结构可靠指标计算的蒙特卡罗法(第二次)

ch5结构可靠度计算的蒙特卡罗法5.1蒙特卡罗法概述5.2蒙特卡罗法的优缺点5.3抽样模拟总数与蒙特卡罗法的精度5.4随机变量的抽样5.5蒙特卡罗法计算可靠指标举例5.6蒙特卡罗的重要抽样法5.1蒙特卡罗法概述

对于设计阶段的结构，其功能函数及所包含变量的统计特征都是已知的，通过某种方法,根据已知的概率特性(统计特征），产生大量设计变量的样本值，将其代入功能函数，“计算”结构的状态，并对计算结果进行分析统计,直接计算其失效概率。5.1.1蒙特卡罗（随机模拟法）的基本思想5.1.2对蒙特卡罗法简明的理解1.已知2.用某种方法产生样本3.计算结构的状态当然，样本的统计特征应与已知值一致。统计时以为失效。5.1.3蒙特卡罗（随机模拟法）的数学基础利用随机模拟方法研究结构安全问题是一种很自然的方法，因为结构建造和使用本身就是一个随机实验。在结构设计阶段，由于设计变量存在着不确定性，其具体的量值是未知的，只能通过对以往实验、实测和调查资料的统计分析，从概率角度来推断结构未来的性状；在结构建成并使用到设计规定期后，设计中所用的变量都成了规定值，结构的最终状态也完全得以确定（完好或失效）；所以结构从建造到使用期内的表现，就是对所设计结构的一次随机实验结果。5.1.4蒙特卡罗（随机模拟法）

法的的数学描述从数学的角度描述为：1.利用随机抽样以获得每一个变量的样本值：，，…

，2.根据上述抽样值，计算功能函数的值Z：3.进行了N次这样的试验（抽样），则失效概率可由下式近似给出：

显而易见，在蒙特卡罗法中，失效概率就是结构失效次数占总试验次数的比例，这就是该方法的基本出发点。5.2蒙特卡罗法研究结构可靠度的优缺点优点：回避了结构可靠度分析中的数学困难，不需要考虑极限状态曲面的复杂性。缺点：计算工作量大（借助于计算机）现状：不作为一种常规的结构可靠度分析方法来使用，只是用于一些复杂情况的可靠度分析（国防、航天领域）。抽样模拟多少次？如何随机抽样？如何保证样本与实际情况大体相符合？5.3抽样模拟总数与蒙特卡罗法精度结论：精度与抽样模拟总数有关。换句话说，要想提高精度，必须将抽样模拟总数提高5.4随机变量的抽样

抽样方法：首先产生在开区间（0，1）上的均匀样本值（随机数），在此基础上通过一定的计算再变换成给定分布变量的随机数。5.4.1随机数的产生产生随机数的方法随机数表：将利用某种方法（高速转盘、电子装置）产生的随机数记录于磁盘中，使用时输入计算机即可（一些数学手册中还附有随机数表）。物理方法：由物理随机数发生器（安装在计算机上）将具有随机性质的物理过程变换为随机数。是真正的随机数，不会出现循环现象，但不便于对结果复查，也不便于对不同方法进行对比，且发生器的稳定性检查和维护是一项繁琐的工作，该法不常用。数学方法：根据数论方法通过数学递推公式运算来实现。速度快，即产即用，可重复生产。会出现循环现象且随机数之间存在一定的相关性，被称谓伪随机数。数学方法产生随机数用数学方法产生的“随机数”，由于是按确定的算法计算出来的，所以并不是真正的随机数，但如果计算方法选择得当，它们就近似地是相互独立和均匀分布的，经得起数理统计中的独立性检验和均匀分布检验。鉴于此，人们把这种数叫作伪随机数。用数学方法产生的“随机数”，常用的方法是同余法，包括加同余法、乘同余法和混合同余法。对伪随机数的检验用这种方法产生的伪随机数能否作为（0-1）均匀分布的随机数，需要进行检验。可在计算机上产生序列，然后用统计检验方法检验其独立性和均匀性。应用《数理统计》的知识5.4.2随机变量的抽样实际工程中，所涉及的随机变量并不服从0-1均匀分布，因此需要研究其它分布类型的随机变量样本值的产生方法。——可通过0-1均匀分布的适当变换得到。下面介绍几种常用的方法连续型随机变量的抽样方法——反函数法、随机变量函数法、舍选法离散型随机变量的抽样方法I用反函数方法产生任意分布随机变量的抽样基本思想：r为（0-1）均匀分布的随机数，如果随机变量X的概率分布函数为FX(x),则对于给定的分布函数值FX(x)=r,x的值为x=FX-1(r)1.连续型随机变量的抽样方法其合理性评述1）

FX(x)=r；（2）x的分布；（3）作为随机数的可信性。I用反函数方法产生任意分布随机变量的抽样这就意味着,如果（r1,r2,…rn)是R的一组值，则相应得到一组值x=FX-1(ri)（i=1,2,…n),具有分布FX(x)。FX(x)=rI反函数方法产生随机变量的抽样的实例例4-2产生具有指数分布概率密度的一个抽样。设I反函数方法产生随机变量的抽样——实例例4-3产生极值I型渐进分布的一个抽样设同样可以得到：II随机变量函数法产生随机数基本思想：设随机变量X是其它随机变量Y1,Y2,…Yn的函数，即X=g(Y1,Y2,…Yn),如果能容易的产生Y1,Y2,…Yn的随机数y1,y2,…yn,则可得X的随机数x=g(y1,y2,…yn)II随机变量函数法产生随机数——举例例4-4X1,X2是两个相互独立的标准正态分布N（0，1）的随机变量；R1,R2是两个相互独立的（0，1）均匀分布随机变量，试产生N(μ,σ)的随机数。（1）可以证明右式成立（2）根据上式，由（0-1）均匀分布随机数，再产生标准正态分布随机数。（3）再由下式得到正态分布N(μ,σ)

随机数标准正态分布与均匀分布随机变量之间的关系。正态分布y与标准正态分布x之间的关系。当样本点落入概率密度曲线下面时，抽样结果才有效。III舍选法产生随机数——图示III舍选法产生随机数——举例例4.5产生某钢筋屈服强度的5个样本值。统计显示钢筋屈服强度符合上下有界的贝塔分布。贝塔分布的概率密度函数为据统计由于贝塔分布的分布函数不能用显式表达——采用舍选法。（1）确定概率密度函数的最大值据得从而（2）钢筋屈服强度样本值的产生过程产生随机数产生样本值产生随机数取舍选定的样本6.0349x10-3229.2077.5437x10-16.3940x10-4舍

2.9639x10-1287.27994.9929x10-29.3402x10-1取287.2799

2.4123x10-1276.24631.5392x10-17.9053x10-1取276.2463

2.4082x10-1276.16481.03x10-17.8920x10-1取276.1648

8.7616x10-1403.23335.2079x10-11.3442x10-1舍3.5622x10-1299.24445.2774x10-19.9861x10-1取299.2444

5.3020x10-1334.04012.7505x10-17.2184x10-1取334.0401

用该法继续产生样本值1000个，发现III舍选法产生随机数——评价2.离散型随机变量的抽样方法结构可靠度分析中存在离散随机变量的情况：设计基准期内可变荷载的变化次数；建筑场地一定时期内地震的次数等。

P设随机变量的分布律为：定义（1）一般离散型随机变量的抽样方法产生随机数r，计算满足条件的i值，所对应的即为离散型随机变量的一个样本。该法适用于任何离散型随机变量的情况（2）泊松分布的抽样方法（常见的离散型随机变量：活载变化次数、地震次数均可用此描述）N服从泊松分布，则其取值为n的概率为若产生随机数满足条件的n值，即为随机变量N的一个样本值。建筑结构楼面持久活荷载是一个与时间有关的随机过程，（即荷载变化的次数和大小是随机的），用泊松过程来描述荷载变化的次数N，即T为设计基准期，一般为50年；

为活荷载单位时间内的平均变化次数据以往统计居民搬家平均一次/8年例4-5试产生设计基准期内楼面荷载变化次数的5个样本值解（1）设计基准期内楼面荷载的平均变化次数(2)首先产生随机数r，然后按公式确定荷载变化次数的样本值5.5蒙特卡罗法求解失效概率实例例4-5设某构件正截面承载力计算的极限状态方程为Z＝g(R,S)=R-S=0，R、S分别为正态和极值I型分布的随机变量，其统计参数为R（100，20），S（80，24）。试用蒙特卡罗法求解其失效概率。5.5蒙特卡罗法求解失效概率实例4-5（一般抽样）2.产生R的随机数（R为正态分布）1.产生（0-1）均匀分布的随机数3.产生S的随机数（S为极值I型分布）4.将变量的随机值代入功能函数，计算g＝R-S5.重复1～4，记录下g<0的次数L和总次数N由（0-1）均匀分布随机数产生正态分布随机数5.5蒙特卡罗法求解失效概率实例4-5（一般抽样）当停止N1002003004005006007008009001000L26477295117138157177201224失效概率0.260.2350.240.23750.2340.230.22430.22130.22330.224Z＝g(R,S)=R-S蒙特卡罗法求解失效概率实例4-6（一般抽样）X1服从对数正态分布，平均值和变异系数分别为：X2服从极值I型分布，平均值和标准差分别为：X3服从韦布尔分布，平均值和标准差分别为：已知结构的功能函数为：求结构的可靠指标三种分布的密度函数对数正态分布极值I型分布韦布尔分布1求分布函数（1）对于服从正态分布的X1有：（2）对于服从极值I型分布的X2有：依据正态分布与标准正态分布的关系，以及对数正态分布与正态分布的关系代入即可求出代入即可求出1求分布函数（3）对于服从韦尔布型分布的X3有：将代入上式，得代入即可求出2.产生随机数r，利用反函数法产生样本（1）产生随机数r1，利用反函数法产生X1的样本（2）产生随机数r2，利用反函数法产生X2的样本2.产生随机数r，利用反函数法产生样本（3）产生随机数r3，利用反函数法产生X3的样本（4）将第1次产生的随机数，得到的第1样本，代入功能函数可计算其值否则若（5）将第2次产生的随机数，代入产生第二个样本，代入功能函数可计算其值重复计算10000次，出现失效次数18次评述对于小概率事件的结构失效问题，用蒙特卡罗法导致很大的计算量，因此（直接的）蒙特卡罗法对于结构可靠度不高即失效概率较大的情况，有较高的效率。如何提高蒙特卡罗法的抽样效率，成为该方法要解决的主要问题。1.5.6.1引言（1）同心圆表示联合概率密度函数的等值线，黑点为联合概率密度函数的最大值点，即最大似然点，该点一般在随机变量的平均值附近。（2）当按一般抽样方法进行随机抽样时，样本点落在最大似然点处的概率最大，所以抽样的样本点大部分落在该点附近。（3）按照结构安全设计的要求，结构失效为小概率事件，也就是设计结构时，要使最大似然点在可靠域内，且远离失效边界。5.6蒙特卡罗的重要抽样法5.6蒙特卡罗的重要抽样法5.6.1.引言（4）在这种情况下，模拟中只有少数或极少数（取决于失效概率的大小）的样本落入失效域，落入失效域的样本点越少，失效概率估计值的不确定性越大，从而精度越低。例如当进行了一定次数的模拟后仍然没有一个样本点落入失效域，则失效概率的估计值为0，显然不能反映结构失效概率的真实结果。（5）提高抽样效率的途径是缩减失效概率估计值的方差，为此发展了多种高效抽样方法，其中重要抽样法应用最广。根据概率论及泛函的知识可以得到，使失效概率估计值方差最小的重要抽样函数为上式表示的抽样函数是以功能函数小于0为条件的概率密度函数，在这一条件下，抽样的样本点必然会落入失效域内。重要抽样法的理论基础用该抽样函数可得到了失效概率精确值，即失效概率估计值的方差为0。事实上，由于该抽样函数包括未知项，无法使用，但对于构造其它形式的重要抽样函数提供了启示。5.6蒙特卡罗的重要抽样法5.6.2.基本概念所谓重要抽样法，就是通过改变抽样中心的位置或是用新的概率分布对随机变量进行抽样，来估计失效概率的值，从而达到缩减方差的目的。理论分析表明，只要做到以下2点均能提高抽样效率：（1）构造的抽样函数要保证有一定数量的样本点落入失效域内；（2）构造抽样函数时，如能考虑极限状态曲面的形状，就会使抽样效率得到提高。从这两个基本原则出发，目前已发展了多种重要抽样方法：直接重要抽样法、更新重要抽样法、渐进重要抽样法和方向重要抽样法。5.6.3直接重要抽样法的思路从两方面考虑，一是增大样本点落入失效域的机会；二是使示性函数具有较大的权重（——不考虑极限状态曲面形状时提高抽样效率的方法）。具体做法：将重要抽样随机变量的中心（即平均值）选在对结构影响最大的点（该点可通过理论分析确定，具体见有关文献，也可选在依据一次二阶距分析得到的验算点）上，而重要抽样随机变量的方差可以取原随机变量的方差，概率分布可以取原来的概率分布，也可以取为其它便于抽样的分布（实际分析中，多取为正态分布，因为其有许多标准抽样方法且具有良好的性能）。5