信号与系统答案-第三章

连续时间信号和系统的频域表示与分基本概 重点与难周期信号的傅里叶级数分析三角形式傅里叶级数的三角形式傅里叶级数为J oouooo式u

标准三角形式

u u 为基波角频率 两种三角形式系数的关系为

o oc d c o dtKc doK 指数形式的傅里叶级数复指数形式的傅里叶级数 uo其中系J fo 指数形式与三角形式系数之间的关系为fd G c f bc G G

P K P

GoG f bo G kJn 周期信号频谱特点周期信号频谱具有离散 谐波 收敛周期信号的对称性信号对称性与傅里叶系数关系信号对称条件与傅里叶系数关系如 所 对称条件与傅里叶系序对称条件傅里叶系数I仅有不为零的系数偶函gJbo奇函 gIo奇谐函数 UULoueuKo为奇o偶谐函数Jgu UULoueuKo为偶o奇函数奇谐函o奇函数偶谐函o偶函数奇谐函o偶函数偶谐函ULoueuKo为偶 坐标轴的影响横轴上 下移动K可改变直流平均值分量使得隐藏的对称条件显现N而纵轴的左右移动K仅改变相位o傅里叶变换

kJ& K &kf kKJGIuJk特别I&KI 常用函数的傅里叶变换对

I常用函数的傅里叶变换对如 所 常用函数的傅里叶变换序时域gI频域IJvbbGk KI JI KGIb IJbJfvJIJ IJKIJ I KGI } I R`h J I o_}_ IoJ I J_}_ 频带宽度 或 IIkI 傅里叶系数Go与频谱函数G的关系I 傅里叶变换性质及定理已QIQGIQGI傅里叶变换性质及定理如 所 傅里叶变换性质及定序名称时域频域线延uuGkfku尺}bGb频移kGk kt kJGk kok kJGk k时域微分kGkJGk时域积分u&gIek IJI 频域微分GIkoGI e对称G为实偶函数gIJIJ时域卷积gg复频域卷积ggkkJ系统的频域分系统的频响函数

IkZk IIIkJ其中KbII是系统的幅模频特性NI是系统的相频特性系统函数的求解方法MIJ由微分方程求解IkIqIJ由求解K即mIkJNIJ由频域电路系统求解无初始储能的动态元件时域与频域电压电流关系分别表示为w e I I w

MumWM kMJMDIe DIDD 式中kM为频域的感抗值K是电感的频域表示N为频域的容抗值K是电容的频域表示k两式右边的频域表示均满足频域广义欧姆定律系统的频域分析J周期正弦信号的响应正弦周期信号JBI 通过系统函数为bIIkIJ的响应JBIIPu IJ J非正弦周期信号的响应激励为 gUJb oou 响应 zUJ oo oDobIoK o周期非正弦信号通过线性系统响应求解的计算步骤为IJ将激励gU分解为无穷多个正弦分量之和K即展开为傅里叶级数IkIIIIII J利用正弦稳态分析法计算第o次谐波的响应为oJoou IJ各谐波分量的瞬时值相加UJJJ ooo o实际处理时K可以根据U的收敛情况系统带宽等因素K从第I步就取有限项J非周期信号的响应JmZk Ik无失真传输系统IJ线性失真振幅失真系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减放大相位失真系统对信号中各频率分量产生相移与频率不成正比IJ无失真传输系统的单位冲激响应为JluuJIJ无失真传输系统的频响函数为QIk }Ik理想低通滤波器与物理可实现系统理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应理想低通滤波器的传递函数为IkIk

}_d式中Kd是通带截止频率Nu是相位斜率或群时延JIJ冲激响应d

}}`IJ阶跃响应

dPuud I式中

j du频带宽

jz&y&IJ从振幅衰减的角度定义频带宽度M例如频谱响应函数的第一般 个零点IIJ是从能量的角度定义频带宽度若以零频或幅度为为基准K定义能量的对数 }IIJ}h}II d处K信号能量减半K其对数衰减}II}II}J 以能量下降eC的频率间隔作带宽K适用于有一主峰的滤波器IJ以主要能量或功率集中的频带范围为信号带宽K可以从能量平均功率的角度确定系统的带宽 能量及功率信号的带宽分别为I &g或 X&}G }AU n gIUAU&UL 式中K为比例系数K一般MUJ系统是物理可实现的时域MUJ系统是物理可实现的时域准则是系统的单位冲激响应满足因果性K即JuI 与频域相关的是佩 维纳若准则K即系统的幅度函数bIIb满足平方可&IIJe K物理可实现系统的必要条II e时域采样与恢复插值时域采采样信号表示为式中K是周期为

的周期开关函数K相应的采样频 采样 号的频

tGI I ooGIo当开关函数是周期冲激序列时也称理想采样KtI GIoUI oUt采样定采样定理M一个频谱受限信号的最高频率为gK则可以用不大于 时间间隔的采样值惟一地确定通常把允许最低的采样频率t gn定义为奈奎斯特频率N把允许最大的采样间隔U 定义为奈奎斯特间隔 t也称为折叠频率N信号恢

利用幅度为K相移为的理想低通滤波器可以恢复原信号K即JJ UJuoUJ I oUuoU o式中K低通滤波器截止频率应满足Mn0d0 相关系J为两个确定信号K误差能量定义为 uJ&yu &z相对误差能量定义为&y&&式中K L为相关系&y&z相关系数满足关系Mbyzb0K特别 J线性相关K形状完全相似K误差能 J线性相关K形状完全相反K误差能 J线性无关K形状完全不同相关函IJ互相关函数

JH

H同理

IJ&yuz uSzy

H JH zuy y 若J均为实能量信号K

IJ& u& u& 定义两个功率信号J的互相关函数为H SIJ ULH 若J均为实功率信号K

UA UL UL UA UA&ULH UL &UA UAIJ自相关函数自相关函数SyyI一般用SI表示SS

IJ

u u

Hu若为实能量信号K自相u

IJSJ& u& 若为功率信号K自相关函数表示为

H 若为实功率信号K自相关函数表示为SIJIJ UL UAIJ归一化相关函数与许多参数类似K相关函数还可以作归一化处理归一化自相关函数归一化互相关函数

相关系数与归一化函数的关系相关性

IS 为使下面的讨论更简捷K假定信号均为实信号I SyzIJSzyI

IJ& u& ISI是的偶函数K即JIJISIJ&yuFSI是的能量ISISIJIJ周期函数的自相关函数也是同周期的函数I }o}o相关的计算方法方 对u有M_ 左移N` 右& &方 zIJ对u有M_u相对波形右移N`u相对波形左移 SyzJIuJ相关定则同理可

yJmmSyImYZHIJzz

mYHJ则YIIJ若是实偶函数K则相关定理与卷积定理结果相同JIuJJmYJYI YYIJ YJ能量谱和功率谱归一化能量归一化平均功率

F&gULg Gbdo信号的方bdo

ULgULgIJ能量谱密度函数定义

能量的频域表示为

III I & &式中的单位为焦L赫兹能量谱密度函数与自相关函数的关系IJ功率谱密度函数定义

IInU平均功率的功率谱密度表示QgJ UA

UAg I I & &式中KQ的单位为瓦L赫兹JSI与功率谱I的关系表示为SI&

IkkI &If习题解选择IJ如题 图所示周期信号其傅里叶系数中G等于I IJ如题 图所示周期信号其傅里叶系数中G等于I UL

K所以是

UL K周期信号的双边频谱如 图所示K求的三角函数表示 由 图可知基波频 Ko

fuJufkGG 周期矩形信号如 图所示K如果它的重复频率 lK脉K幅度F WK求直流分量的大小K以及基波二次三次谐波的振幅值解是偶函数K只有余弦项KdoVnoboL&ouu o&o

LUF J U其中KVno为第o次谐波振将参数代入除dG外 g I IoI o Io G o o I o I 周期矩形信号如 图所示K如果g的参数为重复周期 K脉K幅度 WKg的参数为重复周期 K脉 KWK分别IJg的谱线间隔和带宽第一零点位置频率单位以lI{表示NIJg与g的基波幅度之比 IJ谱线间 U带 XIJ谱线间隔

带 X

IJg的傅里叶 F J g的傅里叶

oUo F Uo

og的基波振幅为d Kg的基波振幅为d Kg与g基波幅度之比为 试求 图所示周期信号的傅里叶级数 U 提示M先观察g与gJgJg的关系K再利用g的傅里叶级数K求gJgJg的傅里叶级数K可以减少计算量 令g UYU的一周为g利用

求傅里叶系数g UJJ UI

Uk

U It JkUUGk o

Go

I U I II k} U

I因gJg o oGo

I I Ifo gJgJg所 Go GoJGo fkoI I oogJgJgoGo GoJGo

fkoI o I o试求 图所示半波整流余弦脉冲的傅里叶系数 U FIo F Ju J UP J o J Fn J F o to o

Ft

UP IQF UF UF oF或 t

ooJ FI o o r o FI oo o oIo

o FI FPI I I I I I I 试求 图所示半波整流正弦脉冲的傅里叶级数 方 U半波周期余弦为g g P J oI ouooo Jo

I

tout FI o

ouJI FI o FIuJFPt I I I t I I 方法 F Ju J U&Foou P P

Ju J J UUP FI o oJ I Qo- oJ F&&

FII

uu F FIo U& Ju JFo JuJo F J UP P FI o o ULFou

FUL t 或c PFo Fo o P bFo FI obFo FIuJFPIuJIuJIuJQFPIuJIuJIuJIuJQ求题 图所示周期性锯齿形信号的频谱函数 图令g UYU的一周为g利用

求傅里叶系数gJ JuUJQ Jg GI GI k Go

I}

UkU o koUU Uk UGo kKGo图gJgI所GoJGIo oG利用信号的对称性K不用计算傅里叶级数的系数K定性判断题 图所示各信 图平均值不为零K将横轴上移至平均值处K可见是偶函数奇谐函数K所以有直流 余弦奇次谐波图平均值为零K是奇谐函数K所以有正余弦奇次谐波图平均值不为零K将横轴上移至平均值处K可见是奇谐函数K所以有直流正弦 图平均值不为零K将横轴上移至平均值处K可见是偶函数偶谐函数K所以有直 余弦偶次谐波已知周期函数在YUL的波形如 图所示K根据下列要求绘 UYU的波 I是偶函数K只含偶谐波NI是偶函数K只含奇谐波I是偶函数K含有奇偶谐波NI是奇函数K只含偶谐波NI是奇函数K只含奇谐波I是奇函数K含有奇偶谐波 IJ偶函数K只含偶谐波K其波形如题 图所题 IJ偶函数K只含奇谐波K其波形如题 图所题 IJ偶函数K含有奇偶谐波K其波形如题 图所题 IJ奇函数K只含偶谐波K其波形如题 图所题 IJ奇函数K只含奇谐波K其波形

图所题 IJ奇函数K含有奇偶谐波K其波形如题 图所题 信号波形如 图所示K波形参数 U K设计适当的电路 解 gU

K谐波N即只含有 K K lKK所以适当电路只能提取 试求 图所示函数的傅里叶变 图

P P u

J UgU

FuUJ

Fu Ug如题 图所题 I U k gumG FTbIJFIf t kI GI PIU IU PIU IUk图 F J Ug g FJFJuUGIJ FUTb f II

GI

ITbIJ k k gJ JuUJQgJ FPJuUQmGI FPfkUUI

IJ gg如题 图所图

题 JFoJuUJQgo 图所题 gJJuUJQmFIfk mI FI JU I JUQkQ 因为fk K所I F I IfkUf IUJkf试求 图所示信号的傅里叶变换 解g F J J J 解gmGI FP

J

k QF I GI J gJg如题解 图所示特别的K IJ bI 或k B IJ如题 图所题 gJmkI&uI &I I并解释其结果&ku& I II I&u是信号的直流分量I

If

I &I gI 时的大小相 试利用傅里叶变换的性质K求 图所示各信号的频谱函 I 图利用已知hm 与移位特性KIgJh Jh I IGkJ I II图利用已知hm IgJhIuJGk J J J 已知函数的频谱函数IJ如题gJ& & fe kukuf Bou 或利用对称性h Km得 I I BI 试利用傅里叶变换的性质K求 图所示各波形的傅里叶变 图利用已知hm I制特性K得gJhGk I J图M利用如题 图所示已知信g与调制特性K题 gJm bIgJgGk bI I J图利用已知h IgJh t GkJ JfkIJI fk JQI Jk试求下列函数的傅里叶变换IJgJfN JJ Jf I GkkIJ利用实偶函数对称性K mI I将I中的A A代入gJJJmk I I I JJvGkJ Jffkf mGk

e uJGIkuIJu IJu IueN IJeJfkuN uI&N IguJNIJIu IJu gI I g J 函数有移位与乘u运算频域微分变换J线性变换 mkfk再乘u运 kfke最后线 kfk kfkeGkfk fkGkJ kGkJGkfk fkGkJJ ku函数有调制运算乘频域微分变换J及线性变换先调制 kuJmk kfk再乘 kuJmke kfke最后线 gJku kuuGkJGkk kfku

函数有微分与乘u运算先微分 emkGkJu再乘u ueJ GIJ ePGJQ IJ eIJ Gk JJ先微分 emkGkJu再调 eJfkumGkJ kJ

u函数有积分与移位变换先移 Jmkkuk

k再积

&ymGk

kJIJguJ先尺度 PI PI Jmk

ke GII g I J J 函数有移位与乘u运算频域微分变换J线性变换 mkfk再乘u kekfkQ Gkfk k最后线 gJ J GkJk kfk GkIJ gJ g

g gI I I函数有尺度乘u运算频域微分变换J及线性变换先尺

mk m再乘 m

IJ

PGku最后线 g

I IGkJkePGkJQ kJkGkJ kJ若h是幅度为K宽度为的矩形脉冲KU是以U为周期的冲激序列试求下列函数的傅里叶变换 uhI uhIJUHPhtIPUhQt 已 h IJ利用线 Ih

h ht令 K再利用调制特性KGI b bI JIJ先利用调制特性

htumGI Tb b

Tb 因 UuJm I oo再卷 g UHhtQm bI GI R QoSoIJ先卷 h IJ o I再调 g PUHhQt则

Io J ooGI

o

oQP 试求下列函数的傅里叶逆变换IJGk I k

kk IJGk I I Gk II

gJ vJI Gk k kQgJ fIkJufIkJu fQI Gk mfk

fe J JfI Gk I J J J JQ J 所g

_试求 图所示函数的傅里叶逆变 MI I IJ IJ P G }f g B P M f kKg u ku B B

kfBfBu

uI J ku Btu I uBoIu利用傅里叶变换的对称性质K求下列频谱函数的傅里叶逆变换IkJ IJGkJvIJNIJGkJ J IJ方 g u &方 G uumfk gIbI

I Gb mu并乘系 K所 I k IJ GIJvIJ IJ IuJ G I Ic u并乘系 K

g I I k J JuuJuuJmuuJ dIJ偶对称 muK mu并乘系数 gJ I 图所示波形中K若已知gmk试求gJg的傅里变 gJgI先时 gIJmGk再尺 gIuJmGIkfk所GkJGIkfkg是周期为 的周期函数K其一周的表示及其傅里叶变换 _ gJ _u_ IJgu IuJ mG _g的基波角频 K傅里叶系UG JGI GIoJGo g的傅里 GIoG f g的傅里叶变IQ GIoJG og oGIoJG o所GkJ oQ oou&试计算并利用该结果证明u&&&

y 利用对称性hm K mI KI IJm即QhIh因为u是偶函数Ku

又I

GPQ fk &uK& I&uu&u求 图所示信号的频谱函 M gJu gJ Jmfk GI 方 I I k I m

I gJ J Jm 图gJu JvIu Juu Ju 无直流方法 gJ Ju IJhGI Ik方 将g分解为两个函数gJgJgJ其gJu JvIu IJ kvI

I kJ JvI kg u J gg J JQP IJk fkJ IJ IGIm IJ IJ GIJGIJGI Ik图gJvIuJu Ju Ju 有直流g的平均值J为L方 因 Ig J m Ik GIJ IJ IJk方 将g分别为两个函数gJgJg其gJvIuJ h LJ GI k I kk fkgJ J J JQJ J J J fk fk IGI IfkL

k kkI kGIJGIJGII fk I图 g h h而h I I I所GI I 试利用能量定理计算积分 由能量定&g &GI令

hbIJIb所选择

g&

bIJe kgHguJ IJ IJIJGkGGDJGkk EJGkkI IFJkkkguguJ IJ IJIJGkGGDJGkk EJGkkI IFJkk IJIuJ kK所以 IJ I答案是JN GIJ gIJHgum GIGk IJIuJ I所以答案是J GIJgIJmGk 已知信号的频谱函数kJ如 图所示K求u为零时的函I解

I &I 已知信号如 图所示K求其频谱函数kJ中的直流分量I解I&若系统频率特性IIJuNIJfJ

K试求下列各激励信号的响应k I Ik

fk o o tuI ZkJkIk 设系统的微分方程为eJ eJ eJ eJ 若输入Jf试用傅里叶分析法求响应 Ik

k

kk k kIk

k k fufu 试求 图所示系统的频率特性II其中为激励为响应为了使系统能无失真的传输信号IJIJJ IIkZk

k kkJ SS Sk SkSSJI LJSS SkJ SS SSk kJ Sk SS SS S SJk比较同次项系数S S J I 得到 IkI IkSI IkSk Sk kD kSkD

SD DkDSkD kDSD SDS JSDS SS DIk D SS D比较同次项系数解出S SDK

SS D SIk SIkDSJ kD某线性非时变系统的频率响应Ik

}_ } L若系统的输入激 o K求系统的输出响应 u gJumGI hIu o I P tum ZI Jh ZJ hI JhI Jou tIZI 图所题 若滤波器的频率特性如题 图所示K当输入J ouJLu时K求输出J Jou IkJhIZkJkIkJIko Iu 滤波器的频率特性如 图K当输入波形如 图时K求出 解为周期函数K其周期 N将展开为傅里叶级数K其傅里系数 k只有直流与基波分量可通过 图所示滤波器其直流与基波的傅o叶系数

I o o Ioookkoooog k fk ogk因直流是放大倍K基波分量直通J不变K所 o o如 图所示系统K其g u _ogJ _}_}_题图}LIk求系统的输出响应I g ogg uu IIJ 且有L移位时延J的低通滤波器K所 低通滤波器频率特性为IkJvIJvI当输入为下列信号时求响IouNuIJou IgJuk J uZk kIkJ J IuJI JoumkJ J uZk kIkJ J IuJ如 JgJtKIk 图所示的带通滤波器II 试求 ggJtu utuJIkJ是只能通过_0 无移位时延J的带通滤波器K即kJ 其

Ik Ik tu已知理想低通滤波器的系统函数 I }_ 激励信号I L}I傅里叶变换为GIJ K求该理想低通滤波器的响应I 由k TbIKJhJ J 截止频率为dK相移 u的理想低通滤波器的阶跃响应 Puud本题系统可认为是截止频率 LK相移为零的理想低通滤波器K所以其输出 P JQP 如 图所示系统IIkJ为理想低通滤波器K其频响特性分别求IJ

Ik

}_}IgJ LJ时的响应u 系统频响Ik

u }_} IJI I Zk

PI fku u }_截止频率为dK相移 u的理想低通滤波器的阶跃响应 Puud

}本题系统可认为是截止频率d K相移分别为u及 uUJ的两个理想低通滤波器的并联K所以其输出为 uuJu I LJ I hI vI J fku u }_ Zk

}JPuPu UQ激响

如 图所示理想带通系统的频响特性K该系统是否物理可实现求其 系统不满足维 辛钦准则K所以是非因果系统K是物理不可实现令 }0II i u }}`因Ik I JI 所 iIdPuuId求如 图所示的频谱函数GI并粗略估计其频带宽 k IC X已知某系统的输入为J时K输出为Ju判断系统是否为无失真传输系统 是否物理可实现系统Zk k

kfK满足不失真传输条件K但由于响应超前激励K因此是物理不可实现系试确定下列信号不失真均匀抽样的奈奎斯特频率与奈奎斯特间隔Ih或K将m IIIh或K将m I Im则JI h I hIJgI 图所示K信号的最高角频 K信号的最高频 信号的奈奎斯特频率 信号的奈奎斯特间隔U t

题 JIIJ其对应的傅里叶变换为

gI 卷积后的gIJ频谱展宽为gIJ频谱的两倍K如题解 所示K最高角频率 K信号的最高频率gn 信号的奈奎斯特频率 信号的奈奎斯特间隔 tIJ JI

I GJGIgIJgIJgIG信号的最高角频 K信号的最高频率n信号的奈奎斯特频率 信号的奈奎斯特间隔U tI JI JIIG第一项的最高角频 K第二项的最高角频 K所以信号的最频率 信号的奈奎斯特频率 信号的奈奎斯特间隔U t今对三个正弦信号ybJtuKybJtuKybJtu进行理想采样K采样频率为tK求三个采