学习-理论力学009平面运动

第八章刚体的平面运动

§8–1刚体平面运动的概述

§8–2平面运动分解为平动和转动刚体的平面运动方程

§8–3平面图形内各点的速度

§8–4平面图形内各点的加速度习题课

第八章刚体的平面运动一．平面运动的实例运动学§8-1刚体平面运动的概述

刚体在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变．也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动．具有这种特点的运动称为刚体的平面运动．运动学二．刚体平面运动的定义

三．平面运动的简化

刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动．⒈简化过程⑴作定平面Ⅱ∥定平面Ⅰ且与刚体相交成一平面图形S。当刚体运动时，平面图形S始终保持在定平面Ⅱ内。定平面Ⅱ称为平面图形S自身所在平面。⑵在刚体上任取⊥平面图形S的直线A1A2

，A1A2作平动，其上各点都具有相同的运动。⑶A1A2和图形S的交点A的运动可代表全部A1A2的运动，而平面图形S内各点的运动即可代表全部刚体的运动。⒉结论运动学§8-2平面运动分解为平动和转动·

刚体的平面运动方程

一．平面运动分解为平动和转动

⒈证明

任取直线AB，AB的运动即代表了S的运动。由AB→A’B’可视为由两步完成：

⑴AB平动至A’B”；⑵再绕A’点转一个角B”A’B’最后到达位置A’B’。合成分解平面运动平动和转动⒉结论故刚体平面运动可视为平动和转动的合成运动。运动学AB杆作平面运动平面运动的分解AB

基点运动学例如曲柄连杆机构．二．刚体平面运动方程运动学于是刚体的平面运动方程为：对于每一瞬时

t

，都可以求出对应的，图形S在该瞬时的位置也就确定了。三．平面图形的角速度及角加速度

图形内基点A的选取是完全任意的，图形内任一点都可取为基点。所选基点不同，图形随其平动的速度和加速度都不同，但图形对于不同基点转动的角速度及角加速度都是一样的。

设平面图形Ｓ在ｔ时间间隔内从位置I运动到位置II以A为基点:

随基点A平动到A'B''后,绕基点转角到A'B'以B为基点:

随基点B平动到A''B'后,绕基点转角到A'B'图中看出：ABA‘B’‘A’‘B’，于是有：运动学

在任一瞬时，图形绕其平面内任何点转动的角速度及角加速度都相同，因此，称其为平面图形的角速度及角加速度。运动学§8-3平面图形内各点的速度

一．基点法（合成法）的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成

取A为基点,将动系固结于A点,动系作平动。取B为动点,则B点

已知：图形S内一点A的速度，图形角速度求：由转向确定。指向⒈公式的导出运动学即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法，也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．根据速度合成定理则Ｂ点速度为：⒉讨论⑵共包括大小﹑方向六个要素，已知任意四个要素，能求出另外两个要素。⑴是矢量式，符合矢量合成法则；运动学即平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等．这种求解速度的方法称为速度投影法．由于A,B点是任意的，因此表示了图形上任意两点速度间的关系。由于恒有，因此将上式在AB上投影，有—速度投影定理二．速度投影法⒈公式的导出⒉讨论是代数方程，可解一个未知量。运动学

即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心．三．速度瞬心法（瞬时速度中心法）

1.问题的提出若选取速度为零的点为基点，求速度的问题会大大简化。某一瞬时图形是否有一点速度为零？若存在的话，该点如何确定？

２．速度瞬心的概念平面图形S，某瞬时其上一点A速度,图形角速度，沿方向取直线AL,然后顺的转向转90o至AL'的位置,在AL'上取长度则： 运动学

⑶已知某瞬间平面图形上A,B两点速度的方向，且过A,B两点分别作速度的垂线,交点

P即为该瞬时的速度瞬心.３．几种确定速度瞬心位置的方法

⑴已知图形上一点的速度和图形角速度

，可以确定速度瞬心的位置．（P点）且Ｐ在顺转向绕A点转90º的方向一侧．

⑵已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动,则图形与固定面的接触点P为速度瞬心．

运动学

另：对⑷种(a)的情况，若vA＝vB，则是瞬时平动．⑸已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线垂直．此时,图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度=0,图形上各点速度相等,这种情况称为瞬时平动.(此时各点的加速度不相等)⑷已知某瞬时图形上A,B两点速度大小,且(b)(a)运动学

例如:曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动．而的方向沿AC的，瞬时平动与平动不同，它只是刚体作平面运动的某一瞬时的特殊运动状态，而非平动。此时连杆BC的图形角速度

，但角加速度BC杆上各点的速度都相等.但各点的加速度并不相等．设匀，则

利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法.⒋速度瞬心法运动学平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度方向AP，指向由转向确定。

⒌注意⑴速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。它可以在平面图形内也可以在平面图形外（平面图形的扩展部分）；

⑵速度瞬心处的速度为零,加速度一定不为零。不同于转动；

⑶

刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度一定不相同。不同于刚体作平动。运动学解：运动分析：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运动,滑块B作平动。

以A为基点，求滑块B的速度及AB杆的角速度，且方向如图示。[例1]

已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀转动。求：当=45º时,滑块B的速度及AB杆的角速度．大小：方向：两未知量可解⒉速度分析，用基点法求vB和wAB:㈠基点法（合成法）

⒈研究AB

；运动学（）在Ｂ点做速度平行四边形，如图示。⒊作速度矢量关系图求解：㈡速度投影法⒈研究AB

；⒉速度分析，根据速度投影定理求vB

:方向OA,方向沿BO直线,运动学（）试比较上述三种方法的特点。已知的方向，因此可确定出P点为AB杆的速度瞬心不能求出㈢速度瞬心法⒈研究AB;⒉速度分析，用速度瞬心法求vB和wAB

：运动学§8-4平面图形内各点的加速度取A为基点，将平动坐标系固结于A点取B动点，则B点的运动分解为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动于是,由牵连平动时加速度合成定理可得如下公式．基点法(合成法)

已知：图形S内一点A的加速度和图形的,（某一瞬时）。求：该瞬时图形上任一点B的加速度。⒈公式的导出运动学其中：，方向AB，指向与一致；，方向沿AB，指向A点。即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。⒉讨论⑴是矢量式，符合矢量合成法则；⑵共包括大小﹑方向八个要素，已知任意六个要素，能求出另外两个要素。由于方向总是已知，所以在该公式中，只要再知道四个要素，即可解出其余两个待求量。运动学分析：大小？√RRw

2

方向？√√√故应先求出．（）

[例1]

半径为R的车轮沿直线作纯滚动,已知轮心O点的速度及加速度,求车轮与轨道接触点P的加速度．P为速度瞬心，解：轮O作平面运动，⒈运动分析：⒉研究轮O

，求w和e：由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故：运动学（）以O为基点，求P点的加速度大小：方向：两未知量可解⒋作加速度矢量关系图求解：将上式投影到x、y轴上，得：⒊加速度分析，用基点法求：运动学

由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心．当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心P的加速度指向轮心．解：(a)AB作平动，[例2]

已知O1A=O2B,图示瞬时O1A/O2B

试问(a),(b)两种情况下1和

2，1和2是否相等？(a)(b)运动学(b)AB作平面运动,图示瞬时作瞬时平动,此时运动学[例3]

曲柄滚轮机构，OA=15cm,n=60rpm滚子半径R=15cm,求：当=60º时(OAAB),滚轮的Ｂ，Ｂ．运动学运动学（）P１为其速度瞬心分析:要想求出滚轮的Ｂ,Ｂ先要求出vB,

aBP2vBP1

解：⒈运动分析：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动研究AB：⒉研究AB

:⑴速度分析，用速度瞬心法求wAB和vB

：运动学⑵加速度分析，用基点法求eAB和aB：取A为基点，指向O点大小：方向:两未知量可解⑶作加速度矢量关系图求解：将上式投影到x轴上，得：运动学）(P2为轮B速度瞬心⒊研究轮B

:vBP2⑴速度分析，用速度瞬心法求wB

：）(⑵加速度分析，求eB

：运动学第八章刚体平面运动习题课一．概念与内容

1.刚体平面运动的定义刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变．

2.刚体平面运动的简化可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平面内的运动代替刚体的整体运动．

3.刚体平面运动的分解分解为

随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点．4.基点运动学6.刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例．7.求平面图形上任一点速度的方法⑴基点法：⑵速度投影法：⑶速度瞬心法： 其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例．5.速度瞬心⑴任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点⑵瞬心位置随时间改变．⑶每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动．这种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同．⑷

瞬心位于无穷远处,

=0,各点速度相同,刚体作瞬时平动,

瞬时平动与平动不同．运动学

8.求平面图形上一点加速度的方法基点法：，A为基点,是最常用的方法此外，当=0,瞬时平动时也可采用方法它是基点法在=0时的特例。9.平面运动方法与合成运动方法的应用条件

⑴平面运动方法用于研究一个平面运动刚体上任意两点的速度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形角速度、角加速度之间的关系．

⑵合成运动方法常用来确定两个相接触的物体在接触点处有相对滑动时的运动关系的传递．运动学

二．解题步骤和要点

1.根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动形式．注意每一次的研究对象只是一个刚体．

2.对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速度(图形角速度)问题的方法,用基点法求加速度(图形角加速度)

3.作速度分析和加速度分析，求出待求量．

(基点法:恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图；速度投影法:不能求出图形;速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键．）运动学[例1]

曲柄肘杆压床机构已知：OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.图示位置时,AB水平求该位置时的、及运动学运动学[例1]

曲柄肘杆压床机构已知:OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.图示位置时,AB水平.

求该位置时的，及

解：⒈运动分析：OA,BC作定轴转动,AB,BD均作平面运动（）⒉研究AB;速度分析，用速度瞬心法求vB和wAB

：P１为AB杆速度瞬心运动学P2为其速度瞬心,BDP2为等边三角形DP2=BP2=BD（）⒊研究BD;速度分析，用速度瞬心法求vD和wBD

：运动学[例2]

行星齿轮机构运动学

解：⒈运动分析：OA定轴转动，轮A作平面运动；）([例2]

行星齿轮机构已知:R,r,o

轮A作纯滚动，求⒉研究轮A:

速度分析，用速度瞬心法求：轮A速度瞬心为P点运动学[例3]

平面机构中,楔块M:=30º,v=12cm/s;盘:r=4cm,与楔块间无滑动．求圆盘的及轴O的速度和B点速度．运动学

解：⒈运动分析：轴O,杆OC,楔块M均作平动,圆盘作平面运动；）([例3]

平面机构中,楔块M:=30º,v=12cm/s;盘:r=4cm,与楔块间无滑动．求圆盘的及轴O的速度和B点速度．P为速度瞬心，⒉研究轮O:速度分析，用速度瞬心法求w、vO及

vB：运动学

比较[例2]和[例3]可以看出,不能认为圆轮只滚不滑时,接触点就是瞬心,只有在接触面是固定面时,圆轮上接触点才是速度瞬心

每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和角速度,并且瞬心在刚体或其扩大部分上,不能认为瞬心在其他刚体上.例如,[例1]中AB的瞬心在P1点,BD的瞬心在P2

点,而且P1也不是CB杆上的点运动学[例4]

导槽滑块机构运动学[例4]

导槽滑块机构已知：曲柄OA=r,匀角速度转动,连杆AB的中点C处连接一滑块C可沿导槽O1D滑动,AB=l,图示瞬时O,A,O1三点在同一水平线上,OAAB,AO1C==30。求：该瞬时O1D的角速度．

解：⒈运动分析：

OA,O1D均作定轴转动,AB作平面运动；⒉研究AB：

图示位置,vA∥vB，wAB=0，AB杆作瞬时平动,所以：⒊用合成运动方法求O1D杆的角速度先求O1D杆上与滑块C接触的点的速度运动学⑴选取动点、动系、静系：动点:AB杆上C点,

动系:固连摆杆O1D

，静系:固连地面。⑵三种运动分析：①绝对运动：动点C静系绝对轨迹：未知曲线②相对运动:动点C动系相对轨迹：③牵连运动:定轴转动动系（摆杆O1D

）静系（摆杆O1D）斜直线由速度合成定理：⑶三种速度分析:大小：方向：两未知量可解运动学

）(

这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题．注意这类题的解法，再看下例．

由速度合成定理作出速度平行四边形如图示。⑷作速度矢量关系图求解：运动学

[例5]平面机构运动学

[例5]

平面机构图示瞬时,O点在AB中点,=60º,BCAB,已知O,C在同一水平线上,AB=20cm,vA=16cm/s,

试求该瞬时AB杆,BC杆的角速度及滑块C的速度．

解:⒈运动分析：轮A、杆AB、杆BC均作平面运动,套筒O作定轴转动,滑块C平动.取AB杆上O′点为动点,动系固结于套筒;静系固结于机架,

⒉研究AB

杆：⑴根据点的速度合成定理确定AB杆上O′点速度方向：运动学

P1为AB杆速度瞬心大小：方向：

因为沿BA，所以，的方向沿BA。从而确定了AB杆上与O点接触点的速度方向。⑵速度分析，用速度瞬心法求wAB，

vB：）(运动学也可以用瞬心法求BC和vC，很简便作速度矢量关系图求解（）⒊研究BC杆：速度分析，用基点法求

vC

，wBC

：以B为基点,根据大小：方向：两未知量可解运动学解:⒈运动分析：

OA定轴转动;AB,BC均作平面运动,滑块B和C均作平动应用速度投影定理