其应用方法。第三节横截面和斜截面上的应力一、应力的概念

平均应力：

横截面某范围内单位面积上微内力的平均集度mmF2F1O点F微内力A微面积一点的应力：

当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限(即全应力)，得到mmF2F1pm全应力O全应力pm通常分解成:

垂直于截面的分量σ－－正应力平行于截面的分量τ－－切应力mmFP2FP1p全应力K

正应力切应力应力的国际单位为Pa

1N/m2=1Pa（帕斯卡）

1MPa=106Pa1GPa=109Pa二、拉压杆横截面上的正应力

轴向拉伸轴向压缩FFFF1122112211221122平面假设——变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，仅沿轴向产生了相对平移。

经观察可以发现：横向线11、22在变形后，仍为直线且与轴线正交；只是横向和纵向线间距变化，由此可对均质材料的轴向拉压杆作如下假设:

FNF

由此可推断出：横截面上各点的变形程度相同，受力相同；亦即内力——轴力在横截面上均匀分布。由材料均匀性假设可的如下结论：

轴向拉压杆横截面上各点的应力大小相等，方向垂直于横截面。即横截面上的正应力计算式为例一中段开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN作用，已知h=25mm，h0=10mm，b=20mm。试求杆内的最大正应力。FF

11

22A1bh

1—1h0bhA22—2FFN解:①计算轴力

FN=-20KN②计算最大的正应力值

Amin=A2=（h-h0）b=（25-10）×20mm2=300mm2

σmax=FN/A2=-20×103/300（MPa）=-66.7MPa三、拉压杆斜截面上的应力FFnkk'AFNkFk'

轴向拉（压）杆的破坏有时不沿着横截面，因此有必要研究轴向拉（压）杆斜截面上的应力。如右图，斜截面上的内力：FN=F故其上的应力为：pFk'kp所以截面上的正应力和切应力为：

＝cos2

＝讨论：①当

=0时，有σmax=σ=σ

，τ

=0。②当

=45时，有τmax=τ

=σ/2。

③当

=90时，有σ

=0，τ

=0。第四节拉压杆的变形及虎克定律一、纵向线应变和横向线应变FFll1aa1FFl1a11.

纵向变形为

l=l1-l横向变形为

a=a1-a

2.线应变——杆件单位长度内的变形量。纵向线应变：横向线应变：拉伸时，

﹥0，'

﹤0；压缩时，

﹤0，'

﹥0；3.泊松比μ（横向变形系数）'=-

实验结果表明：一定范围内，杆件的横向线应变与纵向线应变的比值为一常数。即二、虎克定律

实验表明，当拉、压杆的正应力不超过某一限度时，其应力与应变成正比。即

＝E上式称胡克定律。其中，比例常数E称为材料的弹性模量。虎克定律的另一种表达形式EA称为杆的抗拉（压）刚度。

例图示阶梯杆，已知横截面面积AAB=ABC=500mm2，ACD=300mm2，弹性模量E=200GPa。试求杆的总伸长。10kNABDC

10030kN

100

100OFN10kN20kNx－+解①作轴力图。②分段计算变形量。计