第四章功和能

[例]一块很长的木板，下面装有活动轮子，静止地置于光滑的水平面上，如图。质量分别为和的两个人A和B站在板的两头，他们由静止开始相向而行，若，A和B对地的速度大小相同，则木板将[]（A）向左运动（B）静止不动（C）向右运动（D）不能确定ABX解：系统（两个人A和B以及车）水平方向不受外力作用，水平方向动量守恒A[例]体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是

(A)甲先到达．(B)乙先到达．(C)同时到达．(D)谁先到达不能确定．［］

CO甲乙系统所受合外力矩对O点为：系统角动量守恒（初始时刻）甲、乙对地速率相同，所以同时到达。第四章

功和能

本章主要内容§4-1功§4-5

由势能求保守力§4-2动能定理§4-6机械能守恒定律§4-3

势能§4-7

守恒定律的意义§4-4

引力势能§4-8

碰撞§4-1功

时间积累：冲量空间积累：功研究力在空间的积累效应功、动能、势能、动能定理、机械能守恒定律。

功的定义

功的计算

直线运动中恒力的功功——力在位移方向上的分量与位移大小的乘积。注意：功是一个标量，没有方向，但有正负。当时，；当时，。

当时，。

变力的功设质点受力为，它的空间位置发生一无限小的位移——位移元

，则该力做功表示为元功质点沿曲线从到，整个路径上的功为元功之和：线积分在直角坐标系中表示为：在自然坐标系中表示为：

变力呈现随位置变化的函数关系0

合力的功结论：合力的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和。

如果质点同时受到多个力的作用，计算它们等效合力的功：思考：写这个等号的条件？所以在计算功的过程中特别要分清研究对象对质点有：即，各力作功之和等于合力作的功。但对质点系：写不出像质点那样的简单式子，即，各力作功之和不一定等于合力的功。

功率功率的定义：单位时间内所做的功。即例：一个质点同时在几个力作用下的位移为，其中一个力为恒力，则此力在该位移过程中所做的功为（）（A）（B）（C）（D）C解：该问题是计算恒力的功。L缓慢拉质量为m的小球，解xy例求已知用力保持方向不变=0

时，作的功。[例]一个力作用在质量为1.0Kg的质点上，使之沿x轴运动。已知在此力作用下质点的运动方程为。在0到4s的时间间隔内：（1）力的冲量大小I=（2）力对质点所作的功W=解：§4-2动能定理

质点的动能定理力对空间的积累（即做功）会给质点带来怎样的结果？考虑合力的功：即过程量状态量在B点的取值状态量在A点的取值引入动能

Ek：动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的

增量。功是能量传递或转化的量度。质点运动的动能定理例.将一重物匀速推上一斜坡,因其动能不变,所以(A)推力不做功．(B)推力功和摩擦力功等值反号．(C)推力功和重力功等值反号．(D)此重物所受的外力的功之和为零．答案：D例.质点在外力作用下运动,下述哪种说法正确？(A)质点的动量改变时,其动能一定改变.(B)质点的动能不变时,其动量也一定不变.(C)外力的冲量是零,则外力的功一定是零.(D)外力的功是零,则外力的冲量一定是零.答案：C[例]把一质量为m＝0.4 kg的物体，以初速度v

0＝20 m/s竖直向上抛出，测得上升的最大高度H＝16 m，求空气对它的阻力f（设为恒力）等于多大？

解：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量v

0mgf正[例]质量为M的木快静止在光滑的水平面上，质量为m、速度为的子弹沿水平方向打入木块并陷在其中，试计算相对于地面木块对子弹所做的功W1及子弹对木块所作的功W2。解：木块、子弹系统水平方向不受外力作用，动量守恒。设子弹打入后二者的共同运动速度为V木块对子弹所做的功：（对子弹应用动能定理）子弹对木块所作的功：（对木块应用动能定理）例：光滑水平台面上有一质量为m的物体栓在绳的一端，轻绳的另一端穿过台面上的小孔被一只手拉紧，并使物体以初速度作半径为的圆周运动。求半径减小为时，拉力对物体做的功。解：设半径为r时，速度为v

对圆心角动量守恒，有：根据质点的动能定理，拉力所做的功为：m1、m2组成一个系统一对力:分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反的力，称之为“一对力”。一对力通常是作用力与反作用力。此“一对力”做的功之和：om1m2在dt时间内：

一对力的功

表示m2相对于m1的相对位移。意义：两质点间的一对力作功之和等于一个质点受的力沿该质点相对于另一质点移动的路径所作的功。

1）在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下，一对力的功必为零。讨论：3）A对与参考系选取无关。2）一对滑动摩擦力的功恒小于零。质点系：m1，m2

初速度：

末速度：内力：外力：两式相加得：

质点系的动能定理注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。即：外力的功之和+内力的功之和=质点系的总动能的增量记作例:一质量为m的质点，在xoy平面上运动。其位置矢量为：其中a,b,为正值常数，a>b。(1)求质点在A(a,0)点和B(0,b)点时的动能。(2)求质点所受的作用力以及当质点从A运动到B的过程中分力Fx、Fy所做的功。解：A(a,0)点：cost=1sint=0B(0,b)点：cost=0sint=1§4-3势能

§4-4引力势能

几种常见力的功xyzO一.重力的功重力mg在曲线路径M1M2上的功为重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了位置的高度差。(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。mG结论②①二.万有引力的功结论：万有引力的功与质点运动的相对路径无关，只决定于质点初、终态的相对位置。Mmab三.弹性力的功

(1)弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。(2)弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时，弹性力作负功。弹簧弹性力由x1到x2

路程上弹性力的功为弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变量平方之差的一半。结论xO结论：摩擦力的功与质点运动的相对路径有关，不只决定于质点初、终态的相对位置。考虑一质点,从A运动到B，在这个过程中，所受的摩擦力大小恒为在位移上的元功为摩擦力做的总功为对直线对曲线四.摩擦力的功[例]已知地球质量为M，半径为R．一质量为m的火箭从地面上升到距地面高度为2R处．在此过程中，地球引力对火箭作的功为

___________________．

O解：选择地心为原点，坐标轴如图所示[例]如图所示，质量为m的陨石在距地面高h处时速度为v0．忽略空气阻力，求陨石落地的速度.令地球质量为M, 半径为R, 万有引力常量为G．

v0h地球O解：

陨石落地过程中，万有引力的功

根据动能定理

例：光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦系数m

，在外力作用下小物体（质量m）以速率v做匀速圆周运动，求转一周摩擦力做的功。r解：小物体对环带压力摩擦力的大小为转一周摩擦力做的功为

一轻弹簧的劲度系数为k=100N/m，用手推一质量m=0.1

kg

的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m处,如图所示。放手后，物体沿水平面移动到x2=0.1m而停止。

放手后，物体运动到x1

处和弹簧分离。在整个过程中，解例物体与水平面间的滑动摩擦系数。求摩擦力作功弹簧弹性力作功根据动能定理有例：一根柔绳长为，质量为，绳的一部分在桌面上，其余长度为的部分从桌面上悬下，如图所示。设绳与桌面之间的摩擦系数为，求：柔绳全部滑离桌面时，重力和摩擦力所做的功。解：这是一个变力做功的问题。应先求出物体发生微小位移时力做的元功，然后再积分求力做的总功。设下滑过程中，悬在桌面下的长度为y时，柔绳又向下滑落dy距离，重力的元功为：绳全部离开桌面时，重力做的总功为：同理，摩擦力的元功为绳全部离开桌面时，摩擦力做的总功为：保守力数学表达：一、保守力与非保守力--做功与路径无关，只与始末(相对)位置有关例如：重力、弹簧的弹力、万有引力非保守力——做功与路径有关的力例如：摩擦力二、势能：关系:保守力做的功等于系统势能的减少量。在具有保守力的系统内，存在着由系统内质点间的相对位置决定的能量----称为势能。记若规定零势能点：选状态b为零势能点，则有：记（1）重力势能建立坐标：以地面为零势能点，有:注意：1).零势能点可以任意选取。

2).只有系统的内力为保守力，才有相应的势能。

3).势能属于相互作用的系统。

4).势能与参考系无关(相对位移)。abPyx0yayb（2）弹簧的弹性势能baox平衡位置以弹簧原长为零势能点，有：（3）

万有引力势能特点：引力做功与路径无关。Mmab----万有引力是保守力以无穷远为零势能点，有：3-10已知地球的半径为R，质量为M．现有一质量为m的物体，在离地面高度为2R处。以地球和物体为系统，若取地面为势能零点，则系统的引力势能为__________；若取无穷远处为势能零点，则系统的引力势能为____________。（万有引力常量为G）§4-5由势能求保守力

由势能求保守力其中，于是，有：保守力沿某一给定的方向的分量等于此保守力相应的势能函数沿方向的空间变化率的负值。1.直角坐标系中由势能函数求保守力的表达式2.由势能曲线求保守力势能曲线上某点斜率的负值，就是该点对应的位置处质点所受的保守力。

，斜率为正，弹力为负，这表示弹力与正方向相反。

，斜率为负，弹力为正，这表示弹力与正方向相同。

，斜率为零，弹力为零，这表示弹簧处于原长。§4-6机械能守恒定律

定义机械能:

E=Ek+EP即：在运动过程中系统外力做的功与系统内非保守力做的功的总和等于质点系的机械能的增量。A外＋A非保内＝E-Eo功能原理一、质点系的功能原理质点系的动能定理：A外+A内=Ek-Eko

A保内＝－

（EP－EPo)A内=A保内＋A非保内因为：A外+A保内＋A非保内=Ek-EkoA外＋A非保内＝(Ek+EP)-(Eko+EPo)所以：二、机械能守恒定律三、能量守恒定律封闭系统（孤立系统）：不受外界作用的系统。一个封闭系统内经历任何变化过程，该系统的总能量保持不变。能量守恒定律：则:E＝Eo＝常量如果:A外＋A非保内＝0

例：如图所示的系统中（滑轮质量不计，轴光滑）外力F通过一根不可伸长的绳与劲度系数为200N·m-1轻弹簧，缓慢地拉地面上的物体。物体的质量为2kg，初始时弹簧为自然长度，在把绳子拉下20cm的过程中，所做的功为（重力加速度取10m·s-2）[](A)1J(B)2J(C)3J(D)4JC图3-10习题3-4图M

20cm

Fv

解：当弹簧的弹性力等于重力时，物体将开始离开地面。此时，弹簧的伸长量为即：于是，当把绳子拉下20cm时，物体上升的高度为：根据功能原理，可知，外力的功为：例：如图，劲度系数为k的轻弹簧在质量为m的木块和外力（未画出）作用下，处于被压缩的状态，其压缩量为x，当撤去外力后弹簧被释放，木块沿光滑斜面弹出，最后落到地面上（）。（A）在此过程中，木块的动能和弹性势能之和守恒（B）木块到达最高点时，高度h满足（C）木块落地时的速度v满足（D）木块落地点的水平距离随θ的不同而异，θ愈大，落地点愈远。C图3-9习题3-3图例：行星在椭圆轨道上绕太阳运动，太阳质量为，行星质量为，行星在近日点和远日点时离太阳中心的距离分别为和，求行星在轨道上运动是的总能量。解：将行星与太阳视为一个系统，由于只有万有引力做功，系统的机械能守恒。行星在轨道上运动时，受太阳的万有引力作用，引力方向始终指向太阳，以太阳为参考点，行星所受力矩为零，故行星的角动量守恒，即：解得行星在轨道运动的总能量为：用轻质弹簧连接两个木板m1

、m2

，弹簧倔强系数为k。解整个过程只有保守力作功，机械能守恒例给m2

上加多大的压力才能使该力突然撤去后，m2跳起到最高点，m1离开桌面？求§4-8碰撞（自学）

碰撞的特点物体由接近、产生强烈的相互作用，到分离的过程。碰撞中总动量和总机械能特点：持续时间短、作用力大

物体运动状态变化明显（有动量、能量传递）动量不变，动量守恒。减少（形变部分恢复）—非弹性碰撞不变（形变完全恢复）—弹性碰撞减少最严重（形变无恢复）—完全非弹性碰撞机械能碰撞问题的求解设有两个质点发生碰撞。碰撞前动量为，碰撞后动量为，

例：完全非弹性碰撞（三维）：弹性碰撞完全非弹性碰撞（形变无