第7章力法-李廉锟(第4版)

第七章力法§7-2超静定次数的确定§7-3力法的基本概念§7-4力法的典型方程§7-6对称性的利用§7-7超静定结构的位移计算§7-8最后内力图的校核§7-9温度变化时超静定结构的计算§7-10支座位移时超静定结构的计算§7-11用弹性中心法计算无铰拱§7-12两铰拱及系杆拱§7-5

力法的计算步骤和示例§7-1概述§7-13超静定结构的特性超静定结构：具有多余约束的结构。几何特征：具有多余约束的几何不变体系。

静力特征：反力和内力不能仅由平衡条件全部解出。一、超静定结构的静力特征和几何特征§7-1概述§7-1概述图a所示梁仅由平衡条件无法确定竖向反力。其几何构造特征是具有一个多余联系。多余未知力：多余联系中产生的力。如图b中的X1。可将任一竖向支座链杆作为多余联系。

图a所示桁架仅由平衡条件无法确定杆件内力。其几何构造特征是具有两个多余联系。可将两根斜杆作为多余联系如图b。思考：多余约束是多余的吗？从几何角度与结构的受力特性和使用要求两方面讨论。

超静定结构的优点为:1.内力分布均匀2.抵抗破坏的能力强§7-1概述二、超静定结构的类型超静定梁超静定刚架超静定拱两铰拱

无铰拱§7-1概述超静定桁架超静定组合结构§7-1概述遵循同时考虑“变形、本构、平衡”分析超静定问题的思想，可有不同的出发点：

以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种分析方法称为力法。三、超静定结构求解方法概述1.力法----以多余约束力作为基本未知量基本未知量：当它确定后，其它力学量即可完全确定。--关键量

§7-1概述

以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题，这种分析方法称为位移法。

如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑力的平衡，这样一种分析方案称为混合法。2.位移法----以结点位移作为基本未知量3.混合法----以结点位移和多余约束力作为基本未知量§7-1概述4.力矩分配法----近似计算方法

位移法的变体，便于手算，不用解方程。5.结构矩阵分析法----有限元法.以上各种方法共同的基本思想:4.

消除差别后，改造后的问题的解即为原问题的解。3.

找出改造后的问题与原问题的差别；2.

将其化成会求解的问题；

1.

找出未知问题不能求解的原因；适用于电算

§7-1概述§7-1概述求解超静定结构的条件（1）平衡条件：受力状态满足平衡方程（2）几何条件：结构的变形和位移符合支承约束条件和各部件之间的变形连续条件（3）物理条件：变形或位移与力之间的物理关系超静定次数：多余约束（联系）或基本未知力的个数。一、概念

二、确定方法

1）由计算自由度确定2）去约束法

将多余约束去掉，使原结构转化为静定结构。

？从静力分析看：超静定次数=多余未知力的数目从几何构造看：超静定次数=多余联系的数目§7-2超静定次数的确定（1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。§7-2超静定次数的确定（2）拆开一个单铰，相当于去掉两个联系。（3）切开一个刚结点，或去掉一个固定端，相当于去掉三个联系。（4）刚结改为单铰联结，相当于去掉一个联系。（5）固定端改为滑动支座，相当于去掉一个联系。§7-2超静定次数的确定（6）固定端改为可动铰支座，

相当于去掉两个联系。（7）滑动支座改为可动铰支座，

相当于去掉一个联系。§7-2超静定次数的确定图a所示结构，在拆开单铰、切断链杆、切开刚结处后，得到图b所示静定结构6次超静定同一超静定结构，可以用不同方式去掉多余联系，如图c、d所示静定结构3）框格法一个封闭无铰框格

个封闭无铰框格§7-2超静定次数的确定若有铰

—

单铰数，则

§7-2超静定次数的确定21次超静定§7-2超静定次数的确定16次超静定9次超静定1.力法基本思路待解的未知问题

原（一次超静定）结构1)、去掉多余约束代之以多余未知力，将原结构转化一个在荷载和未知力共同作用下的静定结构(基本体系)。基本体系力法基本未知量去掉余约束代之以多余未知力，得到基本体系。§7-3力法的基本概念2)、沿多余未知力方向建立位移协调方程，解方程就可以求出多余未知力X1。原结构的B是刚性支座,该点的竖向位移是零。即原结构在的X1位移为：

位移协调条件：基本结构在原有荷载

q

和多余力X1共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构相应的位移相等。变形条件

在变形条件成立条件下,基本体系的内力和位移与原结构等价.§7-3力法的基本概念超静定结构计算静定结构计算

基本结构（悬臂梁）

对静定结构进行内力、位移计算，已经很掌握。

§7-3力法的基本概念

在荷载作用下B点产生向下的位移为⊿1P,未知力的作用将使B点产生的向上的位移为⊿11。

要使体系的受力情况与原结构一样,则必须B的位移也与原结构一样，要求：位移协调条件Δ1=Δ11+Δ1P=0

(a)

Δ1P——基本结构由荷载引起的竖向位移

Δ11

——基本结构由未知力引起的竖向位移§7-3力法的基本概念力法基本方程可写为§7-3力法的基本概念δ11—表示X1=1时，B点沿X1方向的位移，Δ11=δ11X1。

11+1P=0

绘出基本结构在X1=1、荷载q作用下的弯矩图，如图a、b。自乘—

位移系数互乘—

广义荷载位移将δ11、Δ1P入力法典型方程，解得:3)、将求出的多余未知力作用于基本结构，用叠加法即可求出超静定结构的内力。§7-3力法的基本概念

2.几个概念

力法的基本未知数:超静定结构多余约束的未知约束力,即超静定次数。

力法的基本结构:把原超静定结构的多余约束去掉,所得到的静定结构就称为原结构的基本结构。

力法的基本体系:在基本结构上加上外荷载及多余约束力，就得到了基本体系。

力法的基本方程:根据原结构已知变形条件建立的力法方程。对于线性变形体系，应用叠加原理将变形条件写成显含多余未知力的展开式，称为力法的基本方程。§7-3力法的基本概念

选取基本体系的原则：基本体系必须是几何不变的。通常取静定的基本体系。在特殊情况下也可以取超静定的基本体系。思考：力法的基本体系是否唯一？答：不唯一。解除不同的多余约束可得不同的基本体系。§7-3力法的基本概念力法基本思路小结:

根据结构组成分析，正确判断多余约束个数——超静定次数。

解除多余约束，转化为静定的基本结构。多余约束代以多余未知力——基本未知力。

分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移协调条件——力法典型方程。

从典型方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。§7-3力法的基本概念将未知问题转化为已知问题，通过消除已知问题和原问题的差别，使未知问题得以解决。这是科学研究的基本方法之一。§7-3力法的基本概念图a是三次超静定结构，去掉固定支座A，得如图b所示的基本结构。§7-4力法的典型方程位移条件：A处不能有任何位移。1=0，2=0，3=0和F分别作用于基本结构时A点沿X1方向的位移分别为A点沿X2方向的位移分别为A点沿X3方向的位移分别为位移条件可写为§7-4力法的典型方程

n次超静定结构，有n个多余未知力，有n个已知位移条件，可建立n个方程。当n个已知位移条件都为0时，方程为力法典型方程主系数，恒大于0。副系数，自由项柔度系数柔度方程图a所示刚架为两次超静定，去掉铰支座B，得基本体系如图b§7-5力法的计算步骤和示例基本体系由B点的位移条件，建立力法典型方程为求系数和自由项§7-5力法的计算步骤和示例代入典型方程解得叠加法作弯矩图

在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆的刚度相对值有关，与其刚度绝对值无关。同一材料组成的结构，内力与材料性质无关。例:用力法计算图示刚架，并作M图。解：１)确定力法基本未知量和基本体系基本体系

力法方程：

d11x1+d12x2+D1P=0

d21x1+d22x2+D2P=0２)作M1、M2、MP图§7-5力法的计算步骤和示例基本体系MP§7-5力法的计算步骤和示例３）计算系数、自由项

d11=5l/12EId22=3l/4EId12=d21=0

D1P=FPl2/32EID2P=0说明:力法计算刚架时，力法方程中系数和自由项只考虑弯曲变形的影响：

dii=∑∫l(Mi2

/EI)ds

dij=∑∫l(MiMj/EI)ds

DiP=∑∫l(MiMP/EI)ds４）代入力法方程，求多余力x1、x2

（5l/12EI）x1+FPl2/32EI=0x1=-3FPl/40

(3l/4EI)x2=0x2=0５）叠加作M图

MAC=x1M1+x2M2+MP=(-3FPl/40)/2=-3FPl/80(右侧受拉）§7-5力法的计算步骤和示例力法的计算步骤（1）确定超静定次数，去掉多余联系，得到静定的基本结构，以多余未知力代替相应多余联系。（2）根据多余联系处的位移条件，建立力法的典型方程。（3）作基本结构各单位内力图和荷载内力图，计算系数和自由项。（4）解算典型方程，求出各多余未知力。（5）由平衡条件或叠加法求得最后内力。§7-5力法的计算步骤和示例例7-1试分析图a所示两端固定梁。EI=常数。解：取简支梁为基本结构，基本体系如图b所示。§7-5力法的计算步骤和示例基本体系典型方程为各弯矩图如图c、d、e、f。因故可得

两端固定的梁在垂直于梁轴线的荷载作用下，不产生水平反力。典型方程变为§7-5力法的计算步骤和示例求各系数和自由项（只考虑弯矩影响）代入典型方程解得最后弯矩图如下图§7-5力法的计算步骤和示例例7-2试用力法计算图a所示超静定桁架的内力。设各杆EA相同。解：这是一次超静定结构，切断上弦杆用X1

代替，基本体系如图b所示。基本体系位移条件：杆件切口两侧轴向相对位移为0。典型方程为各内力图如图c、d。§7-5力法的计算步骤和示例各杆最后内力按叠加法计算如图。也可将上弦杆去掉用X1代替，基本体系如图a所示。典型方程为典型方程的物理意义：基本结构在F和X1共同作用下，结点3、4

所产生的水平相对线位移等于原结构的相对线位移。注意：系数δ11中不包含34杆件。§7-5力法的计算步骤和示例例7-3

图a为一加劲梁，横梁I=1×10-4m4，链杆A=1×10-3m2，

E=常数。试求梁的弯矩图和各杆的轴力，并讨论改变链杆截面A时的内力变化。解：这是一次超静定组合结构，切断竖向链杆用X1代替，基本体系如图b所示。基本体系位移条件：切口处相对轴向位移为0。典型方程为各内力图如图c、d。梁只计弯矩影响。§7-5力法的计算步骤和示例由位移计算公式解得最后内力梁的弯矩、各杆轴力如图e。与没有链杆时比较最大弯矩值减少了80.7%

§7-5力法的计算步骤和示例由位移计算公式A减小时：δ11增大，X1绝对值减小，梁的正弯矩值增大负弯矩值减小。A→0时：梁的弯矩图与简支梁弯矩图相同。A增大时：梁的正弯矩值减小负弯矩值增大。A→∞时：梁的中点相当于有一刚性支座，梁的弯矩图与两跨连续梁的弯矩图相同。如图f。§7-5力法的计算步骤和示例例7-4

图a所示为装配式钢筋混凝土单跨单层厂房排架结构的计算简图，其中左、右柱为阶梯形变截面杆件，横梁为

EA=∞的二力杆。试用力法求其弯矩图。竖杆E为常数。解：排架为一次超静定结构，切断二力杆用X1代替，基本体系如图b所示。基本体系典型方程为各内力图如图c、d。§7-5力法的计算步骤和示例计算系数和自由项。解得弯矩图如图e。叠加法作弯矩图§7-6对称性的利用对称的意义：（1）结构的几何形状和支承情况对称（2）各杆的刚度（EI、EA等）也对称

图a为一对称结构，有一个对称轴。将对称轴穿过的截面切开，得到一个对称的基本结构如图b。正对称的力：对称轴两侧的力大小相等，沿对称轴对折后作用点和作用线重合且指向相同。反对称的力：对称轴两侧的力大小相等，沿对称轴对折后作用点和作用线重合且指向相反。X1、X2是正对称的，X3是反对称的。1、选取对称的基本结构§7-6对称性的利用绘出基本结构各单位弯矩图如图a、b、c。图a、b是正对称的，图c是反对称的。可得典型方程简化为只包含正对称的X1、X2

只包含反对称的X3§7-6对称性的利用当结构作用正对称荷载时，如图a。MP图是正对称的，如图b。

只存在正对称的X1、X2，最后弯矩图是正对称的，形状如图c。

注意：剪力图是反对称的。§7-6对称性的利用当结构作用反对称荷载时，如图a。MP图是反对称的，如图b。

只存在反对称的X3，最后弯矩图是反对称的，形状如图c。

注意：剪力图是正对称的。§7-6对称性的利用对称结构在正对称荷载作用下：弯矩图和轴力图是正对称的，剪力图是反对称的；反力与位移是正对称的。对称结构在反对称荷载作用下：弯矩图和轴力图是反对称的，剪力图是正对称的；反力与位移是反对称的。§7-6对称性的利用例7-5

试分析图a所示刚架。设EI=常数。解：荷载是反对称的，只有反对称的多余未知力，

取对称的基本体系如图b。基本体系作各弯矩图如图c、d。§7-6对称性的利用由图乘法代入典型方程叠加法作弯矩图2、未知力分组及荷载分组§7-6对称性的利用图a所示对称刚架作用非对称荷载。基本体系如图b。基本体系为利用对称性，将未知力进行分组。或Y1为一对正对称的未知力组。Y2为一对反对称的未知力组。§7-6对称性的利用将求解未知力X1、X2的问题转变为求解两对未知力组Y1、Y2。如图a。作Y1=1、Y2=1的弯矩图，如图b、c。图b为正对称的、图c为反对称的。典型方程简化为Y1、Y2为广义力，典型方程的物理意义也转变为相应的广义位移条件。第一式代表A、B两点同方向的竖向位移之和为0。第二式代表A、B两点反方向的竖向位移之和为0。§7-6对称性的利用

对称结构作用一般非对称荷载时，可以将荷载分解为正、反对称两组，如下图。正对称荷载作用只有正对称的多余未知力，反对称荷载作用只有反对称的多余未知力，两者叠加即为原结构的解。3、取一半结构计算（利用对称性）§7-6对称性的利用（1）奇数跨对称结构

作用正对称荷载如图a，C截面只有竖向位移，有弯矩和剪力，截取一半刚架如图b。

作用反对称荷载如图c，C截面不能有竖向位移，只有剪力，截取一半刚架如图d。§7-6对称性的利用（2）偶数跨对称结构

作用正对称荷载如图a，C结点不能有任何位移，截取一半刚架如图b。

作用反对称荷载如图c，将中间柱视为两根刚度为I/2的竖杆组成，在顶点与梁刚结。如图e。

由于荷载是反对称的，两柱中间的横梁C处只有剪力。如图f。

剪力FSC对结构的内力和变形无影响。简化的一半刚架如图d。§7-6对称性的利用解：结构是一个三次超静定结构，有两个对称轴。

可取1/4结构分析，计算简图如图b。基本体系如图c。取极坐标系，单位弯矩和荷载弯矩分别为：例7-6

试计算图a所示圆环的内力。EI=常数。§7-6对称性的利用各弯矩图如图a、b。

位移计算时略去轴力、剪力及曲率影响，只计弯矩一项。则：可得§7-7超静定结构的位移计算结构的实际状态及弯矩图如图a。试求CB杆中点K的竖向位移△Ky。虚设力状态及弯矩图如图b。

为作出图b，需要解算一个2次超静定结构。比较麻烦！§7-7超静定结构的位移计算由力法计算超静定结构可知：

在荷载及多余未知力共同作用下，基本结构的受力和位移与原结构完全一致。求超静定结构的位移可以用求基本结构的位移代替。虚拟状态如图c、d。由图c由图d§7-7超静定结构的位移计算

计算超静定结构位移步骤（1）计算超静定结构，求出实际状态的内力。（2）任选一种基本结构，虚拟力状态。（3）计算所求位移。§7-8最后内力图的校核平衡条件校核弯矩图校核：如图a，取E点为隔离体，如图b。应满足即剪力图和轴力图校核：可取结点、杆件或结构的一部分为隔离体，考察是否满足：和§7-8最后内力图的校核位移条件校核

图a为刚架的最后弯矩图。检查A处的水平位移是否为0，虚拟力状态并作弯矩图如图b。利用图a与图b图乘，得满足位移条件§7-8最后内力图的校核

对于具有封闭无铰框格的刚架如图a，取图b所示的虚拟力状态，检查K截面相对转角是否为0。

上式表明，在任一封闭无铰的框格上，弯矩图的面积除以相应刚度的代数和等于0。§7-9温度变化时超静定结构的计算

图a所示静定梁，当温度改变时，梁可以自由地变形不受任何阻碍。

图b所示超静定梁，当温度改变时，梁的变形受到两端支座的限制，因而产生支座反力及内力。图c所示刚架，温度改变如图。取图d所示基本体系。

基本结构在外因和多余未知力共同作用下，去掉多余联系处的位移与原结构的位移相符。§7-9温度变化时超静定结构的计算

式中系数的计算与以前相同，与外因无关。自由项为基本结构由于温度变化引起的位移，计算式为典型方程为最后弯矩为对于刚架位移计算公式为对多余未知力Xi方向的位移校核式为§7-9温度变化时超静定结构的计算例7-7图a所示刚架外侧温度升高25℃，内侧温度升高35℃，试绘制其弯矩图并计算横梁中点的竖向位移。EI=常数，截面对称于形心轴，高度h=l/10，材料的线膨胀系数为α。解：这是一次超静定刚架，基本体系如图b。典型方程为虚拟力状态及内力图如图c§7-9温度变化时超静定结构的计算解典型方程得温度变化时，超静定结构的内力与各杆刚度的绝对值有关。求横梁中点竖向位移虚拟力状态及内力图如图b。最后弯矩为弯矩图如图a。§7-10支座位移时超静定结构的计算

图a所示静定梁，当支座B发生竖向位移时不会受到任何阻碍。结构只随之发生刚体位移，不产生弹性变形和内力。

图b所示超静定梁，当支座B发生竖向位移时将受到AC梁的牵制，使各支座产生反力，梁产生内力。§7-10支座位移时超静定结构的计算

图a所示刚架，当支座B由于某种原因发生图示位移。基本体系如图b。典型方程为

系数的计算同前。自由项代表基本结构由于支座移动引起的位移，计算式为§7-10支座位移时超静定结构的计算多余未知力分别等于1时的弯矩图如图c、d、e。最后弯矩为位移计算为Xi方向位移条件校核式为或为已知值§7-10支座位移时超静定结构的计算例7-8图a所示两端固定的等截面梁A段发生了转角，试分析其内力。解：取基本体系如图b。因X3=0，典型方程为多余未知力分别等于1时的弯矩图如图c、d。可得§7-10支座位移时超静定结构的计算最后弯矩为如图e校核：检查B支座转角是否为0。虚拟力状态及弯矩图如图f。位移计算为§7-10支座位移时超静定结构的计算例7-9图a所示连续梁EI=常数，B处为弹性支座，弹簧刚度

k=10EI/l3。试作其弯矩图并求D点的竖向位移。解：（1）取基本体系一如图b。典型方程为相应弯矩图如图c、d。可得最后弯矩为如图e§7-10支座位移时超静定结构的计算（2）取基本体系二如图f。典型方程为相应弯矩图如图g、h。可得弯矩图同e（3）求D点竖向位移，虚拟状态弯矩图如图i。§7-11用弹性中心法计算无铰拱常用超静定拱型式超静定拱：弯矩分布比较均匀，够造简单，工程中应用较多。无铰拱两铰拱§7-11用弹性中心法计算无铰拱计算超静定拱：需事先确定拱轴线方程和截面变化规律。常用的拱轴线形式：悬链线，抛物线，圆弧，多心圆等。超静拱合理拱轴线：忽略轴向变形影响时，与相应三铰拱相同。考虑轴向变形时：超静定拱产生弯矩，但数值不大，可进行修改调整。超静定拱拱截面：变截面，等截面。无铰拱截面：拱址处弯矩大，截面常设计成由拱顶向拱址逐渐增大的形式。拱桥设计中的经验公式（7-8）IC：拱顶截面二次矩，n：拱厚变化系数。IK：拱址处截面二次矩，：拱址处拱轴切线倾角。n愈小，拱厚变化愈激烈。n的范围：0.25~1。n=1时截面面积A近似为当拱高f<l/8时可近似为常数§7-11用弹性中心法计算无铰拱§7-11用弹性中心法计算无铰拱

图a所示无铰拱是三次超静定结构。利用对称性取基本体系如图b。如何做？

将图a所示无铰拱沿拱顶截面切开，再切口粮边沿对称轴方向引出两个刚度无穷大的刚臂，如图c。

刚臂本身是不变形的，保证切口两边截面无任何相对位移，此结构与原无铰拱的变形一致，可以代替原无铰拱。§7-11用弹性中心法计算无铰拱

取基本体系如图d，这是两个带刚臂的悬臂曲梁。

利用对称性，适当选择刚臂的长度，可以使典型方程中全部系数都为0。符号规定坐标原点：刚臂端点O；坐标方向：x轴向右为正，y轴向下为正；弯矩：拱内侧受拉为正；剪力：绕隔离体顺时针方向为正；轴力：压力为正。§7-11用弹性中心法计算无铰拱多余未知力分别为1作用时，如图a、b、c。§7-11用弹性中心法计算无铰拱令沿拱轴线作宽度为1/EI的图形（如图）。ds/EI代表图中的微面积，ys即为这个图形面积的形心坐标。图形的面积与EI有关—称为弹性面积图，其形心称为弹性形心。弹性中心法：把刚臂端点引到弹性中心上，将X2、X3置于主轴方向上，使全部系数都等于0。可得刚臂长度yS为§7-11用弹性中心法计算无铰拱典型方程简化为三个独立方程

由于拱的曲率对计算结果影响