结构力学第二章-轴向拉压

第二章轴向拉伸和压缩材料力学§2–1轴向拉压的概念及实例

第二章轴向拉伸和压缩（AxialTension）§2-4

拉压杆的变形胡克定律§2-5

拉压杆的弹性应变能§2-7

强度条件、安全因数、许用应力§2-6

材料在拉伸和压缩时的力学性能§2-8应力集中§2–2内力、截面法、轴力及轴力图§2–3应力的概念、拉（压）杆内的应力§2–1轴向拉压的概念及实例轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。概念:轴向拉压的变形特点：变形主要是轴向伸缩，伴随横向缩扩。轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。轴向压缩，对应的力称为压力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。力学模型如图一、内力

指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。§2–2内力·截面法·轴力及轴力图二、截面法·轴力

内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。截面法的基本步骤：①截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）。2.轴力——轴向拉压杆的内力，用

表示。AFF简图AFF截开：平衡：代替：FA例如：截面法求。

①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。3.轴力的正负规定:xF+意义

与外法线同向,为正轴力(拉力)

与外法线反向,为负轴力(压力)三、轴力图——(x)的图象表示。[例1]图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5F、8F、4F、

F

的力，方向如图，试画出杆的轴力图。解：求OA段内力FN1：设置截面如图ABCDFAFBFCFDOABCDFAFBFCFDFN1同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：FN2=–3F

FN3=5FFN4=F轴力图如右图BCDFBFCFDFN2CDFCFDFN3DFDFN4x2F3F5FF++–一、应力的概念§2–3应力的概念、拉（压）杆内的应力问题提出：FFFF1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度：①内力在截面分布集度应力；

②材料承受荷载的能力。1.定义：杆件某截面上的分布内力在某点处的集度。工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，内力集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。FAM①平均应力：②总应力（全应力）：2.应力的表示：pM③总应力可以分解为：垂直于截面的应力称为“正应力”

(NormalStress)；位于截面内的应力称为“切应力”(ShearingStress)。变形前1.变形规律试验及平面假设：平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。纵向纤维变形相同。abcd受载后二、拉（压）杆横截面上的应力FFa’c’b’d’均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。2.拉伸应力：sFNF轴力引起的正应力——

：在横截面上均匀分布。危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。危险点：应力最大的点。3.危险截面及最大工作应力：对于等截面直杆，有(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。)变形示意图：应力分布示意图：4.圣维南（Saint-Venant）原理：

离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。三、拉(压)杆斜截面上的应力设有一等直杆受拉力F作用。求：斜截面k-k上的应力。FFakk解：采用截面法由平衡方程：Fa=F则：Aa：斜截面面积；

Fa：斜截面上内力。由几何关系：代入上式，得：斜截面上总应力：FaaFkkFFkka斜截面上总应力：Fkkapa分解：pa=反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。当=90°时，当=0°时，(横截面上存在最大正应力)当=±45°时，(45°斜截面上剪应力达到最大)tasaa当=0,90°时，例6

直径d=1cm杆受拉力F=10kN的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和剪应力。解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：1、杆的纵向总变形：3、平均线应变：2、线应变：单位长度的伸长（或缩短）。一、拉压杆的变形及应变§2－4拉压杆的变形胡克定律abcdl4、x点处的纵向线应变：5、杆的横向变形：FFl1杆的横向线应变：二、拉压杆的弹性定律（胡克定律）1、等内力拉压杆的弹性定律※“EA”称为杆的拉伸(压缩)刚度。FF2、单轴应力状态下的弹性定律3、泊松比（或横向变形系数）单轴应力状态下的胡克定律1.0m1.0m1.0m20kN32kN12kNABCD一变截面杆件受力如图所示，已知左段的横截面积右段的横截面积杆件材料（1）画出该杆的轴力图；（2）求该杆的总伸长量。例1：的弹性模量例2：

设1、2两根钢杆用铰链连接如图，已知：各杆长为l=2m、

各杆直径为d=25mm；两杆与竖向夹角为30º。钢的弹性模量为E=210GPa。外力P=100KN，求结点A的位移。解：、平衡方程:求解各杆的轴力：物理方程——弹性定律：变形协调方程：代入已知数据可得：例3：

设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2，L3=L

；各杆面积为A1=A2=A3=A；各杆弹性模量为：E1=E2=E3=E。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。CFABD123解：、平衡方程:FAFN1FN3FN2几何方程——变形协调方程：物理方程——弹性定律：补充方程：由几何方程和物理方程得解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:CABD123A1§2－5拉压杆的弹性应变能一、弹性应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存

与杆内，这种能成为应变能（StrainEnergy）用“U”表示。二、拉压杆的应变能计算：

不计能量损耗时，外力功等于应变能。根据拉杆应变能的计算，可得:可得:三、拉压杆的应变能密度vε单位体积内的应变能例4

设1、2两根钢杆用铰链连接如图，已知：各杆长为l=2m、

各杆直径为d=25mm；两杆与竖向夹角为30º。钢的弹性模量为E=210GPa。外力P=100KN，求结点A的位移。因为应变能等于荷载所做的功：§2－6材料在拉伸和压缩时的力学性能一、试验条件及试验仪器1、试验条件：常温(20℃)；静载（极其缓慢地加载）；

标准试件。dh力学性能：材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。2、试验仪器：万能材料试验机压力试验机扭转试验机二、低碳钢试件的拉伸图(F--L图)塑性变形后的卸载规律(冷作硬化与冷作时效)三、低碳钢试件的应力--应变曲线(--图)(一)低碳钢拉伸的弹性阶段(OB段)1、OA--比例段:

p--比例极限2、AB--曲线段:

e--弹性极限(二)低碳钢拉伸的屈服阶段C:上屈服强度滑移线：屈服强度,屈服极限:s

。D:下屈服强度:ｂ---强度极限(三)、低碳钢拉伸的强度极限(四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段1、断后伸长率:2、断面收缩率：3、脆性、塑性及相对性几个重要概念四、无明显屈服现象的塑性材料规定非比例延伸强度五、灰口铸铁拉伸时的力学性能ｂ，铸铁拉伸强度极限（失效应力）割线弹性模量P0.2

，即此类材料的屈服强度。解：变形量可能已超出了“线弹性”范围，故不可再应用“弹性定律”。应如下计算：例5：铜丝直径d=2mm，长L=500mm，材料的拉伸曲线如图所示。如欲使铜丝的伸长为30mm，则大约需加多大的力F？

由拉伸图知：s(MPa)例6：一根Q235钢的拉伸试样，直径d=10mm，长l=100mm。试验机荷载读数达到F=10KN时，量得工作段的伸长Δl

=0.0607mm，直径缩小Δd=0.0017mm。求此时试样横截面上正应力σ，并求材料的弹性模量E和泊松比ν。已知Q235钢的弹性极限为200MPa解：F=10KN时，正应力六、金属材料压缩时的力学性能ｂy---铸铁压缩强度极限；七、强度条件、安全因数、许用应力2、许用应力：n(n>1)3、安全因数：4、强度条件：对等截面直杆：1、极限应力

u

：s(屈服极限)和

b(强度极限)统称为极限应力。②截面选择：依强度准则可进行三种强度计算：①强度校核：③许可载荷计算：

例7：已知一圆杆受拉力F=25kN，直径d=14mm，许用应力

[]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。解：①轴力：FN

=F

=25kN②应力：③强度校核：④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。例8：已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q

=4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径d=16mm，许用应力[]=170MPa。试校核刚拉杆的强度。钢拉杆1.42mq8.5m9.3m①整体平衡求支反力解：钢拉杆q1.42mFAYFBYFAX③应力：④强度校核与结论：

此杆满足强度要求，是安全的。②局部平衡求轴力：

qFAYFAXFCYFCXFN例9：简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为F，为使BD杆最轻，角应为何值？已知BD

杆的许用应力为[]。分析：LhqFABCD

BD杆面积A：解：

BD杆内力FN：取AC为研究对象，如图FAYFAXqFNLFABC③求VBD

的最小值：FAYFAXqFNFABCL杆AC由两根80mm*80mm*7mm的等边角钢组成，杆AB由两根10号工字钢组成。

材料为Q235钢，许用应力

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