纠错码Lecture6-卷积码(I)

Lecture6

卷积码(I)2内容基本概念矩阵和多项式描述初始截段码对偶码与透明码伴随式计算与一般译码3基本概念分组码的特点：分组码编码时，本组的n-k个校验元仅与本组的k个信息元有关，而与其它各组码元无关。分组码译码时，也仅从本码组中的码元内提取有关译码信息，而与其它各组无关。卷积码的特点：卷积码编码中，本组的n0-k0个校验元不仅与本组的k0个信息元有关，而且还与以前各时刻输入至编码器的信息组有关。同样，在卷积码译码过程中，不仅从此时刻收到的码组中提取译码信息，而且还要利用以前或以后各时刻收到的码组中提取有关信息。卷积码编码器

卷积码每组的信息位k0和码长n0，通常比分组码的k和n要小。二进制卷积码编码器(3,1,2)卷积码编码器5卷积码的定义一般将卷积码标记为(n0,k0,m)码，其中n0：每时刻编码器输出的码元个数；其集合称为卷积码的一个码段或子组k0：每时刻编码器输入的信息位个数m：编码存贮；m+1称为编码约束度，它表示编码过程中互相约束的子码个数；n0(m+1)称为编码约束长度，表示编码过程中互相约束的码元个数码率：R=k0/n0图1为一个(3,1,2)卷积码编码器mp2p1图1.(3,1,2)卷积码编码器6卷积码的生成矩阵图1的生成矩阵设图1编码器的初始状态为全0，若输入的信息序列M=(100…)则输出码序列为C=(111,010,001,000,…)。码序列中第m+1段以后，后面各段取值均为0。若M=(111…)=(100…)+(010…)+(001…)+…，则有C=(111,010,001,000,…)+(000,111,010,001,000,…)+(000,000,111,010,001,000,…)+…C=MG∞基本生成矩阵7卷积码的生成矩阵子生成元其中，gi,j表示第i个信息位对当前及后续m个子码的第j个码元的影响生成多项式矩阵

维矩阵G(D)表示：卷积码码字中，每一段子码的n0个码元与k0个信息位之间的关系卷积码的设计8Example1已知(2,1,3)码的子生成元为1求出该码的G(D)和G矩阵2画出该码的编码器3求出相应于信息序列M=(101)的码序列4判断此码是否是系统码Problemformulation9Example1Step1Step2DD

D＋＋c1c2m10Example1Step3Step4非系统码11Example2Mi(1)Mi(2)ci(2)ci(1)ci(3)(3,2,2)卷积编码器Problemformulation一个(3,2,2)系统卷积码的编码器如下图所示，请给出该码的的子生成元、基本生成矩阵、生成矩阵和生成矩阵多项式12Example2Step1Step2Step313Step4Example214卷积码的生成矩阵（n0，k0，m）卷积码生成矩阵G∞的一般形式为15卷积码的生成矩阵基本生成矩阵

式中，gi（i=0,1,2,…，m）是一个k0×n0阶阵，而空白的地方全为0。g∞共有k0个生成元每一个生成元g(j)的子生成元为16卷积码的生成多项式矩阵因而相应的生成多项式矩阵17系统卷积码的生成矩阵若(n0,k0,m)是一个系统卷积码，则g∞、G∞和G(D)分别为18系统卷积码的生成多项式矩阵其中是一个以生成元为元素的k0×(k0-n0)阶矩阵19卷积码的校验矩阵卷积码的校验矩阵矩阵20卷积码的校验多项式矩阵

类似于码的生成多项式矩阵G(D),也可以定义码的校验多项式矩阵H(D)

式中为码的子校验元，通常它也是一个次数小于m的多项式。由可以求出每个子校验元。21系统卷积码的校验矩阵当卷积码为系统码时，根据,此时的校验矩阵为

定义码的基本校验矩阵为22系统卷积码的校验多项式矩阵23Example2(continued)24Example2(continued)25Example2(continued)26初始截段码定义编码器初始状态全为0时，编码器输出码序列的前m+1段子码所组成的码字，称为卷积码的初始截段码字，以表示，其中而以表示在同一时间段内输入至编码器的信息序列。其中所有初始截段码字的集合构成一个((m+1)n0,(m+1)k0)线性码27初始截段码生成矩阵和校验矩阵基本校验矩阵基本生成矩阵28系统码的对偶码系统码情况下,(n0,k0,m)码的29系统码的对偶码相应的(n0,n0-k0,m)对偶码的30透明码如果(n0,k0,m)卷积码的每个子生成元中有奇数项，则称为透明码。透明码的每个码字的补码也是该码的一个码字。(2,1,2)码的生成矩阵,它的两个生成元有奇数项。若,则码序列它的补码也是码的一个码字，因此该码是透明码。31伴随式计算与一般译码

卷积码的译码代数译码

概率译码

代数译码

与分组码所定义的伴随式相同，设发送的半无限长码序列为C∞，信道的半无限长错误图样为E∞，则接收到的半无限长序列R∞=C∞+E∞。定义以下半无限长序列为R∞的伴随式。32伴随式多项式若仅检验接收序列中连续m+1段以内的校验关系，则(n0,k0,m)码的伴随式定义为相应的伴随式多项式定义为33伴随式多项式式中:

称Si(D)为子伴随式多项式序列。由此可知，伴随式是一个有(m+1)(n0-k0)个分量的序列，它反映了编码约束长度内有关错误图样的信息。34系统卷积码代数译码的基本概念

卷积码的译码问题就是从收到的序列R(D)=C(D)+E(D)中，确定出发送的码序列C(D)或相应的信息序列M(D)，这相当于要求译码器首先计算伴随式S(D)，然后由S(D)确定错误图样，最后得到了已经纠正过的序列，它可能与原发送的序列相同，也可能不同。若，说明译码产生了错误。35系统卷积码的代数译码系统卷积码的一般代数译码器的框图错误图样检测器……伴随式寄存器……修正伴随式伴随式计算电路输入R(D)-……信息元缓冲寄存器36系统卷积码的代数译码

(1)由收到的序列R中，分成两个序列，信息序列M和校验序列P。M序列送入信息缓存寄存器寄存，同时送入伴随式计算电路(它就是一个与发端相同的编码器)计算新的校验元，并与收到的校验元序列进行比较，得到伴随式寄存在伴随式寄存器中。(2)当接收完第m+1段子组后，伴随式寄存器中的伴随式送到错误图样检测电路，以确定此时刻前第m个时间单位内，收到的子组中的信息位内的错误图样 。这时第0子组的信息元已移至信息元存储器的最右边，与错误图样相减后就得到了已纠正过的第0子组内的信息元。若与原发送的信息元 相同，则认为译码无错；否则有错。37系统卷积码的代数译码

(3)由卷积码的编码过程可知，第0子组的信息元，对其后m段子码中的校验元均有约束关系，因而为了消除第0子组中的错误对以后m段子组的影响，充分发挥码的纠错能力，就反馈一个信号给伴随式寄存器以修正伴随式，消除第0子组内错误对以后子组的影响。